2022年2022年华东版数学九年级基础知识要点

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载一元二次方程1.一元二次方程： 含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2 的整式方程叫做一元二次方程；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）一元二次方程的一般形式为：ax 2bxc0a0 ,其中ax 2 叫做二精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载次项, a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数；c 叫做常数项；（2）要某方程为一元二次方程,常依据最高次项的次数为2 列方程,同时留意这项的系数不等于0；（3）已知一元二次方程的解时,一般为把这个解代入方程；2.一元二次方程的解法：直接开平方法.因式分解法.配

2、方法.公式法；3.直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载法直接开平方法适用于解形如xa 2b 的一元二次方程, 依据平方根的定义精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载可知, xa 为 b 的平方根,当 b0时, xab , xa b ,当 b <0 时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方程没有实数根；4.因式分解法：因式分解法就为利用因式分解的手段,求出方程的解的方法, 这种方法简便易行,为解一元二次方程最常用的方法对于一边为零, 另一

3、边易于分解成两个一次因式的一元二次方程,都可以用因式分解法来解因式分解法的理论依据为：两个因式的积等于零, 那么这两个因式中至少有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一个等于零例如,假如x1 x20 ,那么 x10 或 x20 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：1将方程的右边化为零；2将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；3令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程； 4解这两个一元一次方程,它们的解就为原方程的解；5.配方法：配方法为一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其它领域也有着广泛的应用；精品学习资

4、料精选学习资料 - - - 欢迎下载用配方法解一元二次方程ax 2bxc0 的一般步骤：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；(2) 移项：使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项；(3) 配 方 ： 方 程 两 边 都 加 上一 次 项 系数 一 半 的平 方 , 把 原 方 程 化 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 xm 2n 的形式；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(4) 用直接开平方法解变形后的方程；6.公式法：公式法为用求根公式解一元二次方程的解的方法,它为解一元二次方程的一精品学习资料精选学习

5、资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载般方法一元二次方程ax 2bxc0 的求根公式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2xbb4acb 24 ac0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2a用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1) 把方程化为一般形式,确定a 、b、c 的值；(2) 求出 b24 ac 的值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) 如b 24ac0 ,就把a、 b、 c 及b 24ac的值代入一元二次方程的求根公式：精品学习资料精选学习资料 -

6、- - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bb 2x2a4ac,求出x1 、 x2；如 b 24 ac0 ,就方程没有实数根；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解一元二次方程时, 应第一考虑直接开平方法和因式分解法,其次为公式法,当二次项系数为1.一次项系数为偶数时,也可以用配方法；7.增长率问题：增长次数基本量之间的关系：现产量=原产量× 1+增长率 ；8.一元二次方程根的判别式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b 24ac 叫做一元二次方程ax 2bxc0 的根的判别式,通常用“”来精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学

7、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载表示,即= b2留意：4ac 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) “”为专指一元二次方程的根的判别式,只有确认方程为一元二次方程时,才能确定a、 b、 c ,求出；(2) 要使用判别式,必需先将方程化为一般形式,以便确定a、 b、 c ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) 根的判别式为指= b 24ac,而不为=b4ac 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载29.一元二次方程根的情形与判别式的关系：(1) 判别式定理：>0 时,方程有两个不相等的实数根；=0 时,方程有两个相等的实数根；<0 时,

8、方程没有实数根；0时,方程有两个实数根(2) 判别式定理的逆定理：方程有两个不相等的实数根时,>0；方程有两个相等的实数根时,=0； 方程没有实数根时,<0；方程有两个实数根时,010.一元二次方程根与系数的关系韦达定理 ：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如方程ax 2bxc0a0 的两个实数根为x1 、 x2b,那么x1x2、a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1 x2c ；留意： 韦达定理只有当一元二次方程有实数根时才能使用；a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11.一元二次

9、方程的根与系数的关系的应用： 1验根,不解方程,利用韦达定理可以检验两个数为不为一元二次方程的两个根；2由已知方程的一个根,求出另一个根及未知系数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3不解方程,可以利用韦达定理求关于2x1 、 x2 的对称式的值,如x12x2 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11 、2x1x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2x1 x2x1 x2 、 x1x2x2 、x1x1 、 1x2x11等等说明：假如把含x2x1、 x2的代数式中精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1 、 x2 互换,代数式不变,那么,我们就称这类代

