2025年高考数学模拟卷2（新高考专用）学生版+解析

2025年高考数学全真模拟卷02（新高考专用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第U卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2024•山西晋中•模拟预测）若（l-i）z=2,则|z+l|=（）

A.V5B.V3C.1D.5

2.（5分）（2024•陕西咸阳•模拟预测）下列命题中，真命题是（）

A."a>l,b>1”是“ab>1”的必要条件

B.V%>0,e%>2X

C.Vx>0,2x>x2

D-。+6=。的充要条件号=-1

3.（5分）（2024.黑龙江•模拟预测）已知向量同=3,|五一川=|五+2山，则忻+山=（）

A.V3B.2C.V5D.3

4.（5分）（2024•四川宜宾•模拟预测）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的

热情，某校举办了“学党史、育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整

数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）

小频率/组距

A.a的值为0.005

B.估计这组数据的众数为75分

C.估计成绩低于60分的有250人

D.估计这组数据的中位数为等分

5.（5分）（2024.贵州贵阳.三模）过点4（—3,—4）的直线/与圆C:（x—3）2+（y-4）2=9相交于不同的两点

M,N,则线段的中点P的轨迹是（）

A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分

C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分

6.（5分）（2024•全国•模拟预测）若函数/'（久）=V^sin3x（a>>0）的图象与函数g（x）=V^costox的图象的

任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则3=（）

A.-B.-C.-D.-

2468

7.（5分）（2024•内蒙古包头•一模）如图，底面2BCD是边长为2的正方形，半圆面2PD_L底面4BCD,点

尸为圆弧4D上的动点.当三棱锥P-BCD的体积最大时，PC与半圆面4PD所成角的余弦值为（）

8.（5分）（2023・四川成都•一模）已知函数y=（2—x）（lna）2—41na+%+2,若xe[0,2]时，y20恒成

立，则实数a的取值范围为（）

A.（0,e]B.[e,+oo）C.（0,1]D.[l,+oo）

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.（6分）（2024•新疆喀什•三模）己知函数/'（x）=V5sinxcosx—cos?%+5则下列说法正确的是（）

A./（%）=sin（2x—

B.函数人久）的最小正周期为2n

C.久=]是函数/（x）图象的一条对称轴

D.函数f（x）的图象可由y=sin2x的图象向右平移套个单位长度得到

10.（6分）（2024・重庆.模拟预测）已知抛物线E:*=版的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过点C的

直线1与抛物线E交于4,8两点（点4和点C在点8的两侧），则下列命题正确的是（）

A.若BF为AACF的中线，贝i」MF|=2|BF|

B.\AF\>4

C.存在直线使得|4C|=<2\AF\

D.对于任意直线Z,都有|4尸|+\BF\>2\CF\

11.（6分）（2024•重庆•三模）已知函数/（久）=e2x—a久2（a为常数），则下列结论正确的是（）

A.当a=l时，/'（%）在（0J（0））处的切线方程为2%-y+1=0

B.若/（尤）有3个零点，贝打的取值范围为Q2,+8）

C.当a=e?时，久=1是/（久）的极大值点

D.当。=凯寸，f（x）有唯一零点M-l<x0<

第口卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）（2024.四川宜宾•模拟预测）已知数列｛时｝是公差不为0的等差数列，的=1,且满足。2，口3，口6成

等比数列，则数列｛an｝前6项的和为.

13.（5分）（2024•陕西安康•模拟预测）已知a,/?Egn）,且1一cos2a=则:.

14.（5分）（2024•浙江台州•二模）若排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有」20_种不同的

排法（用数字作答），其中恰有两首歌曲相邻的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）（2024•山东青岛•三模）设三角形力BC的内角4、B、C的对边分别为a、6、c且sin（B+C）=2底iM*

（1）求角a的大小；

（2）若b=3,BC边上的高为手，求三角形2BC的周长.

16.（15分）（2024•黑龙江•模拟预测）已知/（久）=ax+bcosx在点g,/（小）处的切线方程为x+2y-ti-0.

（1）求a,b的值；

（2）求f（x）在区间的单调区间和极值.

