2013年昆明理工大学研究生数值分析试卷

1、昆明理工大学2013级硕士研究生试卷（数值分析，参考答案）(A卷)一、填空题（每空2分，共40分）1. 要使-.17的相对误差不超过 0.1%，应取 4位有效数字。3 32. 设f（X）=X3在1-1,1 1上的最佳二次逼近多项式为X ,最佳平方逼近二次多项式为X4 53.求积公式/ f（x）d ffe1）至少具有_ 次代数精度。V3134 .解线性方程组Ax二b的SOR迭代法收敛，则松弛因子，有 0 :： :： 2 ,设A二D - L -U ,建立迭代公式x（k1） = L. x f ，写岀逐次超松弛迭代法(D- L)"(1- )D U) o1005. A =IL 9999，其条件

2、数 Cond(A)2 = 39205，Cond(A)二 39601。98-6.设 X =(1,-3,2)，计算向量 X 的范数，|X|1=_6, |X|2二14 , |X |b：=_jo7 求方程X二COSX根的牛顿迭代格式是Xk 1 = Xk -互 COSxk ，其收敛阶=2 弦截法1 +s in xk迭代格式是"XkXkfgJcosxJjkG，其收敛阶=亠。3 +x十x2 0兰x兰18. S(x) =32'是以0，1，2为节点的三次样条函数,I2x3 +bx2 +cx1,1ExE2二、计算题（每题10分，共50分）则a=0，b=-2， c=3f、24-2、1 0 0A*2

3、4-29.对矩阵A =1-15作LU分解，其L =-1 0，U =0-362诒1-2丿7<00 -122 - 1l 3 丿第5页共4页P'(0) = f'(0) =0, f (0) = P (0) = 0 , f (1) = P'(11, f (1) = P'(1) = 1 ,并写出余项表达式(要有推导过程)。解：由题意P(0) =P'(0) =P”(0) =0知，P(x)以x = 0为三次重根，所以可设a +b =1,4a +3b = 1JP(xx3(ax b)，由插值 P(1) =P'(1) =1 条件得所以得 a - -2,b =3，

4、故 P(x)二 x3(-2x 3)设(t) = f (t) _P(t) _K(x)t3(t J)2 = f (t)t3(_2t3)-K(x)t3(t-1)2由(0) =0,(0) =0,(0) =0,(1) =0,(1) =0, ：(x) =0,反复用罗尔定理得在(0,1)上f(5)(纠存在X二，使(5)( 0,即f)=5!K(x)，则K(x)二丄 ，所以 5!f (E)f(5)(匕)住3)5! x3(x)2，余项为丿弘一1)2。sin x2 给定积分Idxb0 x(1) 利用复合梯形公式计算上述积分值，问区间0,1应分成多少等分才能使其截断误差不1超过-10°2(2) 取同样的求积

5、结点，改用复合Simpson公式计算时，截断误差是多少？解：由于f(x)二沁1二 0 cos(xt)dt，所以f(k)(x)1 dk0 dxkcos(xt)dt 二；tk cos(xt 2)dtI f (k)(x) 4 0tk I cos(xt 与)|dt 乞 0tkdt(1 )对复合梯形公式，有12n2IRIflFI f ()1乞“ 2 q12n 3为了使截断误差不超过 -10°，只须18n2> 1000，解得n7.5。故用复合梯形公式计算2时，取8等分即可。(2)将区间0, 18等分，改用复合 Simpson公式，由于h = 1/4=0.25,由于|Rf| =口 4180

6、2111|f ()1(?)4 £=1/3686400 2.7127 氷0-710 a 03.设A= b 10 b , detAO，用a,b表示解线性方程组 Ax = f的雅可比迭代法与0 a 5高斯-塞德尔迭代收敛的充分必要条件。a10解：雅可比迭代法Bj =D（L U）=b10b10，闪一Bjj心卷）,识）=歸10高斯-塞德尔迭代法a10，则雅可比迭代法的充分必要条件是|ab 半。3BG =（D L）Ua10ab100a2b50010ab502 3ab而）,彳Bg）二红型，则高斯-塞德尔迭代法的充分必要条件是|ab卜：100。10034.已知如下实验数据（x , yi）, i =

7、0,1,4,用最小二乘法求形如y = a + bx2的经验公式。解：设2X二x , 丫二y，则数据表变为Xi1925313844yi19.032.349.073.397.8Xi36162596114441936Yi19.032.349.073.397.8则由方程 5a+b送 Xi =送 Yi:5a+5327b = 271.4aZ Xi +bE XXiYi，即 Q327a +7277698 = 369321.52解得 a =0.973,b =0.05 所以经验公式为y = 0.973十0.05x25.用梯形公式解初值问题$(0)=0取步长h = 0.1,计算到x =0.3。解：梯形法公式 yn

8、1 = yn E(f(Xn，yn) f(Xn.i，ynl)，计算y(0.1) ： % =0.0052, y(0.2) ： y2 = 0.0214,y(0.3) ： y3 =0.0494。z三、证明题(共10 分)=(x*),在 X*的某个邻域 R内:(X)连续，并且I : (X)卜q :：: 1,x R ,则对任何Xg，证明：(1)由迭代xk1 V(xk)决定的序列Xk收敛于X ； ( 2)误差估计|Xk -xk|X-XD|.第7页共4页证明:Xk X*J.*-：(X2)-(x)()(Xk-x),*k*所以 M -x q|XkJ -x 1一 - q 区-x |,则 |jm 兀=x ； kL比|Xk1 -Xk|=| (Xk) - (Xk4)#q|Xk -Xk|一川一