10、数式为关于x1 、 x2 的对称式4已知方程两个根满意某种关系,确定方程中字母系数的值,特殊留意应使0 ；（5）根的符号的争论：利用韦达定理,结合乘法.加法的符号法就,仍可进一步争论根的符号,设精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一元二次方程ax 2bxc0 a0) 的两根为x1 、 x2,就：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 当0、 且x1 x20 时,两根同号精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当0、且x1 x20、 x1x20 时,两根同为正数；精品学习资料

11、精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当0、且x1 x20、 x1x20 时,两根同为负数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 当0、 且x1x20 时,两根异号精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当0、且x1x20、 x1x20 时,两根异号且正根的肯定值较大；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当0、且x1x20、 x1x20 时,两根异号且负根的肯定值较大.精品学习资料精选学

12、习资料 - - - 欢迎下载图形的相像1.相像形：具有相同外形的图形称为相像形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.比例线段：在四条线段a、b、 c、 d中,假如a和b 的比等于c和d 的比,那么精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这四条线段a、 b、c、 d叫做成比例线段,简称比例线段精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：比例线段为有次序的； 假如说 a 为 b、 c、 d 的第四比例项, 那么应得比例式为：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载b d ；c a精品学习资料精选学习资料

13、 - - - 欢迎下载3.比例的基本性质：假如abc ,那么 ad=bc 内项积等于外项积 ；d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如 ad=bc,那么 abc （左比右等于右比左）d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载通过这一性质可以把比例式和等积式进行互化；4.相像多边形：假如两个多边形的对应边成比例.对应角相等,那么这两个多边形相像；5.相像三角形：假如两个三角形的对应边成比例.对应角相等,那么这两 个三角形相像；相像用符号“”表示,读作“相像于”；留意：表示两个三角形相像时,表示对应顶点的字母必需写在对应的位置上；6.相像比：相像三角形对应边的比叫做相像比 或相像

14、系数 ；相像比为有次序的；7.三角形相像的判定：（1）两角对应相等,两三角形相像； （ 2）两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像：（3）三边对应成比例,两三角形相像；8.直角三角形中的相像：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相像；9.射影定理：如图,假如cd为 rt abc斜边上的高,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载那么 cd 2adbd, ac 2adab ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bc 2bdab , acbcab cd ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10.相像三角形的

15、性质：(1) 相像三角形对应角相等,对应边成比例(2) 相像三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相像比(3) 相像三角形周长的比等于相像比(4) 相像三角形面积的比等于相像比的平方11.相像三角形的判定定理的作用：（1）证明角相等；（2）相像三角形性质可用来运算边长.周长和面积等；（3）要证明比例式或等积式,常考虑这些线段所在的两个三角形相像；12.常见的相像三角形类型：13.位似：不仅相像而且对应顶点的连线相交于一点o,这样的相像叫做位精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载似；点 o叫做位似中心； 利用位似的方法可以把一个图形放大或缩小,放大的倍数等

16、于对应点与位似中心所连线段的长度的比值；解直角三角形精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.锐角三角函数：在abc 中,c90 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 对 边 与 斜 边 的 比 叫 做a 的 正 弦 , 记 作sin a,即 ：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin aa的对边a ；斜边c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 邻 边 与 斜 边 的 比 叫 做a 的 余 弦 , 记 作c o as , 即 ：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cos aa的邻边b ；斜边c

17、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 的 对 边 与 邻 边 的 比 叫 做a 的 正 切 , 记 作t a na即 ：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载t a naa的 对 边a ；a的 邻 边b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 的 邻 边 与 对 边 之 比 叫 做a 的 余 切 , 记 作cot a, 即 ：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 的 邻 边bc o ata 的 对 边a锐角 a 的正弦.余弦.正切.余切都叫做a 的锐角三角函数留意：（1）由于锐角三角函数都为线段的比值,因而都

18、为正数,而且没有单位；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）假如a 为锐角,那么 0在 0 和 1 之间；sin a1, 0cos a1 ,即锐角三角函数值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）四种三角函数只能在直角三角形中使用；（4）当已知某个角的三角函数值时,常把这个角或与它相等的角放在直角三角形中,依据三角函数的定义列方程求解；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.特殊角（0 、30、45、60、90）的三角函数值：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三角函数030456090sin0cos1tan012312223210222313不存

