2022年2022年北大附中高考数学专题复习导数与微分知识拓展2

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载学科：数学教学内容：导数与微分学问拓展（二）5什么为泰勒公式？怎样求函数的泰勒公式？对于一些较复杂的函数,为了便于争论函数的性态和函数值的近似运算,我们往往期望用一些简洁的函数来近似表达由于多项式表示的函数只要对自变量进行有限次加.减.乘三种运算, 便能求出它们的函数值,因此我们常常用多项式近似代替一般函数,那一个函数具有什么条件才能用多项式函数近似代替呢？假如一个函数能用多项式近似代替,这个多项式的系数与这个函数有什么样的关系呢？用多项式函数近似代替这个函数误差又怎样呢？2n第一争论如p（x ）为一个n 次多项式精品学习资料精选学习资料 -

2、- - 欢迎下载p xa 0a1xa2 xa n x.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载将px按着xx0的幂表示,即令精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p xb0b1 xx 02b2 xx0bn xnx 0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载那么,b0.b1.b2.bn 与px有什么关系？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在上式中,令xx0,得b0p x 0 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又p

3、 xb12b2 xx 023b3 xx 0nbn xn 1x0、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载再令 xx 0 、 得b1px 0px 0.2n1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又px2b 23 2b3 xx 0n n1 b n xx 0、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载再令 xx0 、得b2px0 2px0 2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p nxb0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n即：bkn.0p kx k.、 k0、1、

4、2、px、n.pxp nx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为 : p xp x 00xx1.00xx22.00xxn . n.0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由此可知,将n 次多项式函数p（ x）按着xx 0的幂绽开,它的多项式的系数b k 由精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载p kx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载多项式 p（x）所确定,即b0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载kk.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对于任意的函数（不必为多项式函数

5、）,只要函数f （x）在点x 0 存在直到n 阶导数,总精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2n能写出一个相应的n 次多项式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载tn xf x 0fx 0xx 1.fx 0xx 2.f nx0xn.x 0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载00多项式 tnx 称为 f（x ）在 x 0 的 n 次泰勒多项式 如用 n 次泰勒多项式近似代替f（ x ）,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所产生的误差怎样表示呢？一般地,我们有：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如函

6、数 f （ x）在含有点x 0 的某开区间（ a, b）内有直到n 1 阶导数,就对任意的点x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ a, b）,有 f xf x 0fx 0xx 0fx 0x2xxx02.0f nxn0xx0n.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f n 10xn1 .n 1 、 其中f n 1xn 1n1 .n 1 称为拉格朗日余项,记作r n x ,即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载r n xf n 1

7、xxn1 .0介于 x 0 与x 之间 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载上面的公式称为泰勒（ taglor）公式, 也称为具有高阶导数的中值定理,在这里令n 1,f xf x 0fxx 0 、即为拉格朗日中值定理在上式中,如用泰勒多项式近似代替f （ x）,所产生的误差为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| r n x | f n 1|0| xn1 .x|n 1介于 x 0与x 之间 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载特殊地,如f n 1x在（ a, b）上有界,设m>0、 对xa、 b,有 | f

8、n 1x|m 、 就误精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载差可表示：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| rn x |m| x n1 .x| n 1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0从上面可以求出,要求f （ x ）的泰勒公式,只要求出泰勒多项式的系数b k ,而精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f kxb k0k.、 因此只须求f（ x ）在x 0 的直到 n 阶的导数 f kx 0k0、1、 2、 n 即可精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

9、下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例1将f xx 33x 22x4绽开为 x1的多项式 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思路启发x 1 可以写成x（ 1）,故只需求出f （ x）有 1 点的各级导数即可精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载规范解法x 01、fxx 33x 22x4、f14;fx3x 26x2、f11;fx6x6、f10;fx6、f16.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故得 f x41x10x1 232.6x1 3 .3.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即fx4x1x1.精品学习资料精选学习资料

10、 - - - 欢迎下载在泰勒公式中,当x 00时,公式成为：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xf 0f0 xf0 x 22.f n0nxn.f n 1xn1 .x n 1 、 01 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这个公式称为马克劳林（maclaurin ）公式例 2将 f （x） ln（ 1 x）绽开为x 的幂式（即马克劳林公式）思路启发第一求出f （ x）在 0 点的各阶导数,然后代入公式即可规范解法当 x> 1 时, f （ x）为连续函数,并有连续的各阶导数：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f nxn1 .n11nn1、2、精品学习

11、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f n0又f 00、1x1 n 1 n1 . n1、2、.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 ln 1xnx 2x 3x23x n 1x nn11nr n x 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载r n x1n1 101 .x n 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例3求出函数f xex的马克劳林公式.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x规范解法已知fnxex 、f n01、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2故有 ex1xx1.2.x nxn

12、1n.n1e、 01 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4利用 ln（ 1 x ）绽开式的前五项运算ln1.2 之值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法x6ln 1x1x2x3x23x4x 545r5 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| r5 |取x610.2、6 、 0x .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ln 1 2ln 10.20.21 0.2 221 0.2 331 0.2 441 0.2 55r5 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1| r5

