2022年2022年函数的极值与导数的教案

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载教学目标：§ 4.3.2 函数的极值与导数（2 课时）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 懂得极大值.微小值的概念；2. 能够运用判别极大值.微小值的方法来求函数的极值；3. 把握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大.微小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大.微小值概念的懂得及求可导函数的极值的步骤.教学过程： 一创设情形观看图 3.3-8 ,我们发觉, ta 时,高台跳水运动员距水面高度最大那么, 函数ht 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在此点的导数为多少呢？此点邻近的图像有什么特点？相

2、应地,导数的符号有什么变化规律？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载放大 ta 邻近函数ht的图像, 如图 3.3-9 可以看出h a ；在 ta ,当 ta 时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数 ht 单调递增,h t0 ；当 ta 时,函数ht单调递减,h t 0 ；这就说明,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 ta 邻近,函数值先增（ta , h t 0 ）后减（ ta , h t 0 ）这样,当 t 在 a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的邻近从小到大经过a 时,h t 先正后负,且h t 连续变化,于为有h a0 精品学习资料精

3、选学习资料 - - - 欢迎下载对于一般的函数yfx ,为否也有这样的性质呢？附：对极大.微小值概念的懂得,可以结合图象进行说明. 并且要说明函数的极值为 就函数在某一点邻近的小区间而言的.从图象观看得出,判别极大.微小值的方法. 判定极值点的关键为这点两侧的导数异号二新课讲授1 问 题 ： 图3.3-1 （ 1 ）, 它 表 示 跳 水 运 动 中 高 度 h 随 时 间 t 变 化 的 函 数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载h t 4.29t6.t 5的1图0像,图3.3-1（ 2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间 t 变精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载化的函

4、数vt h' t 9.8t6.5 的图像精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区分？通过观看图像,我们可以发觉：（ 1）运动员从起点到最高点,离水面的高度h 随时间 t 的增加而增加,即ht 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载增函数相应地,vth' t0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）从最高点到入水,运动员离水面的高度h 随时间 t 的增加而削减,即ht 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载减函数相应地,2函数的单调性与导数的关系vth' t0精品学

5、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载观看下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图3.3-3 ,导数f ' x 表示函数f x 在点 x 、 y 处的切线的斜率在xx 处,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0000精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0f ' x0,切线为“左下右上” 式的,这时, 函数f x 在 x0 邻近单调递增； 在xx1 处,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0f ' x0 ,切线为“左上右下”式的,这时,函数f x 在 x1 邻近单调递减精品学习资料

6、精选学习资料 - - - 欢迎下载结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间a 、 b 内,假如f ' x0 ,那么函数yf x 在这个区间内单调递增；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如 f' x0 ,那么函数yf x 在这个区间内单调递减精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载说明：（ 1）特殊的,假如f ' x0 ,那么函数yf x 在这个区间内为常函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3求解函数yf x 单调区间的步骤：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）确定函数yf x 的定义域；精品学习资料精选学习资料 - -

7、 - 欢迎下载（ 2）求导数y'f ' x ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）解不等式（ 4）解不等式三典例分析f ' x0 ,解集在定义域内的部分为增区间； f ' x0 ,解集在定义域内的部分为减区间精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 1（课本例4）求 fx1 x34x34 的极值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 由于 fx1 x34 x34 ,所以精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 'xx24 x2 x2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 'x0、 x2、

8、 x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载下面分两种情形争论：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）当 f 'x>0、即 x2 ,或 x2 时；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）当 f 'x<0、即2x2 时.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 x 变化时,f 'x, fx 的变化情形如下表：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x、2-2-2、222、y+00+精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y极大值 28 34微小值3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资

9、料精选学习资料 - - - 欢迎下载因此,当 x2 时, f x 有极大值,并且极大值为f 228 ；34精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 x2 时,f x 有微小值,并且微小值为f 2；3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数 fx1 x334 x4 的图像如下列图；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1y3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx= 3 x-4x+4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2-2ox精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=6 xx+1例 2 求 y= x2 13+1 的极值解： y=6xx2 1