19、在3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载cot不存在31303精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载记忆技巧：正弦值随角度的增大而增大,依次为“0. 1 .22 .3 .1”；22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载正切值随角度的增大而增大,依次为“0.3 .1.3 .不存在”；余弦值.余3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载切值随角度的增大而减小,可分别依据正弦值和正切值反过来得到；3.同角三角函数的关系：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）平方关系：sin 2 acos 2

20、a1 ；2 倒数关系：tan acot a1；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 相除关系：tan asin a、cot acos a ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cos a4.互余角的三角函数的关系：sin a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin acos90a) ,cos asin 90a；tan acot90a,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cot atan 90a简洁地说成：正余互化,角变余角；5.直角三角形的性质：（1）角的性质

21、：直角三角形两锐角互余,即a +b =90 ；（2）边的性质：直角三角形两边的平方和等于第三边的平方,即 a 2b 2c2 勾股定理 ；（3）边角关系：直角三角形中,30 角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；锐角三角函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载射影定理：假如cd 为rt abc 斜边上的高,那么cd 2adbd ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ac 2adab ； bc 2bdab , ab cdacbc ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.直角三角形的判定：（

22、1）有一个角为直角的三角形为直角三角形；（2）有两个角互余的三角形为直角三角形；（3）勾股定理逆定理：假如三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形为直角三角形； （实际应用中,依据较小两边的平方和等于最大边的平方判定）（4）一边上的中线等于这边的一半的三角形为直角三角形；7.解直角三角形：由直角三角形中的已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形；（1）只有当直角三角形除直角外已知两个元素（至少有一边）时,才能求精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载出其它元素；（2）解直角三角形时,锐角三角函数的选用技巧：涉及斜边经常选用正弦或余弦,不涉及斜边经常选用正切或余切

23、；尽量使被求元素处于所选三角函数表达式的分子；8.解直角三角形的常见类型：（1）已知两边：常用勾股定理求第三边,用三角函数求角,也可先依据三角函数求出其中一个角,再求其余元素；（2）已知一边一角：依据“两锐角互余”求另一角,再选三角函数求边；9.一般三角形的求解策略：（1）已知三边求角：常作高,转化为直角三角形结合勾股定理求解；（2）已知两边及夹角：作这两边中某边上的高,转化为直角三角形求解；（3）已知两角及一边：作已知边上的高,设已知边被高分得的一条线段为x,利用三角函数关系表示被高分得的另一段,依据两段的和等于已知边列方程求解；10.解直角三角形应用中的常见概念：（1）仰角.俯角：我们进行

24、测量时, 在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做 仰角,视线在水平线下方的角叫做俯角；（留意：视线与水平线都经过观测点）；（2）坡度.坡角：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度 或坡比 ,用字母 i 表示,即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ih ；坡度常写成l1 : m 的形式,即 i1: m ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载坡面与水平面的夹角叫坡角坡度与坡角 如用表示 的关系：坡角的正切等于坡度, 即itan角越大,坡度也越大,坡面越陡；（ 3） 方向角：h 坡 l精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载平面上,过观测点o 作一条水平线

25、 向右为正东方向 和一条铅垂线 向上为正北方向 ,就从 o 点动身的视线与正北或正南方向所夹的角,叫做观测的方向角；常表达成：北偏东.北偏西.南偏东.南偏西；圆一. 圆的相关概念1.圆的定义： 在一个平面内,线段 oa 绕它固定的一个端点 o 旋转一周,另一个端点 a 随之旋转所形成的图形叫做圆固定的端点 o 叫做圆心,线段 oa 叫做半径也就为说,圆为到定点的距离等于定长的点的集合其中定点为圆心,定长为半径；2.圆的表示与确定： 以点 o 为圆心的圆,记作“o ” ,读作“圆 o ” ；一个圆由圆心和半径确定,其中圆心打算圆的位置,半径打算圆的大小； 圆也可以由不在同始终线上的三个点确定；3

26、.同心圆.等圆：圆心相同.半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆（也就为半径相等的圆）叫等圆；4.弦.弧：连结圆上两点的线段叫做圆的弦；经过圆心的弦叫做直径,直精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载径等于半径的2 倍,直径为圆中最长的弦；圆上两点间的部分叫做弧,弧用符号“”表示；（留意弦与弧的区分） ；5.半圆.优弧.劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一 条弧都叫半圆； 小于半圆的弧叫劣弧；大于半圆的弧叫优弧；一般劣弧用两个大写字母表示,而优弧要用三个大写字母表示；6.等弧：能够相互重合的弧叫做等弧；留意：长度相等的弧不肯定为等弧,只有在同圆或等圆

