2022年2022年初三数学圆知识点集合

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载初三数学圆教案一.本章学问框架二.本章重点1圆的定义：(1) 线段 oa围着它的一个端点o旋转一周, 另一个端点 a 所形成的封闭曲线, 叫做圆(2) 圆为到定点的距离等于定长的点的集合2判定一个点 p 为否在 o上 设 o的半径为 r,opd,就有d>r点 p 在 o 外； dr点 p 在 o 上； d<r点 p 在 o 内 3与圆有关的角(1) 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数(2) 圆周角：顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半同

2、弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧相等 90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角假如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形为直角三角形圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角(3) 弦切角：顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半4圆的性质：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载(1) 旋转不变性：圆为旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原先图形重合；圆为中心对称图形,对称中心为圆心在同圆或等圆中,两个圆心角

3、,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等(2) 轴对称：圆为轴对称图形,经过圆心的任始终线都为它的对称轴垂径定理及推论：(1) 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧(2) 平分弦 不为直径 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧(3) 弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧(4) 平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦(5) 平行弦夹的弧相等5三角形的内心.外心.重心.垂心(1) 三角形的内心：为三角形三个角平分线的交点,它为三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“i ”表示(2) 三角形的外心

4、：为三角形三边中垂线的交点,它为三角形外接圆的圆心,锐 角三角形外心在三角形内部, 直角三角形的外心为斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用o表示(3) 三角形重心：为三角形三边中线的交点,在三角形内部；它到顶点的距离为到对边中点距离的2 倍,通常用 g表示(4) 垂心：为三角形三边高线的交点6切线的判定.性质：(1) 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线为圆的切线到圆心的距离d 等于圆的半径的直线为圆的切线(2) 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径经过圆心作圆的切线的垂线经过切点经过切点作切线的垂线经过圆心(3) 切线长：从圆外一

5、点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长(4) 切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角7圆内接四边形和外切四边形(1) 四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角(2) 各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等8直线和圆的位置关系：设 o 半径为 r,点 o到直线 l 的距离为 d(1) 直线和圆没有公共点直线和圆相离d>r(2) 直线和 o有唯独公共点直线 l和 o相切dr(3) 直线 l和 o 有两个公共点直线 l 和 o 相交d<r 9圆和圆的位置关系：设

6、的半径为 r.rr>r,圆心距精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载(1) 没有公共点,且每一个圆上的全部点在另一个圆的外部外离d>rr (2) 没有公共点,且的每一个点都在外部内含d<r r(3) 有唯独公共点, 除这个点外, 每个圆上的点都在另一个圆外部外切drr (4) 有唯独公共点,除这个点外,的每个点都在内部内切drr (5) 有两个公共点相交r r<d<rr 10两圆的性质：(1) 两个圆为一个轴对称图形,对称轴为两圆连心线(2) 相交两圆的连心线垂直平分公共弦,相切两圆的连心线经过切点11圆中有关运算：圆的面积公式：,周长 c

7、2 r圆心角为 n°.半径为 r的弧长圆心角为 n°,半径为 r,弧长为 l的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和.差来运算圆柱的侧面图为一个矩形,底面半径为r,母线长为 l 的圆柱的体积为,侧面积为 2 rl ,全面积为圆锥的侧面绽开图为扇形,底面半径为r,母线长为 l ,高为 h 的圆锥的侧面积为rl,全面积为,母线长.圆锥高.底面圆的半径之间有【经典例题精讲】例 1 如图 23-2 ,已知 ab为 o直径, c 为上一点, cd ab于 d, ocd的平分线 cp交 o于 p,试判定 p 点位置为否随 c 点位置转变而转变？精品学习资料精选学习资料 - -

8、 - 欢迎下载学习必备欢迎下载分析： 要确定 p 点位置,我们可采纳尝试的方法,在上再取几个符合条件的点试一试,观看 p 点位置的变化,然后从中观看规律解：连结 op,p 点为中点小结： 此题运用垂径定理进行推断例 2以下命题正确选项 a相等的圆周角对的弧相等 b等弧所对的弦相等 c三点确定一个圆 d平分弦的直径垂直于弦解：a在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等,所以a 不正确 b等弧就为在同圆或等圆中能重合的弧,因此b 正确 c三个点只有不在同始终线上才能确定一个圆d平分弦 不为直径 的直径垂直于此弦应选 b例 3四边形 abcd内接于 o, a b c123,求 d分析： 圆内接四边形

9、对角之和相等,圆外切四边形对边之和相等解：设 ax, b2x, c3x,就 d a c b2xx2x3x 2x360°, x45° d90°小结： 此题可变形为：四边形abcd外切于 o,周长为 20,且 abbccd123,求 ad的长例 4为了测量一个圆柱形铁环的半径,某同学采纳如下方法：将铁环平放在水平桌面上,用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺,用如图 23-4 所示方法得到相关数据,进而可以求得铁环半径如测得pa5cm,就铁环的半径为 cm分析： 测量铁环半径的方法许多,此题主要考查切线长性质定理. 切线性质.解直角三角形的学问进行精品学习资

