§补充：空间向量与运用

1、§主卜充邑空風向量与运用_（2l学习目标1. 会求空间直线的方向向量，平面的法向量.2. 会用向量法求空间角与证明空间的平行、垂直问题。学习过程一、课前准备（预习教材尸28巴0,找出疑惑之竺复习引入:1.人（兀,）,可），（兀22，?2），则ab = （，）i ab 1=2空i'ajjrjft的坐标运算若m =（兀,石）,色=（x2,>'2.z2）»则_（1） m ±n = （,、） ； /h n =； （2） m =,cos < m,n >- （3）加丄 o3共线向量定理：对平面任意两个向量（0）, a &的充要条件是存

2、在唯一实数久使fia = ab 即设 d =（兀,x, z j, b =（勺， 乂2 ），则二、新课导学探学习探究1：用向量求空间角1. 异面直线所成的角：abg6/;c,£>gz?,则向量ab.cd分别为直线c方向向量,cos < abcd >=ab cd,v ab,cd >所对应的锐角或直角即为直线所成的角。ab cd探 典型例题例1：如图，已知直棱柱abc-a|b|ci，在4abc中， ca=cb=1, zbca = 90° ,棱aa1=2,求异血宜线bap cb】所成的角。2. 线呼成的角：如图总线ap的射影为a0,则zp40为肓线ap与平曲

3、q的夹 角，若7为平而q的法向量，那么有sin zpa0 = coszap0 =。cic探 典型例题例2.棱长为a的正方体abcd-aibicidi中，e、f分别 为cd、bg的中点,求点aj）与平ftl efbd所成的角。3. 二面角的求法:二而角a-l-b，平而兰®法向量加芒网0的法向量 n ,则二面角。一2 0平面角0满足& =<m,n >或;r-v加,（即 m ni cos & 1=1 cos < m、n >1=11 ）。探 典型例题例3.如图，平ifu abcd, a ade是等边三角形，abcd是矩形，f是ab的 中点，g是ad的中

4、点，ec与平面abcd成30°的角。（1）求证：eg丄平而abcd；若ad=2,求二面角e-fg-g的度数；探学习探究2：用向量证明平行关系1. 线线平行：若两直线/| > /2的方向向最分别为m -（兀,知）,兀=（兀2，2忆2），则厶/2 o mh n 0 m = zl/7 « =兀2 )'252. 线面平行：若直线/的方向向虽:为加=（兀1，）,2），平面q的法向量为斤=（兀22忆2），则* illa <=> m 丄 o 加 = 0 o xax2 +）y2 + 知乞=0。3. 面面平行：若两面0、0的法向最分别为/7?二（xj, ） , z

5、）, 7? = （x2, y9 .z j则，odl(3 o mhn m = an <= = 兀2 $2 s探 典型例题例4.（2013.新课标。17）如图，直三棱abc-acv，d, e分别是ab，bb的中点，=ac = cb ab a i )证明：bcji 平面2（ii）求二而角d_a、c_e的正弦值。cb探 典型例题例5. （2013.陕西.8）四棱柱abcdalblcldl的底ifij' abcd是正方形,o为底 面中心，久0丄平面a3cd, ab = aa=. （ i ）证明：a/d /平面cd/i； ii）求三棱柱abd-abd的体积.探学习探究3：用向量证明垂直关系_

6、1线线垂直：若两直线厶、厶的方向向量分别为加=（兀,2）,斤=（花，2忆2），则 右丄厶oo2.线面垂直：若直线/的方向向最为加=0|,）,石），平面a的法向最为n =（兀2，儿忆2）则/丄 a oo4. 面面垂直：若两平面q、0的法向量分别为万=（西,）1心）,；=（兀2，）”2）则， a 丄 p oo探 典型例题例6 （2013.北京7）如图，在四棱锥p-abcd中，ab/cd , ab丄ad ,cd = 2 ab ,平面p4d丄底面abcd, pa丄ad. e和f分别是cd和pc的中点，求证：(i ) pa丄底而abcd, (ii) be/平ffipad； (iii)平面bef丄平而pc

7、d o探 典型例题例7（2013.天津.17）如图，三棱柱abca/c屮，侧棱a/丄底面abc,且各棱长均相等.d, e, f分别为棱ab, bc,a|ci的中点.（i ）证明 ef/平面 a|cd;（ii）证明平jfll a|cz）丄平面 a.abbx； （iii）求肓线bc与平面a|cd所成角的正弦值.三、总结提升自我评价你完成本节导学案的情况为（）a.很好 b.较好 c. 一般 d.较差探 当堂检测（时量：15分钟）计分：1.如图,四棱锥p-abcd中所有的棱长都相等。求：二面角c-pd-b 人小设m、n分别为ad、pc小点，试求mn与底面ac及平面bdp 所成的角平面pab与平面pcd

8、所成二面角的人小2.四棱锥s abcd中，底iftl abcd为平行四边形，侧面sbc丄底面4bcd.己知zabc = 45°, ab = 2f bc = 22 , sa = sb =迟.(i ) 证明sa丄bc； (ii)求直线sd与平面sab所成角的人小.3. 在长方体 abcd-ab|cq| 中，已知 ab=d , bc=/?(d >/?) ,aa,=c,求异面直线 d)b 和ac所成的角的余弦值4在四棱锥 p-abcd 中,pd丄平面 abcd, pd=dc=bc=1, ab=2,abdc, zbcd=90°o 求证：pc 丄 bcae丄bc .求证ae丄平面qcd；5.已知正四