10、222x 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 y=0 解得 x1= 1, x2=0 , x3=1当 x 变化时, y, y 的变化情形如下表精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x、1-1-1、000、111、y00+0+y无极值微小值 0无极值当 x=0 时, y 有微小值且y 微小值 =0yf x =x2-1 3 +1-1o1x1.极大值：一般地,设函数fx 在点 x 0 邻近有定义,假如对x0 邻近的全部的点,都有 fx fx 0 ,就说 fx 0为函数 fx 的一个极大值,记作y 极大值 =fx 0 , x 0 为极大值点2.微小值： 一般地,设函数fx 在 x

11、 0 邻近有定义,假如对x0 邻近的全部的点,都有fx fx 0.就说 fx 0为函数 fx 的一个微小值,记作y 微小值 =fx 0, x 0 为微小值点3.极大值与微小值统称为极值留意以下几点：（）极值为一个局部概念由定义,极值只为某个点的函数值与它邻近点的函数值比较为最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（）函数的极值不为唯独的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或微小值可以不止一个（）极大值与微小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于微小值,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如下图所示,x1 为极大值点,x4 为微小值点,而f x4 >f x

12、1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）函数的极值点肯定显现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值.最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点4. 判别 fx0为极大.微小值的方法:精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 x0 满意f x0 0 ,且在x0 的两侧f x 的导数异号,就x0 为f x 的极值点,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x0 为极值,并且假如f x在 x0 两侧满意“左正右负”,就x0 为f x 的极大值点,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x0 为极大值； 假如为微小值f x在 x0 两侧满

13、意“左负右正” ,就 x0 为f x 的微小值点,f x0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 求可导函数fx的极值的步骤 :1确定函数的定义区间,求导数f x2求方程 f x=0 的根3用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成如干小开区间,并列成表格 . 检查 f x在方程根左右的值的符号, 假如左正右负, 那么 fx在这个根处取得极大值； 假如左负右正,那么 f x在这个根处取得微小值；假如左右不转变符号即都为正或都为负,那么 fx在这个根处无极值假如函数在某些点处连续但不行导,也需要考虑这些点为否为极值点四.巩固练习：1求以下函数的极值.精品学习资料精选学习资料

14、 - - - 欢迎下载1y=x27x+62y=x3 27x1解： y =x2 7x+6 =2x 77令 y=0,解得 x=.2当 x 变化时, y, y 的变化情形如下表.x、 777 、222y0+y微小值254725精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 x=时, y 有微小值,且y 微小值 =.24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2解： y =x3 27x =3x2 27=3x+3 x 3令 y=0,解得 x1=3, x2=3.当 x 变化时, y, y 的变化情形如下表.x、3-3-3、333、y+00+y极大值 54微小值 -54当 x= 3 时, y 有极大

15、值,且y 极大值 =54.当 x=3 时, y 有微小值,且y 微小值 =54五.教学反思： 函数的极大.微小值的定义以及判别方法.求可导函数fx的极值的三个 步骤 .仍有要弄清函数的极值为就函数在某一点邻近的小区间而言的,在整个定义区间可能有多个极值,且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0,但导数为零的点不肯定为极值点,要看这点两侧的导数为否异号.函数的不行导点可能为极值点六.课后作业：书本 p343.4. 5七板书设计课后反思：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载教学目标：§ 4.3.3 函数的最大（小）值与导数（2 课时）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

16、下载使学 生懂得函数的最大值和最小值的概念,掌握可 导函 数f x 在 闭区间a、b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载上全部点（包括端点a 、 b ）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载使同学把握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法教学难点：函数的最大值.最小值与函数的极大值和微小值的区分与联系教学过程： 一创设情形我们知道,极值反映的为函数在某一点邻近的局部性质,而不为函数在整个定义域内精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的性质也就为说,假如x0 为函数 yfx的极大（小

17、）值点,那么在点x0 邻近找不到精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载比 fx0更大（小）的值但为,在解决实际问题或争论函数的性质时,我们更关怀函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在某个区间上,哪个至最大,哪个值最小假如x0 为函数的最大（小）值,那么fx0不精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载小（大）于函数yfx在相应区间上的全部函数值二新课讲授精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载观看图中一个定义在闭区间a、 b上的函数f xy精品学习资料精选学习资料 - -