17.（15分）（2024•江西宜春•模拟预测）如图1,在五边形力BCDE中，AB=BD,AD1DC,EA=ED且

EA1ED,将AAED沿4D折成图2,使得EB=4B,F为2E的中点.

E

⑴证明：8F〃平面ECD；

⑵若EB与平面4BCD所成的角为30。，求二面角A-EB-。的正弦值.

18.（17分）（2024•全国•模拟预测）2024年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由4道

减少到3道，分值变为一题6分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得6分，

有错选或全不选的得0分.若正确答案是“两项”的，则选对1个得3分；若正确答案是“三项”的，则选对1个得2

分，选对2个得4分.某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p,正确答案是

三个选项的概率为1-p（其中0<p<1）.

（1）在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若「=求学生甲该题得

2分的概率；

（2）针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案:

I:随机选一个选项；II:随机选两个选项；III:随机选三个选项.

①若p=I,且学生甲选择方案I,求本题得分的数学期望；

②以本题得分的数学期望为决策依据，P的取值在什么范围内唯独选择方案I最好?

19.（17分）（2024•江苏苏州•模拟预测）点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列.过曲线。：'=短上

的点尸式久1，乃）作曲线C的切线人与曲线C交于22（X2，%），过点22作曲线C的切线办与曲线。交于点23（久3，%），

依此类推，可得到点列：尸1（%21），尸2（%2，%），「3（%3，%），…，匕（%，%），…，已知％1=1.

（1）求数列｛%九｝、｛%｝的通项公式；

（2）记点/到直线〃+i（即直线乙+止九+2）的距离为%,

（I）求证：—+—H----F—>-；

dic?2dfi9

（II）求证：---若71值（71>0,71EN*）与⑴相同，则求此时;+----的

U24九9K,2/c?2

最小值.

2025年高考数学全真模拟卷02（新高考专用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2024•山西晋中•模拟预测）若（1一i）z=2,则|z+1|=（）

A.V5B.V3C.1D.5

【解题思路】先由（1-i）z=2求出复数z,从而可求出z+L进而求出|z+l|.

【解答过程】由（1—i）z=2,得z=2（九=i+i,

1-1（1-1）（1+1）

所以z+1=2+3

所以|z+1|=V22+I2=V5,

故选：A.

2.（5分）（2024•陕西咸阳•模拟预测）下列命题中，真命题是（）

A."a>l,b>1”是“ab>1”的必要条件

B.V久>0,ex>2X

C.Vx>0,2—%2

D-。+6=°的充要条件是?=一1

【解题思路】举反例来判断ACD,利用指数函数的性质判断B.

【解答过程】对于A,当a=2,6=1时，满足ab>1,但不满足a>1,6>1,故"a>l,b>1”不是“ab>1”

的必要条件，故错误；

对于B,根据指数函数的性质可得，对于Vx>0,（|）>1,即ex>2,故正确;

对于C,当x=3时，2*<%2,故错误；

对于D,当a=b=O时，满足a+b=O,但£=一1不成立，故错误.

故选：B.

3.（5分）（2024•黑龙江•模拟预测）已知向量向=3,|之一山=忻+2山，则忻+山=（）

A.V3B.2C.V5D.3

【解题思路】对忻-b\=\a+2力两边平方化简可得宜+2a-b=0,再对忻+向平方化简后再开方即可.

【解答过程】由回一0=1+2bl两边平方得,a2+b2—2a-b=a2+4b2+4a.-b,

所以中+2db=0,

22

所以M+加2=S.+b+2a-b=|团2=9,

所以4+臼=3,

故选：D.

4.（5分）（2024・四川宜宾.模拟预测）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的

热情，某校举办了“学党史、育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整

数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）

个频率/组距

6。----------

5a----------------

3a--------r—r—

2a—1—

O"405060708090100成功/分

A.a的值为0.005

B.估计这组数据的众数为75分

C.估计成绩低于60分的有250人

D.估计这组数据的中位数为竽分

【解题思路】对A,根据频率和为1求解即可；对B,根据频率分布直方图的众数判断即可；对C,计算成

绩低于60分的频率，进而可得人数；对D,根据成绩低于中位数的频率为0.5计算即可.

