七年级下册数学整式的乘除与因式分解知识点+习题

1、整式的乘除与因式分解1、 单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项 式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。2-2a be的系数为，次数为，单独的一个非零数的次数是 。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的 次数。2，各项a - 2ab x 1，项有，二次项为 ，一次项为 ，常数项为 _次数分别为 ，系数分别为 ，叫 _次_项式。3、 整式：单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、多项式按字母的升（降）幕排列：x 2x2y

2、2 xy2y3 -1按x的升幕排列： 按y的升幕排列：按x的降幕排列： 按y的降幕排列：5、 同底数幕的乘法法则：am an =am'n（ m,n都是正整数） 同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。例 1若 2心=64，则 a=；若 27 3n =（-3）8，则 n=.例 2若 52x1 =125，则（x - 2 ） 2009 x 的值为。例 3 .设 4x=8y-1,且 9y=27x-1,则 x-y 等于。6、 幕的乘方法则：（am）n =amn（ m,n都是正整数） 幕的乘方，底数不变，指数相乘。如：（_35）2 =310幕的乘方法则可以逆用：即 am -

3、（am）（an）m 女口：46 =（42）3 =（43）27、 积的乘方法则：（ab）n =anbn （ n是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。32.5（- 2x y z）=8、 同底数幕的除法法则：am"an =am" （ a = O,m,n都是正整数，且 m n）同底数幕相除，底数不变，指数相减。如：（ab）4 - （ab） = （ab）3二a3b39、零指数和负指数；a0 =1，即任何不等于零的数的零次方等于1。1a国 p（ a = 0, p是正整数），即一个不等于零的数的 - p次方等于这个数的 p次方的倒数。 ap如:2"$)310、单项式的乘法法则

4、： 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里 含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 相同字母相乘，运用同底数幕的乘法法则。 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。女口：-2x2y3z *3xy =11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 m(a b c)二 ma mb mc ( m, a,b, c都是单项式)注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相

5、同。 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。女口： 2x(2x 一3y) _3y(x y)=12、 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。女口： (3a2b)(a -3b)=13、 单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有 的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。.242女口：7a b m- 49a b =14、 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所

6、的的 商相加。即：(am bm cm) " m = am m bm " m cm m = a b c11 1例 1. ( ab)(2a + b)(3a2+一b2)；例 2.(a-b)(a+b)2-(a2 2ab+ b2) 2ab.6312例 3已知 x2 + x 1= 0，求 x3+ 2x2 + 3 的值.15、平方差公式： b)(a -b)二a2 -b2注意平方差公式展开只有两项女口： (x y _z)(x _ y z)=16、 完全平方公式：(a - b)2 二 a2 - 2ab b2a2 b2 = (a b)2 -2ab = (a b)2 -2ab (ab)2 二(a

7、 b)2 -4ab2 2 2 2 2 2(-a-b)珂-(a b) = (a b)(-a b) =-(a-b) =(a-b)完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。探17、三项式的完全平方公式：(a b c)2二a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc9例1利用平方差公式计算:200720072008 2006例2.广场内有一块边长为 2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长 3米,则改造后的长方形草坪的面积是多少？例3. (1) X -丄=2,求X2 丄的值。XX(2) (x y)2 = 16, (x - y)2=4，求 xy 的值。18、因式分解

8、：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法A.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。例1.把2ax -10ay 5by - bx分解因式.分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按 x的降幕排列，然后从两组分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x -5y，这样可以继续提取公因式.解：2ax -10ay 5by -bx =说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试.例 2.把 ab(c2 -d2) - (a2 -b2)cd 分解因式.分析：按照原先分组方式，无公因

9、式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式.2 2 2 2解：ab(c -d ) - (a -b )cd =说明：由例2、例1可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后， 为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用。B. 公式法：根据平方差和完全平方公式分解因式9x2 -25y22C. 配方法：分解因式x ，6x-16说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差 公式分解.当然，本题还有其它方法，请大家试验.D.十字相乘法：2(1). x +(p+q)x+pq型的因式分解这类式子

10、在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1 ; (2)常数项是两个数之积；(3) 次项系数是常数项的两个因数之和.2 2x (p q)x pq =xpx qx pq = x(x p) q(x p) = (x p)(x q)2因此，x (p q)x pq =(x p)(x q)运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.例1把下列各式因式分解：2 2 x-7x 6(2) x 13x 36说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同. 例2把下列各式因式分解：2 2(1) x 5x-24(2) x-2x-15说明：此例可以看出

11、，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号 相同.例3把下列各式因式分解：(1) x2 xy-6y2(2) (x2 x)2 -8(x2 x) 122 2 2 2分析：(1)把x xy -6y看成x的二次三项式，这时常数项是-6y，次项系数是y，把-6y分解成3y与-2y的积，而3y (-2y)二y，正好是一次项系数.2 2(2)由换元思想，只要把xx整体看作一个字母 a，可不必写出，只当作分解二次三项式 a -8a 12 .2(2 )一般二次三项式 ax bx c型的因式分解大家知道， (a!X cj(a2x c2) =(aQ2 a2cjx .反过来，就得

12、到：a1a2x2 - (a1c2 - a2c,)x - C|C2 二(a1x - c1)(a2x - c2)我们发现，二次项系数 a分解成a1a2，常数项c分解成qg，把a!, a2, c1, c2写成31 c,，这里按斜线交叉相a2 C2乘，再相加，就得到 a1c2 a2q，如果它正好等于 ax2 bx c的一次项系数b，那么ax2 bx c就可以分解成 (ax - G)(a2X C2)，其中 冃，©位于上一行， a2,g位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.例4把下列各式因式分解：2 2 2(1) 12x -5x-2(2) 5x

13、 6xy-8y1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”先”说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1 51. (2x2 4x 10xy) *()= x 1 y.2 22. 若 x + y= 8, x2y2= 4,贝V x2 + y2=3. 代数式4x2+ 3mx+ 9是完全平方式，则m= _0132014气 1.5)=2& (3+1) (3 +1)凑”绝对值，然后调整，添加正、负号.提高练习4.32 2 25. 若 a+2+b 2b+1=0，贝U ab+ab =6. ( a+ 1) (a+ 1) (a + 1) =。27. 一个正方形的边长增加4cm，面积就增加56cm ，原来正方形的边长为4016 ,4、， 2008、3(3 +1)(3+1) 一29. (1) ( x + 3y)42(