27、中才有等弧；7.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；8.圆周角：顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角；9.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；10.弦切角：顶点在圆上,一边和圆相交, 另一边与圆相切的角叫做弦切角；二.圆的性质：1.对称性：（1）圆为轴对称图形,对称轴为过圆心的直线,有很多条对称轴；（2）圆为中心对称图形,对称中心为圆心；（3）圆为旋转对称图形,旋转任意一个角度都能与原先的图形重合；2.圆心角.弧.弦.弦心距的关系定理：在同圆或等圆中, 假如两个圆心角. 两条弧.两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等；留意不能忽视“在同圆或等圆中”这个

28、前提；这一性质常用来证明角相等.弧相等或线段相等；3.垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧这就为垂径定理推 论 1：(1) 平分弦 不为直径 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；(2) 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；(3) 平分弦所对的一条弧的直径, 垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧；可以简洁地说成： 假如一条直线具有以下性质中的两个,那么它必定具有其余三个性质：（ 1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（ 4）平分弦所对的劣弧；（ 5）平分弦所对的优弧；4.垂径定理的应用：（1）用于运算弦长.半径.弦心距：常从圆心作弦的垂线,用勾股

29、定理计算；（2）找圆心：作两条弦的垂直平分线,它们的交点就为圆心；（3）作弧的中点：弧所对弦的垂直平分线与弧的交点就为弧的中点；（4）用于证明：证明线段相等.弧相等,进一步可得角相等；5.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等；留意：“等弦所对的圆周角不肯定相等”,由于一条弦对着两个圆周角,这为证明两个角相等的重要方法；（2）半圆 或直径 所对的圆周角为直角；90 的圆周角所对的弦为直径精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载留意：不要显现“半圆 或直径 所对的角为直角”这样的错误；

30、反过来, “ 90 的角所对的弦为直径”这种说法也为错误的；已知圆的直径时,常作出这条直径所对的圆周角,从而得到直角三角形；三.与圆有关的位置关系：（一）点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系有三种：点在圆上.点在圆内和点在圆外；2.点与圆的位置关系的性质与判定：设圆的半径为 r ,点到圆心的距离为d ,就有：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) dr(2) dr(3) dr点在圆内 即圆的内部为到圆心的距离小于半径的点的集合 点在圆上 即圆上部分为到圆心的距离等于半径的点的集合 点在圆外 即圆的外部为到圆心的距离大于半径的点的集合精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从

31、左推到右为判定,从右推到左为性质；（二）直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置有三种：相交.相切和相离；（1）相交：直线与圆有两个公共点时叫做直线与圆相交；这时直线叫圆的割线；（留意不要把直线与圆“相交”说成“相割”）；（2）相切：直线与圆有唯独的公共点时叫做直线与圆相切,直线叫圆的切线,唯独的公共点叫切点；（3）相离：直线与圆没有公共点时叫做直线与圆相离；2.直线与圆的位置关系的性质.判定：假如 o的半径为 r ,圆心 o到直线 l 的距离为 d,那么精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 直线 l 与 o相交3 直线 l 与 o相离d r ；2 直线 l 与 o相切dr ；dr ；

32、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从左推到右为性质,从右推到左为判定；3.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线为圆的切线；证明一条直线为圆的切线有两种方法：（1）当已知直线与圆有公共点时,只需从圆心向直线作垂线段,证明这条垂线段等于圆的半径即可； （也就为通过“到圆心的距离等于半径的直线为圆的切线”进行证明）；（2）当没有已知直线与圆有公共点时,就连结圆心和公共点,证明这条直线垂直于这条半径即可；4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角说明：1如图, pa.pb 分别切 o 于 a, b,直线op 交 o 于

33、 d.e,交弦 ab于 c,就：由切线长定理得pa=pb,34 由等腰三角形三线合一得pcab,ac=bc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载由垂径定理得：,由切线性质定理得：oaap,obbp连结 ad.bd,由 ad .bd 分别平分pab和pba 得： d 为abp 内心精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1234、5678 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2这为切线长定理的一个基本图形,它能把很多圆的学问串联起来,并能找出一些规律性的东西,便于应用,也有利于开阔思路5 . 弦 切 角 定 理 ： 弦 切 角 等 于 它 所 夹 的 弧