13、|60.000641610.000011 00.2 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 ln1.20.20.020.002670.000400.000060.1823.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6怎样判别曲线的凹凸性及拐点？由导数 fx的符号,可知函数f （ x）的单调性,但仍不能完全反映它的变化规律,如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数 yx 3 与 yx（图 317）在（ 0,）都为单调增加的, 但增加的方式却不同,yx 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为向上弯曲的,而yx 为向下弯曲的因此,争论函数图像时,考察它们的弯曲

14、方向为很有必要的由图 3 18（a）.图 318（ b）我们可以直观地看到,当动点p 沿着曲线滑动时,曲线上的切线随着点p 而变化当每一点的切线位于曲线下方时,曲线为向上弯曲的,此时称曲线为向下凹的；当每一点切线位于曲线的上方时,曲线为向下弯曲的,此时称曲线为向上凸的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载假如一条曲线y f （ x ）在区间（ a, b）上为向下凹或为向上凸的,我们就说曲线yf（x ）在（ a, b）上具有凸凹性,曲线向下凹与向上凸的分界点称为曲线的拐点下面我们给出判定曲线的凸凹性的一个方法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 f （ x ）

15、在 xx 0 的邻域内存在连续的一阶导数和二阶导数,曲线y f （ x）在点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m x 0 、 f x 0的切线为 yf x 0fx 0xx 0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因而切线上横坐标为x 的点的纵坐标为：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ybafx 0fx 0xx 0 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载曲线上横坐标为x 的点的纵坐标为：12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xbcf x 0fx 0xx 0f 2xx 0、精品学习资料精选学习

16、资料 - - - 欢迎下载2介于x0与x之间,故精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ac1 f2xx 0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ac表示点 x 处曲线上的点与切线上的点之间的距离 如图 3 19 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 当 fx 00 时, 就f ' ' x 在点x0 的充分小邻域内也大于0,因此 ac>o,于为 c 在精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 之上,换句话说,在m的充分小邻域内,曲线弧落在切线之上,故曲线在m点邻近为向下凹的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 当 f

17、x 00、 就 fx在点x 0 的充分小邻域内也小于0,因此ac<0,即点c 在 a 之精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载下,换句话说, 在点 m的充分小邻域内,曲线弧落在切线之下,故曲线在m点邻近为向上凸的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) 当 fx 00 时, f可能为正数也可能为负数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 x 由小于x0 变为大于x 0 、 fx 不变号,就曲线在点m邻近仍为向下凹的或向上凸精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

18、的；如x 由小于x 0 变为大于x 0 , fx 变号,就在点m 处曲线将从切线的一侧穿过切线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载进入另一侧,即曲线在点m邻近两侧,其中一侧为向下凹的,就另一侧为向上凸的此时,点 m为曲线向下凹与向上凸的分界点,即为拐点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从上面 3 中的可以看出,如x 0 为使得 fx 00 的点,就x 0 、 fx 0可能为拐点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载依据以上的争论,我们可以给出判别曲线yfx凸凹性的步骤：(1) 求出 y fx的定义域d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(

19、2) 求出 fx ,并求出方程fx0 的根x 1、x 2 等精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) 用x1 、x 2 等点将 d分成如干个区域,在每个区间上判别fx的符号如fx0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就在此区间上的曲线为向下凹的；如fx0 ,就在此小区间上为向上凸的 此步骤通常列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载表完成 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例1判定曲线yx3的凸凹性.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法定义

20、区域xr, y3x2、 y6x.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令y6x0、得x0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当x 0时, y当x 0时, y6x0、曲线为向上凸的.6x0、曲线为向下凹的.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当x0时,y0、 点0,0为曲线的拐点. 如图320.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例2 争论曲线y3x 44x31的凸凹性与拐点.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

21、载规范解法定义域xr、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx12x 312x 212x 2 x1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx36x 224x36xx2.3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令fx0、 得x1220、 x 2.3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载判定x10、 x 2邻近f3x 的符号,列表如下：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x（, 0）00、 2322 、33精品学习

22、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载fx00精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f （x ）向下凹1向上凸11向下凹27精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载拐点（ 0, 1）211、327精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由上表可知,曲线y3x 44x 31在（, 0）与2 、3为向下凹的,在0、 2为3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载向上凸的,拐点为（0, 1）和2 、 11,如图 321精品

23、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3277怎样求曲线的渐近线？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2我们知道双曲线xa 22y1 的渐近线有两条：x b2ay0 在作双曲线的图象时,假如b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载能先把两条渐近线作出来,再画曲线的图象,就较精确地画出它的图象因此假如一条曲线存在渐近线,先把它的渐近线求出来,对于精确描画函数y f（ x）的图象为特别必要的一般地,当曲线y f（ x ）上的动点p 沿着曲线y f（ x ）无限地运离原点时,如动点p到某肯定直线l 的距离无限地趋于0（如图 322）,就称直线l 的曲线 y f（ x）的渐近线下