【解答过程】对A,由题意，10x（2a+3a+3Q+6Q+5a+a）=1,解得。=0.005,故A正确；

对B,由直方图可得估计这组数据的众数为誓=75分，故B正确；

对C,由直方图可得成绩低于60分的频率为10x（0.01+0.015）=0.25,故估计成绩低于60分的有1000x

0.25=250人,故C正确；

对D,由A可得区间[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的频率分别为

0.1,0,15,0.15,0.3,0,25,0.05,

因为0.1+0.15+0.15+0.3>0.5,0.1+0.15+0.15<0.5,故中位数位于[70,80)内.

设中位数为％,贝U0.1+0.15+0.15+0.03x(x-70)=0.5,解得％=竽，故D错误.

故选：D.

5.(5分)(2024•贵州贵阳•三模)过点4(一3,-4)的直线/与圆C:。-3)2+(y—4)2=9相交于不同的两点

M,N,则线段MN的中点P的轨迹是()

A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分

C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分

【解题思路】设P(x,y),根据垂径定理得到CP14P,再转化为方•乔=0,写出相关向量，代入化简即

可.

【解答过程】设P(x,y),根据线段MN的中点为P,贝UCP1MN,即CP14P,

所以而•标=0,又2(—3,—4),。(3,4),而=(x+3,y+4),CP=(%—3,y—4),

所以(x+3)(%-3)+(y+4)(y—4)=0,即/+y2=25,

所以点P的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为5的圆在圆C内的一部分，

故选：D.

6.(5分)(2024•全国•模拟预测)若函数/(%)=V^sin3x(3>0)的图象与函数g(x)=V^coss:的图象的

任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则3=()

【解题思路】解法一，令/(x)=g(X),可得㈤久=kn+eZ),不妨取k=0,1,2,得三个连续的交点

4

依次为4(已遮)，B偿-电)，C偿,百)，求得的高，再根据(⑺与g(x)图象求得AABC的高,

建立方程求得结果.

解法二,在同一平面直角坐标系中，作出函数/(x)=V^sintox和g(x)=V^coss尤的图象，求得△48C的高

为28，可得AABC的边长为4即/(%)的周期为4,得解.

【解答过程】解法一由/⑴=.也—,令/⑺=以力得tans=1,

ig(%)=V6cos3%

所以3%=Mr+笛EZ),不妨取k=0,1,2,得三个连续的交点依次为人(焉，遮)，B(工一百)"会,遮),

因为为正三角形，产-F为△的边长，当(广-为△Z8C的高，

4co4a)2\4o)4a)/

由正弦函数、余弦函数的图象可知在/(%)=V^sinax和g(%)=遥cossr的图象的交点处sins=costox=

士争

所以△48C的高为2x迎x亨=2V3,

所喈德一)=2。

解得3=(

故选：A.

解法二：如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数/(%)=VSsimo%和g(%)=V^COSMT的图象，

设两图象的三个连续交点分别为A,B,C,连接48,AC,BC,

则△ABC为正三角形，过点B作垂足为D,

由正弦函数、余弦函数的图象可知在/(%)=Vasina)%和g(%)=V^cosco久的图象的交点处sin3%=cosoox=

士圣

所以旧叫=2x乃x亨=2V3,

所以|/C|=4,所以/(久)=V^sin3%的最小正周期T=4,即詈=4,所以3=1

故选：A.

7.(5分)(2024•内蒙古包头•一模)如图，底面ZBCD是边长为2的正方形，半圆面4尸。，底面ZBCD,点

尸为圆弧an上的动点.当三棱锥P-BCD的体积最大时，PC与半圆面4PD所成角的余弦值为（）

【解题思路】过点P作。P于点。，易得点P位于圆弧4。的中点时，Vp_BCD最大，证明CD1面PAD,则

NCPC即为PC与半圆面4PD所成角的平面角，再解RtAPCD即可.