34、对 的 圆 周 角 , 如 图 中 的padabd ；（三）圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系有五种：外离.外切.相交.内切.内含（包括同心圆）(1) 两圆外离：两个圆没有公共点, 并且每个圆上的点都在另一个圆的外部；(2) 两圆外切：两个圆有唯独的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部,唯独的公共点叫切点；(3) 两圆相交：两个圆有两个公共点；(4) 两圆内切：两个圆有唯独的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的内部,唯独的公共点叫切点；(5) 两圆内含：两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部,同心圆为两圆内含的一种特例；外离和内

35、含统称为相离；外切和内切统称为相切；2.圆与圆的位置关系的性质.判定：设两圆半径分别为r 和 r ,圆心距为d,那么精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 两圆外离(2) 两圆外切drrdrr；（圆心距大于半径之和）；（圆心距等于半径之和）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) 两圆相交rrdrr ；（圆心距大于半径之差的肯定值且小于半精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载径之和）(4) 两圆内切drr；（圆心距等于半径之差的肯定值）精品学习资料精选学习资料 - -

36、- 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(5) 两圆内含drr；（圆心距小于半径之差的肯定值）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载说明：(1) 要留意内切.外切分别对应drr .drr ,留意它们的分界线作精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载用；(2) 当drr 时,两圆可能相交,仍可能外切或外离；当drr时,两精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载圆可能相交,仍可能内切或内含,因此,只有当rrdrr 时,才能判

37、定精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载两圆相交；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载3.相交.相切两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；假如两圆相切,那么切点肯定在连心线上；留意：（1）在解有关相交两圆的问题时,常作出连心线.公共弦,或连结交点与圆心,从而把两圆半径,公共弦长的一半,圆心距集中到一个三角形中,运用三角形有关学问来解,或者结合相交弦定理,圆周角定理综合分析求解；（2）两圆相切时,连心线为常见的一条帮助线,使用连心线时要留意：连心线为直线而不为线段；有时也用圆心距做帮助线；（四）圆与三角形的关系1.三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点

38、的圆叫做三角形的外接圆,这个三角形叫圆的内接三角形,三角形外接圆的圆心叫三角形的外心；外心为三边垂直平分线的交点且到三个顶点的距离相等；（1）三角形有一个且只有一个外接圆；（2）作三角形外接圆（过不共线的三点作圆）的方法：作两边的垂直平分 线,以它们的交点为圆心.交点到任一顶点的距离为半径作圆,就为三角形的外接圆；2.三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,这个三角形叫圆的外切三角形,三角形内切圆的圆心叫三角形的内心；内心为三个角平分线的交点且到三边的距离相等；（1）三角形有一个且只有一个内切圆；（2）作三角形内切圆的方法：作两个角的平分线,以它们的交点为圆心.交点到任一边

39、的距离为半径作圆,就为三角形的内切圆；3.三角形的外接圆.内切圆的半径：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）三角形的外接圆的半径： 外接圆半径）a sin ab sin bc sin c2 r （ r 就为三角形的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）三角形的内切圆的半径：的内切圆半径）；（五）圆与四边形的关系s abc1 l r2（ l 为 abc的周长, r 为 abc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.四边形不肯定有外接圆,也不肯定有内切圆；2.圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角说明：“内对角”为圆内

40、接四边形的专用名词,圆内接四边形的某一个外角的内对角为指与其相邻的内角的对角,使用本定理时, 要留意观看图形, 不要弄错；3.圆外切四边形的性质定理： 圆外切四边形的对边之和相等；四.与圆有关的比例线段1.相交弦定理：弦ab .cd 在圆内相交于点p,那么 pa pbpcpd ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载2.切割线定理：从圆外一点p 引圆的切线pa 和割线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pbc,那么pa 2pbpc ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线pab.pcd,那么 pa pbpcpd ；

41、这三个定理可以用来证明线段成比例,也可以求线段长度；五.圆中的运算问题1.圆周长.弧长：圆周长公式：c2 r；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n 的圆心角所对的弧长l 的运算公式： lnr ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.圆面积.扇形面积：圆的面积公式：180圆s r 2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载扇形的面积：s扇2扇nr； s1 lr ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载36023.圆柱的侧面积：圆柱的侧面绽开图为一个矩形,矩形的一边为圆柱的母线长.另一边等于圆精品学习资料精选学