18、 - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的图象图中f x1 与f x3 为微小值,f x2 为极大精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载值函数f x 在a、b上的最大值为f b ,最小值为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x3 ax 1ox 2x 3bx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 结 论： 一般 地, 在 闭 区 间a、b上 函 数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yf x 的图像为一条连续不断的曲线,那么函精品学习资料精选学

19、习资料 - - - 欢迎下载数 yf x 在a、 b上必有最大值与最小值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载说明：假如在某一区间上函数yf x 的图像为一条连续不断的曲线,就称函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yf x 在这个区间上连续 （可以不给同学讲）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载给定函数的区间必需为闭区间,在开区间a、 b 内连续的函数1f x 不肯定有最大值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载与最小值如函数f x在 0、x 内连续,但没有最大值与最小值；精品学习资料精选学习资料 - - -

20、 欢迎下载在闭区间上的每一点必需连续,即函数图像没有间断,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数f x 在闭区间a、b上连续, 为f x 在闭区间a、 b上有最大值与最小值的充分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载条件而非必要条件 （可以不给同学讲）2“最值”与“极值”的区分和联系最值”为整体概念,为比较整个定义域内的函数值得出的,具有肯定性；而“极值”为个局部概念,为比较极值点邻近函数值得出的,具有相对性从个数上看,一个函数在其定义域上的最值为唯独的；而极值不唯独；函数在其定义区间上的最大值.最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也精品学习资料精选学习资料 -

21、- - 欢迎下载可能没有一个极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值；极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定为极值3利用导数求函数的最值步骤:精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由上面函数f x 的图象可以看出,只要把连续函数全部的极值与定义区间端点的函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载值进行比较,就可以得出函数的最值了精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一般地,求函数f x 在a、b上的最大值与最小值的步骤如下：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

22、求 f将 fxx在 a 、 b 内的极值；的各极值与端点处的函数值f a . fb 比较,其中最大的一个为最大值,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载最小的一个为最小值,得出函数三典例分析f x 在a、b上的最值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 1（课本例 5）求 fx1 x334 x4 在 0、 3 的最大值与最小值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 由例4 可知,在0、 3上,当x2 时,f x有微小值,并且微小值为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

23、下载f 24,又由于3f04 , f31精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因此,函数fx1 x34 x34 在 0、 3 的最大值为4,最小值为4 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载上述结论可以从函数fx1 x334 x4 在 0、 3 上的图象得到直观验证精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2 求函数yx 42x25 在区间2、2上的最大值与最小值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：先求导数,得y /4x34x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 y/ 0 即4x 34 x0 解得x11、 x20、 x31精品学习资料精选学习

24、资料 - - - 欢迎下载/导数y 的正负以及f 2 ,f 2 如下表精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载/y000y1345413x-2（ -2、-1）-1（ -1、0）0（ 0、1 ）1（ 1、2 ）2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从上表知,当x2 时,函数有最大值13,当 x1时,函数有最小值4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3 已知x2f xlog3axb x、 x 0、+ . 为否存在实数a.b 、 使f x 同时精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载满意以下两个条件： （ 1） f x 在（ 0,1）上为减函数, 在 1,+ 上为

25、增函数；（ 2） f x的最小值为1,如存在,求出a.b ,如不存在,说明理由.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2解：设 gx= xaxb x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 fx 在（ 0, 1）上为减函数,在1, + 上为增函数 gx在（ 0,1）上为减函数,在1, + 上为增函数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载g '1g 10b10a1解得3ab13b1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载经检验, a=1、 b=1 时, fx满意题设的两个条件.四课堂练习1以下说法正确选项a. 函数的极大值就为函数的最大值b. 函数的微小值