【解答过程】过点P作。PLAD于点0,

因为面1底面2BCD,面4PDn底面2BCD=AD,OPu面PAD,

所以。P1平面4BCD,

则Vp_BCD=；>炉2>2.。P号,

当且仅当。P=l,即点P位于圆弧4。的中点时，0_BCD最大，此时。为4D的中点，

因为面力PD1底面4BCD,面4PDC底面力BCD=AD,CD1AD,CDu面4BCD,

所以CDJ_面PAD,

所以NCPD即为PC与半圆面ZPD所成角的平面角，

在RtAPCD中，CD=2,PD=V1TI=V2,PC=V¥T2=V6,

所以cos/CPD=器=当，

即PC与半圆面APD所成角的余弦值为日.

故选：D.

8.（5分）（2023•四川成者B•一模）已知函数y=（2—X）（lna）2—41na+X+2,若％£[0,2]时，y之0恒成

立，则实数a的取值范围为（）

A.(0,e]B.[e,+oo)C.(0,1]D.[l,+oo)

【解题思路】当％=0时，y=2(Ina)2-41na+2=2(Ina-I)2>0,所以问题转化为一41na+4>0,求解

即可.

【解答过程】由y=(2—x)(lna)2—41na+%+2可得y=[1—(lna)2]x+2(Ina)2—41na+2,

当a=e时，y=0符合题意；

当aKe时，y是关于x的一次函数，此时只需区间端点的函数值不小于0即可，

又当x=0时，y=2(Ina)2—41na+2=2(Ina—I)2>0,

当x--2时，y——41na+4,

所以-41na+420,即InaW1,解得0<a<e,

综上，0<aWe.

故选；A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)(2024•新疆喀什•三模)已知函数f(x)=V5sinxcosx—cos?%+5则下列说法正确的是()

A./(%)=sin(2x—

B.函数八久)的最小正周期为2n

C.x=T是函数/(*)图象的一条对称轴

D.函数/(久)的图象可由y=sin2久的图象向右平移套个单位长度得到

【解题思路】A由降幕公式，辅助角公式可得答案；

B由周期计算公式可得答案；

C将％=学弋入由A选项所得化简式中可得答案；

D由函数图象平移知识可得答案.

【解答过程】A选项，/(x)=V3sinxcosx—cos2x+i—sin2x--cos2x=sin(2x--Y故A正确；

B选项，由A选项结合周期计算公式可知最小正周期为:=m故B错误；

C选项，将％=3弋入=]/(%)在此时得最大值，故%=]是函数f(x)图象的一条对称轴，故C正确；

D选项，y=sin2久的图象向右平移卷个单位得sin2(x-自=sin9x-J故D正确.

故选：ACD.

10.（6分）（2024・重庆.模拟预测）已知抛物线E：V=8久的焦点为尸，点F与点C关于原点对称，过点C的

直线［与抛物线E交于力，B两点（点4和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（）

A.若BF为△力CF的中线，贝1」|力?|=2|BF|

B.\AF\>4

C.存在直线使得|4C|=V2|XF|

D.对于任意直线］,都有|4F|+\BF\>2\CF\

【解题思路】取4B两点都在第一象限，设/:*=ky—2,k>0,401，%）,8（久2，乃），联立抛物线，利用韦

达定理以及抛物线的定义来判断各项正误.

【解答过程】不妨取A,B两点都在第一象限，过分别作抛物线准线的垂线，垂足为D,E,

设=ky-2,k>0,4（x1,y1）,B（x2,y2）,x1>x2,C（-2,0）,F（2,0）,

联立E:y2=8久，得必—8ky+16=0且△=64（卜2—1）>o,gpfc2>1,

所以%+y2=8fc,yiy2=16,

则+%2=卜（乃+丫2）-4=8k2-4,X1X2="2）=4,

64

对于A：若BF为A4CF的中线，则为=葭，结合月内=16得;,所以二:

所以力（4,4&）,B（l,2V2）,

此时|4F|=4+2=6,|BF|=1+2=3,所以|4F|=2|8F|,A正确；

对于B：由求根公式yi=叫#=8一+空MF=4（k+依二T）>4,

则%i=4>2,所以|AF|=%I+2>4,B正确;

o

对于C：若|AC|=&MF|,即|力口=/|4叫，明显A4CD等腰直角三角形，

此时|CD|=\AD\,即4（乃-2,%），所以资=8%-16,解得％=4,此时y2=4,

此时4B为同一点，不合题意，C错误；

2

对于D：\AF\+\BF\=\AD\+\BE\=+x2+4=8fc,

又2|CF|=8,结合1>1,都|4F|+|BF|>2|CF|恒成立，D正确;

故选：ABD.