42、习资料 - - - 欢迎下载柱底面圆的周长,所以圆柱的侧面积为：s圆柱侧 2rl ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.圆锥的侧面积：圆锥的侧面绽开图为一个扇形,扇形的半径为圆锥的母线长.弧长等于圆柱精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载底面圆的周长,所以圆锥的侧面积为：s圆锥侧 rl ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载圆锥的侧面绽开图扇形的圆心角可依据弧长公式列方程去求；二次函数1.二次函数：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 果 yax 2bxc a、 b、 c为常数 、 a0 ,那么, y 叫做 x 的二次函数；精品学习资料精选学习资料

43、- - - 欢迎下载要使一个函数为二次函数, 必需使其自变量的最大指数等于2 且该项系数不等于 0；2.二次函数的图象：二次函数的图象为一条叫抛物线,它为轴对称图形,它的对称轴平行于y轴；抛物线与它的对称轴的交点叫抛物线的顶点；抛物线的几个主要特点：有开口方向；有对称轴；有顶点3.抛物线的常见形式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）一般式：yax 2bxca、 b、 c为常数 、 a0 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）顶点式：ya xh 2k a、 h、 k为常数 、 a0 ；这种形式较易写出顶精品学习资料精

44、选学习资料 - - - 欢迎下载点坐标为（ h,k）和对称轴方程xh ；在顶点式中,令平方的底数为0,即可求得对称轴方程和顶点横坐标,把顶点横坐标代入解析式就能求得顶点纵坐标；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) 交点式：当抛物线yax 2bxc 与 x 轴交于点（x1 ,0）和（x2 , 0）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载时,二次函数解析式可写成ya xx1xx2的形式；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - -

45、欢迎下载4.抛物线 yax 2bxc a、b、 c为常数 、 a0 的性质：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）开口方向：由a 确定,当a>0 时,开口向上；当a<0 时,开口向下；假如两个二次函数的a 值相等,那么这两条抛物线的外形相同,可以通过平移由一条得到另一条；（2）对称轴：由a.b 确定,对称轴方程为xb；2a当 a.b 同号时,对称轴在y 轴的左侧；当a.b 异号时,对称轴在y 轴的右侧；当 b 0 时,对称轴为y 轴；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）顶点坐标： 2b, 4 acb ；2a4a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

46、下载（4）增减性：画出草图（主要确定对称轴和开口方向）,分对称轴左侧精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ xb 2a）.右侧（ xb ）两部分分别加以说明；2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（5）最大.最小值：当 a0 时,函数有最小值,当x 取顶点横坐标时,函数取得最小值为顶精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点纵坐标；即当xb 时 ,2ay最小值 4acb 2；4 a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 a0时,函数有最大值,当x 取顶点横坐标时,函数取得最大值为顶精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点纵坐标；即当xb 时,2ay

47、最大值 4acb 2；4 a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（6）与 x 轴的交点个数：由 b 24ac 确定；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 0 时,抛物线与 x 轴有两个交点； 当 0 时,抛物线与 x 轴有一个交点； 当 0 时,抛物线与 x 轴没有交点；（7）与 y 轴的交点位置：由 c 确定；当c0 时,抛物线与y 轴交于正半轴；当c0 时,抛物线与y 轴交于原点；当c0 时,抛物线与y 轴交于负半轴；留意：（1）求抛物线的对称轴.顶点坐标.最大（最小）值时,既可以用公式求,也可以通过配方把解析式化为顶点式去求；（2）依据性质（ 1）.（2）.（6）和（ 7）可画出二次函数的大致图象,5.配方法化二次函数解析式为顶点式的方法：把解析式化为一般式； 把二次项系数提到括号外面（只针对二次项和一次项提）；在括号内加上同时减去一次项系数一半的平方；把括号内的前三 项写成平方形式；去掉中括号（不要去小括号）,合并常数项就把解析式化成精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载了顶点式；6.二次函数图象的画法：用公式或配方求出抛物线的对称轴；环绕对称轴对称地对x 取值列表（尽量取整数,至少取五个 x 值进行运算）；描点.连线得图象；7.由抛物线确定解析式中系数的符号：（1）a