2011年北京高考数学理科试题及答案

1、绝密启封并使用完毕前2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1 已知集合p=xx21,m=a.若pm=p,则a的取值范围是a(-, -1 b1, +） c-1，1 d（-，-1 1，+）2 复数 ai b-i c d3在极坐标系中，圆=-2sin的圆心的极坐标系是a b c (1,0) d(1，)4执行如图所示的程序框图，输出的s值

2、为a-3 b- c d25如图，ad，ae，bc分别与圆o切于点d，e，f，延长af与圆o交于另一点g。给出下列三个结论：ad+ae=ab+bc+ca； af·ag=ad·ae afb adg其中正确结论的序号是a bc d6根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为 （a，c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时15分钟，那么c和a的值分别是a75，25 b75，16 c60，25 d60，167某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是a8 b c10 d8 设,，,. 记为平行四边形abcd内部（不含边界）的

3、整 点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点， 则函数的值域为a b c d第二部分（非选择题 共110分）2、 填空题共6小题，每小题5分，共30分。9 在中。若b=5，tana=2，则sina=_；a=_。10 已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b与c共线，则k=_。11 在等比数列an中，a1=，a4=-4，则公比q=_；_。12 用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个。（用数字作答）13 已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_14曲线c是平面内与两个定点f1（-1，0）和f¬

4、2（1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论： 曲线c过坐标原点； 曲线c关于坐标原点对称；若点p在曲线c上，则fpf的面积大于a。其中，所有正确结论的序号是_。三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15（本小题共13分）已知函数。（）求的最小正周期：（）求在区间上的最大值和最小值。16（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.()求证：平面（）若求与所成角的余弦值；（）当平面与平面垂直时，求的长.17（本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示。（）如果x=8,

5、求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（）如果x=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树y的分布列和数学期望。（注：方差，其中为， 的平均数）18（本小题共13分）已知函数。（）求的单调区间；（）若对于任意的，都有，求的取值范围。19（本小题共14分）椭圆.过点（m,0）作圆的切线i交椭圆g于a，b两点.（i）求椭圆g的焦点坐标和离心率；（ii）将表示为m的函数，并求的最大值.20（本小题共13分）若数列满足，数列为数列，记=（）写出一个满足，且0的数列；（）若，n=2000，证明：e数列是递增数列的充要条件是=2011；（）对任意给定的整数n（n2），是否存在首项为0的

6、e数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的e数列；如果不存在，说明理由。参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）c （2）a （3）b （4）d （5）a （6）d （7）c （8）c二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10）1 （11）2 （12）14 （13）（0，1） （14）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）因为所以的最小正周期为（）因为于是，当时，取得最大值2；当取得最小值1.（16）（共14分）证明：（）因为四边形abcd是菱形，所以acbd.又因为pa平面abcd.所以pabd.所以bd平面pac.（）设acbd=

7、o.因为bad=60°，pa=pb=2,所以bo=1，ao=co=.如图，以o为坐标原点，建立空间直角坐标系oxyz，则p（0，2），a（0，0），b（1，0，0），c（0，0）.所以设pb与ac所成角为，则.（）由（）知设p（0，t）（t>0），则设平面pbc的法向量,则所以令则所以同理，平面pdc的法向量 因为平面pcb平面pdc,所以=0，即 解得 所以pa=（17）（共13分）解（1）当x=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（）当x=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9

8、，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数y的可能取值为17，18，19，20，21事件“y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此p（y=17）=同理可得所以随机变量y的分布列为：y1718192021pey=17×p（y=17）+18×p（y=18）+19×p（y=19）+20×p（y=20）+21×p（y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19（18）（共13

9、分）解：（）令，得.当k>0时，的情况如下x()(,k)k+00+0所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是当k<0时，的情况如下x()(,k)k0+00所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是（）当k>0时，因为，所以不会有当k<0时，由（）知在（0，+）上的最大值是所以等价于解得.故当时，k的取值范围是（19）（共14分）解：（）由已知得所以所以椭圆g的焦点坐标为离心率为（）由题意知，.当时，切线l的方程，点a、b的坐标分别为此时当m=1时，同理可得当时，设切线l的方程为由设a、b两点的坐标分别为，则又由l与圆所以由于当时，所以.因为且当时，|ab|=2，所以|ab|的最大值为2.（20）（共13分）解：（）0，1，2，1，0是一具满足条件的e数列a5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的e的数列a5）（）必要性：因为e数列a5是递增数列，所以.所以a5是首项为12，公差为1的等差数列. 所以a2000=12+（20001）×1=2011.充分性，由于a2000a10001，a2000a100