11.(6分)(2024.重庆.三模)己知函数/(x)=e2x—a/(a为常数)，则下列结论正确的是()

A.当a=l时，/'(X)在(0/(0))处的切线方程为2x-y+i=0

B.若/(x)有3个零点，贝必的取值范围为白2,+8)

C.当a=e2时，x=1.是/(久)的极大值点

D.当£1=凯寸，f(x)有唯一零点而，且一1<与<-称

2X

【解题思路】根据导数的几何意义，可判定A正确；根据题意，转化为gO)=%与丫=a的图象有3个交

点，利用导数求得函数g(x)的单调性与极值，可判定B正确；当a=e2时，得到r(x)=202,-eZ%),讨

论函数〃久)的单调性，结合极值点的定义，可判定C错误.当a=机寸，得到尸(x)>0,函数f(x)单调递增,

结合〃一1)"(一｝<0,可判定D正确；

【解答过程】对于A中，当。=1时，可得/(%)=e2“一贝=1,尸(%)=2?2%-2%,((0)=2,所

以切线为2%—y+1=0,A正确：

对于B中，若函数/(%)=e2%—a/有3个零点，即e2%=a/有三个解，

其中l=0时，显然不是方程的根，

2X

当工工0时，转化为9(%)=%与y=a的图像有3个交点,

2x22x2x

又由g'(%)=2ex-2ex2e(x-l)

x3

令"(x)>0,解得x<0或x>1；令"(x)<0,解得0<x<l,

所以函数g(x)在(-8,0),(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减;

所以当％=1时，函数g(x)取得极小值，极小值为g(l)=e2,

又由x70时，g(x)+oo,当x->—8时，g(x)-0且g(x)>0,

如下图：

所以Q>e2,即实数。的取值范围为(e2,+8),所以B正确:

对于C中，当a=e?时，/,(%)=e2x—e2x2,可得尸(%)=2e2%—=2(e2%—e?%),

令g(%)=e2x—e2x,g'(%)=2e2%・e2在R上单调递增,

且“(0)=2-e2<0/(1)=e2>0,所以存在久°G(0,1)使得“(&)=0,

所以在(一8,、o)上“(久)<0,。(汽)单调递减，

在(久0，+8)上“(%)>0,g(%)单调递增,又g(l)=0,

所以在(&,1)上g(%)<0,即/(%)V0,/(%)单调递减，

在(L+8)上g(%)>0,即r(%)>0,/(%)单调递增，

所以％=1是f(%)的极小值点，所以C错误.

对于D中，当Q=［时，/^x)=2e2x—x=2^e2x—

设h(x)=e2x—|x,可得"(%)=2e2x—

当》<In］时，"(%)<0,八(%)在(―8,呜)单调递减；当%>ln|时，”(%)>0,h(%)在(ln|,+8)单调递增，

所以当％=In;时，/i(x)min=八(in=e21n5—■1］口:=［+［ln2>0,所以/i(%)>0,

所以尸(乃>0,所以函数/(%)在R上单调递增，

又因为/"(-1)=e-2-1<0J(^-0=e-1-^>0,即/(一1)"(一］)<0,

所以/(%)有唯一零点久o且一1<%o<-|，所以D正确；

故选：ABD.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)(2024・四川宜宾•模拟预测)已知数列｛的J是公差不为0的等差数列，的=1,且满足。2，口3，。6成

等比数列，则数列前6项的和为-24.

【解题思路】设数列｛an｝公差为d,再根据。2，。3，。6成等比数列求解可得d=-2,进而可得｛&J的通项公式

求解即可.

【解答过程】设数列｛即｝公差为d,由。2，。3，口6成等比数列可得屏=a2a6，

即(l+2d)2=(l+d)(l+5d),即卢+2d=0,因为公差不为0,故d=-2.

故a九=1-2(?1—1)=-271+3.

故｛。九｝前6项的和为1—1—3—5—7—9=-24.