26、就为函数的最小值c.函数的最值肯定为极值d. 在闭区间上的连续函数肯定存在最值2函数 y=fx在区间 a、b上的最大值为m ,最小值为m、如 m =m、就 f xa. 等于 0b. 大于 0c.小于 0d. 以上都有可能y12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载143函数 y=x41 x 331 x22,在 1, 1上的最小值为10813精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.0b. 2c. 1d.6412精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4求函数yx42x 25 在区间2、2上的最大值与最小值y=x4 -2x 2+52精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

27、下载5课本练习五回忆总结-4-2o24x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1函数在闭区间上的最值点必在以下各种点之中：导数等于零的点,导数不存在的点, 区间端点；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2函数f x 在闭区间a、b上连续,为f x在闭区间a、b上有最大值与最小值的充精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分条件而非必要条件；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3闭区间a、b上的连续函数肯定有最值；开区间a、b 内的可导函数不肯定有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载最值,如有唯独的极值,就此极值必为函数的最值4利用导数求函数的最值方法

28、 六布置作业七 板书设计课后反思：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载教学目标：§ 1.4 生活中的优化问题举例（2 课时）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 使利润最大.用料最省.效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用2 提高将实际问题转化为数学问题的才能教学重点 ：利用导数解决生活中的一些优化问题教学难点 ：利用导数解决生活中的一些优化问题教学过程 ：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一创设情形生活中常常遇到求利润最大.用料最省.效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题 通过前面的学习,我们知道,导数为求函数最大（小）值的有力工具这

29、一节,我们利用导数,解决一些生活中的优化问题二新课讲授导数在实际生活中的应用主要为解决有关函数最大值.最小值的实际问题,主要有以下几个方面：1.与几何有关的最值问题；2.与物理学有关的最值问题；3.与利润及其成本有关的最值问题；4.效率最值问题；解决优化问题的方法：第一为需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过制造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题为建立适当的函数关系；再通过争论相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数为一个有力的工具利用导数解决优化问题的基本思路：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优化问题建立数学模

30、型用函数表示的数学问题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解决数学模型精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载作答优化问题的答案用导数解决数学问题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三典例分析例 1饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（ 1）你为否留意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（ 2）为不为饮料瓶越大,饮料公司的利润越大？【背景学问】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本为0.8r 2 分,其中r为瓶子的半径,单位为厘米；已知每出售1 ml 的饮料,制造商可获利 0.2分、 且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm问题：（）瓶子的半径多大

31、时,能使每瓶饮料的利润最大？（）瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为r ,所以每瓶饮料的利润为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yfr0.24r 30.8r 20.8rr 2、 0r6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载333精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 fr0.8r 22r 0解得r2 （ r0 舍去）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 r0、 2 时 , fr0 ；当 r2、 6时, fr0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - -

32、- 欢迎下载当半径 r2 时, fr0 它表示fr单调递增,即半径越大,利润越高；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当半径 r2 时, fr0它表示 fr单调递减,即半径越大,利润越低精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）半径为 2 cm 时,利润最小,这时瓶子的成本,此时利润为负值（ 2）半径为 6 cm 时,利润最大f20,表示此种瓶内饮料的利润仍不够精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载换一个角度：假如我们不用导数工具,直接从函数的图像上观看,会有什么发觉？精品

33、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载有图像知：当r3 时, f30 ,即瓶子的半径为3cm 时,饮料的利润与饮料瓶的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载成本恰好相等；当r3 时,利润才为正值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 r0、 2 时 , fr0 , fr为减函数,其实际意义为：瓶子的半径小于2cm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载时,瓶子的半径越大,利润越小,半径为2 cm 时,利润最小例 2汽油的使用效率何时最高我们知道,汽油的消耗量w （单位： l）与汽车的速度v （单位： km/h ）之间有肯定的关系, 汽油的消耗量w 为汽车速度v 的函

34、数 依据你的生活体会,摸索下面两个问题：（ 1）为不为汽车的速度越快,汽车的消耗量越大？（ 2）“汽油的使用率最高”的含义为什么？分析： 争论汽油的使用效率（单位：l/m ）就为争论秋游消耗量与汽车行驶路程的比精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载值 假如用 g 表示每千米平均的汽油消耗量,那么 gw,其中, w 表示汽油消耗量 （单s精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载位： l ）, s 表示汽油行驶的路程（单位： km）这样, 求“每千米路程的汽油消耗量最少”,就为求 g 的最小值的问题通过大量的统计数据,并对数据进行分析.争论,人们发觉,汽车在行驶过程中,汽油平均消耗率