24、面我们将分三种情形争论曲线的渐近线（ 1）垂直渐近线如lim fx、 或lim fx、 就直线xx 0 为曲线 y f（ x）的垂直渐近线（垂直于xx 0xx 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 轴）例1求曲线 f x1x3x的垂直渐近线 .4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思路启发求曲线的垂直线渐近线,第一找出访分母为零的点x 0 ,然后检查函数在这精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载些点两侧邻近函数

25、的变化趋势,如当无限接近该点时,函数趋于, 就 xx 0 即为垂直渐近精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载线规范解法x3x41x3x4x13x4limlim1、x3x3x41、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x3lim、x4lim、x4故直线 x 3 与 x 4 都为曲线的垂直渐近线（ 2）水平渐近线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 limfxxb.limfxxb或lim fxb、x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就直线 y b 为曲线 y f （ x）的渐近线,称为水平渐近线精品学习资料精选学

26、习资料 - - - 欢迎下载例2求曲 y1的水平渐近线 . x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思路启发曲线 y f（ x ）为否存在水平渐近线,就为看当x （或x）时, f（ x）为否有有限极限b,如有有限极限b,就 y b 即为该曲线的水平渐近线否就,就不 存在水平渐近线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法由于 lim10、xx1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 y 0 为曲线的水平渐近线点评由以上的几个例题可以看到,对于有理分式函数r（ x）来说,当分子的最高指数不超过分母的最高指数时,曲线y r（ x ）有水平渐近线,当分子的最高指数大

27、于分母的 最高指数时,曲线y r（x ）不存在水平渐近线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例3求曲线 y5 x34x 33x27 x2x1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法由于 limx5x 33x2532、4x7xx14精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 y5 为曲线的水平渐近线.4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载（ 3）斜渐近线如图 3 22,设曲线 y f（ x ）的渐近线方程为y kx b,下面我们来确定常数k 和 b设曲线 y f（ x）上任意点p（ x ,

28、 f（ x）到直线y kx b 的距离为 |pm|,就由点到直线的距离公式有：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| pm | f xkx 1k 2b | .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载直线 y kx b 为曲线 y f （x ）的渐近线,当且仅当limxx| f xkxb | 1k 20; 当且仅当精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limfxxxkxb0; 当且仅当limf xxxkxb 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 k 知道,就b 可由上式

29、求出,怎样求k ？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x已知 lim1xx0、 从而由limxxf xkx x0得klimxxfx . x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为,直线y kx b 为曲线 y f （x ）的渐近线当且仅当精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载klimxxfx 与 b xlimfxxxkx .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因此,如上面两个极限都存在,就曲线y f（ x ）有斜渐近线y kx b；如上面两个极限至少有一个不存在,就曲线y f （ x）不存在斜渐近线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例4求曲线

30、f xx324 x1的渐近线 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思路启发检验一条曲线y f（ x）为否存在斜渐近线,第一应检验limf xxxx为否为有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载限数值,如为有限值k,就再检验limf xxxkx 为否为有限值b,如 b 为有限值,就曲线y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f （x ）存在斜渐近线y kx b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法已知 limx3、 limx3、精品学习资料精选学习资料 - -

31、- 欢迎下载22x14 x1x14 x1所以, x 1 为曲线的垂直渐近线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又klimfxxxlimxx31 、24x x142精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载blimfxkxxlim5x9x4 x1limx5 .4x3x4 x14精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为直线 y1 x4 .45精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 x-4y-5=0 为曲线的斜渐近线例 5求曲线 y arctanx 的渐近线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规

32、范解法由于 limxarctan x、 lim2xarctan x. 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以曲线有水渐近线y与 y.22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例6求曲线 fx2x 2x x2的渐近线 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法lim2x 2x2、 lim2x 2x2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0xx0x就 x 0（即 y 轴）为曲线的垂直渐近线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又klim fxxxlimx2x 2x22、x 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载blim f xkxxl

33、imx2x 2x22xxx2lim1.xx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 y 2x 1 为曲线的斜渐近线8怎样作函数的图象？在中学数学中,我们利用描点法描画了一些简洁函数的图象但为,描点法有缺陷,由于描点法中我们所选的点不行能许多,而一些关键性的点,如极值点.拐点等可能漏掉；而曲线的重要性态如单调性,凸凹性也没有把握因此, 描点法所描画的函数图象往往与真实 的图象相差甚远现在, 我们已经把握了借助于导数的符号,可以确定函数图象在哪个区间上升, 在哪个区间下降,什么地方为极值点；借助于二阶导数的符号,可以确定函数图象在哪个区间向下凹,在那个区间向上凸,在什么地方为拐点而我们知道了函数图象的升降.凸凹以及极值点和拐点后,由此也可以把握函数的性态,并由此可以把函数的图象画得比较精确一般地,利用导数描点绘函数的图象可依据以下的步骤来进行？（ 1）确定函数的定义域（ 2）观看函数y f（ x）为否具有某些特性（如奇偶性.周期性）（ 3）求出函数y f（ x）的渐近线（假如有的话）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4）求出函数yfx 的一阶导数 fx 与二阶导数 fx .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 5）求出方程f