故答案为：-24.

B

tana+tan—

13.（5分）（2024•陕西安康•模拟预测）已知a]e（，冗）,且1-cos2a=则_______2__1

_B~L

1-tanatan-

2

【解题思路】利用二倍角公式，同角关系，两角和与差的正切公式变形求解.

【解答过程】由1一cos2a=等卑得上等=鼻,

1+smpsin2a1+sinp

22

2sin2acos-sin^

2sinacosacos2—+sin2—+2sin-cos—,

2222

sinacos——sin—1—tan-tan—tan--n-/?

所以理=T~I，即tana=-j=-J=ta*-f),

cosacos^+sin^1+tan^1+tan-tan^42

又a,/?W所以a=3—§+TT,即/+§=,

—,.tana+tan与«5冗

所以------，=tan(a+-)=tan—=1.

l-tanatan-24

2

故答案为：1.

14.（5分）（2024.浙江台州.二模）若排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有720种不同的

排法（用数字作答），其中恰有两首歌曲相邻的概率为m.

【解题思路】（1）直接利用排列数计算即可；

（2）相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，计数后，利用古典概型求概率.

【解答过程】排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有膜=6x5x4x3x2xl=720种不同的

排法；

记事件A恰有两首歌曲相邻,则事件A包含：尚x用x幽=3x2x1x3x2x4x3=432

故PG4）=鬻转

故答案为：720；|,

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）（2024•山东青岛・三模）设三角形4BC的内角4、B、C的对边分别为a、6、c且sin（B+C）=2遮siM*

（1）求角力的大小；

（2）若b=3,BC边上的高为手，求三角形ABC的周长.

【解题思路】（1）利用内角和为180°化简sin（B+C）=sin4利用二倍角公式化简siM：=上詈，再利用

辅助角公式化简即可求得力=今

（2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可.

【解答过程】（1）因为力，B,C为A/IBC的内角，所以sin（B+C）=sin4

因为siM(=i；°已所以sin(B+C)=ZV5sin?：可化为：sinX=V3(l—cos/l),

即sin4+V3cos4=V3,即sin（4+；）=字，

因为号）解得：即4=%

(2)由三角形面积公式得|入,csinA=(Xa,b=3代入得：2X3.csing=(Xa,

所以a=—c,由余弦定理M=h2+c2—2bccosA-得：c2+4c-12=0,

24

解得：c-2或c=-6舍去，即。=V7，

所以△4BC的周长为5+V7.

16.（15分）（2024•黑龙江•模拟预测）已知/（%）=ax+bcos%在点处的切线方程为X+2y-TV=0.

(1)求a,6的值;

（2）求/O）在区间［0,m的单调区间和极值.

-+2/f-)-7i=0

2

【解题思路】（1）由题意可得A?।,解方程组可求出a,b的值;

（2）由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出极值.

【解答过程】(1)由f(%)=a%+bcos%,W/Z(x)—a—bsinx,

（会/）处的切线方程为％+冗=

因为/(%)=ax4-bcosx在点©2y-0,

2+2/g)-Tt=0

所以《

TT71

-+2f-a+bcos-—11=0na=-

所以《2\22.,所以2

_1

a—bsin-=a—b=--

222

解得a=ph=1;

(2)f(%)=+cosx,/'(X)=|—sinx,令f(%)=0,

因为％e[O,n],所以％i=p或不=

o6

当XG（05）时,尸（x）>0,〃尤）单调递增,

当无€仁,等时，尸（X）<0JO）单调递减,

当xe偿,it）时，尸（x）＞O,/（x）单调递增.

所以/'（X）极大值为/©='X（+cos]="+1,极小值为/管）.X1+cos,=冷苧,

综上所述，/㈤在区间[0,伺上的单调递增区间为（0,9和管叱），单调递减区间为等；

极大值为卷+岑，极小值为工—今

17.（15分）（2024•江西宜春•模拟预测）如图1,在五边形4BCDE中，AB=BD,AD1DC,E4=ED且

EA1ED,将AAED沿2D折成图2,使得EB=AB,F为AE1的中点.

图1图2

（1）证明：BF〃平面ECD；

（2）若EB与平面4BCD所成的角为30。，求二面角4-EB一。的正弦值.