35、g （即每小时的汽油消耗量,单位： l/h ）与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h ）之间有如下列图的函数关系gfv从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题因此,我们第一需要将问题转化为汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量,单位：l/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间关系的问题,然后利用图像中的数据信息,解决汽油使用效率最高的问题w精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：由于gwtgssvt精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这样,问题就转化为求gv的最小值从图象上看,gv表示经过原点与曲线上点的直线的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

36、斜率进一步发觉,当直线与曲线相切时,其斜率最小在此切点处速度约为90 km / h 因此,当汽车行驶距离肯定时,要使汽油的使用效率最高,即每千米的汽油消耗量最小,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载此时的车速约为90 km / h 从数值上看, 每千米的耗油量就为图中切线的斜率,即 f约为 l 90 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3 在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起 如图 ,做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长为多少时,箱底的容积最大？最大容积为多少？_xxx6_0_x_60精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

37、解法一 ：设箱底边长为xcm,就箱高 h60xcm,得箱子容积2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载v xx 2h60 x 2x 302x60 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载v x60 x3 x20x260精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3x2令v x60x0,解得x=0 （舍去）, x=40,2并求得 v40=16 000由题意可知, 当 x 过小（接近0）或过大（接近60）时,箱子容积很小,因此, 16 000为最大值3答：当 x=40cm时,箱子容积最大,最大容积为16 000cm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法二 ：设箱高为xc

38、m,就箱底长为 60-2 xcm,就得箱子容积60-2xx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载v x602x 2 x 0x30（后面同解法60-2x60-2x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一,略）603由题意可知, 当 x 过小或过大时箱子容积很小, 所以最大值显现在极值点处60-2xx60精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载事实上, 可导函数v xx 2h60 x22x.v x602 x 2 x 在各自的定义域中精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载都只有一个极值点,从图象角度懂得即只有一个波峰,为单峰的,因而这个极值点就为最值点,不必考虑端点的函

39、数值例 4 圆柱形金属饮料罐的容积肯定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的材料最省？2解：设圆柱的高为h,底半径为r,就表面积 s=2 rh+2 r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2由 v= r h,得 hv2 ,就2r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sr= 2 rv22v+ 2 r =r2r+2 r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令s r2v2 +4 r=0rvvv4vv精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得, r= 32即 h=2r,从而 h=2 =r= 3 3v 22=2 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于

40、sr 只有一个极值,所以它为最小值答：当罐的高与底直径相等时,所用材料最省变式： 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值s 时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用材料最省？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载提示： s=2rh + 2r 2h= s2r22 r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sv r=2 r 2r2 = 1 s2 r 2 r1 srr3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载v ' r =02 rs6 r 226 r 22 rh22 r 2h2r 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 5 在经济学中,生产x 单位产品的成本称为成本

41、函数同,记为cx ,出售 x 单位产品的收益称为收益函数,记为rx , rx cx 称为利润函数,记为px ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）.假如 cx 106 x 30.003 x 25x1000 ,那么生产多少单位产品时,边际精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c x 最低？ 边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量（ 2）.假如 cx=50x 10000,产品的单价p 100 0.01x,那么怎样定价,可使利润最大？变式： 已知某商品生产成本c 与产量q 的函数关系式为c=100+4q,价格p 与产量q1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

42、的函数关系式为p25q 求产量 q 为何值时,利润l 最大？8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析：利润l 等于收入r 减去成本c,而收入r 等于产量乘价格由此可得出利润l与产量 q 的函数关系式,再用导数求最大利润112精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：收入rqpq25q25qq ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载88精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载利润 lrc1225qq1004q12q 21q100 0q100精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载88l1 q2141精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 l0 ,即q210 ,求得唯独的极值点4q84精品学习资料