10、料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载合作解决,即过 p 点作直线 oppa,再用三角板画一个顶点为 a.一边为 ap.大小为 60°的角,这个角的另一边与 op的交点即为圆心 o,再用三角函数学问求解解：小结：应用圆的学问解决实际问题, 应将实际问题变成数学问题, 建立数学模型例 5已知相交于 a.b 两点,的半径为 10,的半径为 17,公共弦 ab16,求两圆的圆心距解： 分两种情形争论：(1) 如位于 ab的两侧 如图 23-8 ,设与 ab交于 c,连结,就垂直平分 ab,又 ab 16 ac8在 中,在 中,故(2) 如 位于 ab的同侧 如图 23-9 ,

11、设 的延长线与ab 交 于 c, 连 结 垂 直 平 分 ab, 又 ab 16, ac8在中,在故中,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载留意： 在圆中如要解两不等平行弦的距离.两圆相切.两圆相离.一个点到圆上各点的最大距离和最小距离. 相交两圆圆心距等问题时, 要留意双解或多解问题三.相关定理：1. 相交弦定理圆内的两条相交弦, 被交点分成的两条线段长的积相等；（经过圆内一点引两条线,各弦被这点所分成的两段的积相等）说明：几何语言：如弦 ab.cd交于点 p,就 pa·pb=pc·pd（相交弦定理）例 1 已知 p 为 o内一点, o半径为,过

12、p 任作一弦 ab,设,就关于的函数关系式为；解： 由相交弦定理得,即,其中2. 切割线定理推论：假如弦与直径垂直相交, 那么弦的一半为它分直径所成的两条线段的比例中项说明：几何语言：如ab为直径, cd垂直 ab于点 p,就 pc2=pa·pb例 2 已知 pt切 o于 t,pba为割线,交 oc于 d, ct为直径,如 oc=bd=4c,m ad=3cm,求 pb长；解： 设 td=,bp=,由相交弦定理得：即由切割线定理,理,（舍）由勾股定四.帮助线总结1.圆中常见的帮助线1）作半径,利用同圆或等圆的半径相等2）作弦心距,利用垂径定理进行证明或运算,或利用“圆心.弧.弦.弦心距

13、”间的关系进行证明 3）作半径和弦心距,构造由“半径.半弦和弦心距”组成的直角三角形进行运算4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角5) 作弦.直径等构造直径所对的圆周角直角6) 遇到切线,作过切点的弦,构造弦切角7) 遇到切线,作过切点的半径,构造直角8) 欲证直线为圆的切线时,分两种情形： 1 如知道直线和圆有公共点时,常连结公共点和圆心证明直线垂直； 2 不知道直线和圆有公共点时,常过圆心向直线作垂线,证明垂线段的长等于圆的半径9) 遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载10) 遇到三角形的内心,常作：1 内心到三边的垂线； 2

14、 连结内心和三角形的顶点11) 遇相交两圆,常作： 1 公共弦； 2 连心线12) 遇两圆相切,常过切点作两圆的公切线13) 求公切线经常过小圆圆心向大圆半径作垂线,将公切线平移成直角三角形的一条直角边2.圆中较特别的帮助线1) 过圆外一点或圆上一点作圆的切线2) 将割线.相交弦补充完整3) 作帮助圆例 1 如图 23-10 ,ab为 o的直径,弦 cdab,垂足为 e,假如 ab10,cd8,那么 ae的长为 a2b3c4d5分析：连结 oc,由 ab为 o的直径,弦 cdab知 cdde设 aex,就在 rt ceo中,即,就, 舍去 答案： a例 2 如图 23-11 ,ca为 o的切线

15、,切点为a,点 b 在 o上,假如 cab55°,那么 aob等于a35°b90°c110°d120°分析： 由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道aob 2 bac2×55° 110° 答案： c例 3 假如圆柱的底面半径为4cm,母线长为 5cm,那么侧面积等于 abcd分析： 圆柱的侧面绽开图为矩形, 这个矩形的一边长等于圆柱的高,即圆柱的母线长；另一边长为底面圆的周长, 所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高,即答案： b例 4 如图 23-12 ,在半径为 4 的 o中,ab.cd为两条直径, m为 ob的中点,延长 cm交 o于 e,且 em>m,c连结 oe .de, 求： em的长精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载简析：1 由 dc为 o的直径, 知 deec,于为设 emx,就 am·mbx7 x ,即所以而 em>m,c即 em 4例 5 如图 23-13 , ab为 o的直径, pb切 o于点 b,pa交 o于点 c,