【解题思路】（1）取4。的中点G,连接BG,FG,从而证明BG〃平面EC。，FG〃平面EC。，即可得到平面

BFG〃平面ECD,即可得证.

（2）推导出4E1平面BFG,BG1平面E4D,平面瓦4D1平面4BCD,连接EG,以G为坐标原点，GB,GD,

GE所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角力-EB-D的正弦值.

【解答过程】（1）取力。的中点G,连接BG,FG,

■：AB=BD,G为2。的中点，BGLAD,

5LAD1DC,BG//CD.

又BGC平面ECD,CDu平面ECD,BG〃平面ECD.

•••尸为4E的中点，•••FG〃ED.

又FG，平面ECD,EDu平面ECD,FG//^ECD,

又BGCFG=G,BG,FGc5FffiBFG,平面BFG//平面EC。，

又BFu平面BFG,B尸〃平面ECO.

（2）vEAVED,由（1）知FG//ED,•••FGLAE,

又EB=AB,F为4E的中点，2F14E,

又BFCFG=F,BF,FGu平面BFG,.,•力E_L平面BFG,

又BGu平面BFG,BGLAE,

又BG1AD,ADnAE=A,u平面EAD,BG1平面瓦4D,

y.BG^l^ABCD,平面E4D_L平面力BCD,

连接EG,EA=ED,G为4。的中点，EG1AD,

又平面E/WC平面4BCD=AD,EGu平面瓦4D,

EG1平面ZBCD,BGu平面4BCD,EG1BG,

以G为坐标原点，GB,GD,GE所在直线分别为％,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

NEBG是EB与平面力BCD所成的角，即NEBG=30°,

•••EA=ED,设E4=t（t>0）,则AD=夜3EG=yt,EB=V2t,BG若t,

G（0,0,0）,E（0,0亭）,/l（0,-yt,0）,D（0,yt,0）,B（净,0,0）,

=t）,族=（0,争,争），屁=（0,+亭）,

设平面4BE的法向量为为=Oi，y1,zi）,

O

VT6-V2--

-EB—2

则

+V2--O

瓦•AE=VT22

设平面OBE的法向量为底=（x2,y2,z2）,

（=—tx2——tz2—0

则122令刀2=1，得底=（1,V3,V3），

-Fe=-yty2+ytz2=0

设二面角4-EB—D的平面角为仇

•破

・•・|cos6|=|cos（河的|=IEI_i_i

I时同I-V7XV7-79

所以sin0=4^而=手，即二面角力—EB—。的正弦值为".

18.（17分）（2024•全国•模拟预测）2024年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由4道

减少到3道，分值变为一题6分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得6分，

有错选或全不选的得。分.若正确答案是“两项”的，则选对1个得3分；若正确答案是“三项”的，则选对1个得2

分，选对2个得4分.某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p,正确答案是

三个选项的概率为1-p（其中0<p<1）.

（1）在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若「=求学生甲该题得

2分的概率；

（2）针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：

I：随机选一个选项；II：随机选两个选项；III：随机选三个选项.

①若p=g且学生甲选择方案I，求本题得分的数学期望；

②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案I最好?

【解题思路】（1）由全概率公式求解即可；

（2）①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”,求出X的可能取值及其概率，即可求出X的分布列，

再由期望公式求出；

②记X,匕Z分别为“从四个选项中随机选择一个选项、两个选项和三个选项的得分”，求出X,匕Z的数学威望,

2-p<|

由题意可得，|（l_p）<|,解不等式即可得出答案.

、0<p<1

【解答过程】（1）记事件4为“正确答案选两个选项”，事件B为“学生甲得2分”.

P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)=ixO+|x|=i,

即学生甲该题得2分的概率为点

(2)①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则X可以取0,2,3,

n〜八、12,113八八7c、1c।1,玛3

P(X=0)=—X—H—X—=—,P(X=2)=—X0H—X—=—,

'y2Cj2Cj8'722的8

②记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，

则P(X=O)=px-1-+(l-p)xi=乎，

P(X=2)=px0+(1-p)x^|=|(1-p),

P(X=3)=px，