函数与导数常考问题的破题技法

1、函数与导数常考问题的破题技法1设函数yf(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能为() 解析： 选 d由题意得，当x0，排除 a、c；当 x0 时，函数yf(x)先单调递增，然后单调递减，再单调递增，故导函数的符号先为正然后为负再为正，排除b，选 d. 2(2020 保定一中模拟)函数 f(x)的定义域为r，f(1)2，对任意 x r ，f (x)2，则 f(x)2x4 的解集为 () a(1,1)b(1， ) c(， 1) d(， ) 解析： 选 b由 f(x)2x4，得 f(x)2x40，设 f(x) f(x)2x4，则 f (x)f(x)2，因为 f(

2、x)2，所以 f(x)0 在 r上恒成立，所以f(x)在 r上单调递增又f( 1)f(1)2( 1)42240，故不等式f(x)2x40 等价于 f(x)f(1)，所以 x1. 3.已知 f(x)是定义在区间 (0， )内的函数，其导函数为f(x)，且不等式xf(x)2f(x)恒成立，则 () a4f(1)f(2) cf(1)4f(2) 解析： 选 b设函数 g(x)f xx2(x0)，则 g(x)x2f x 2xf xx4xf x 2f xx3g(2)，即f 112f 222，所以 4f(1)f(2)4.函数 f(x)(x0)的导函数为f(x)，若 xf(x) f(x)ex，且 f(1)e，

3、则 () af(x)的最小值为e bf(x)的最大值为e cf(x)的最小值为1edf(x)的最大值为1e解析： 选 a设 g(x)xf(x)ex，所以 g (x)f(x)xf(x)ex0，所以 g(x)xf(x)ex为常数函数因为 g(1)1f(1)e0，所以 g(x)xf(x)exg(1)0，所以 f(x)exx， f(x)exx1x2， 当 0 x1 时， f(x)1 时， f (x)0， 所以 f(x)f(1)e. 5已知 yf(x)是奇函数，当x (0,2)时，f(x)ln x ax a12，当 x( 2,0)时， f(x)的最小值为 1，则 a_. 解析： 由题意知，当x(0,2)

4、时， f(x)的最大值为1. 令 f(x)1x a0，得 x1a，当 0 x1a时， f(x)0；当 x1a时， f(x)0. f(x)maxf1a ln a1 1，解得 a1. 答案： 1 6若对任意a， b 满足 0abt，都有 bln aaln b，则 t 的最大值为 _解析： 0abt，bln aaln b，ln aa0，解得 0 xe，故 t 的最大值是e. 答案： e 7设定义在r上的函数f(x)满足 f(1)2，f(x)x21 的解集为 _解析：由条件式f(x)1 得 f(x)1x21 可化为 f(x2)x210，可以构造f(x)f(x)x1，由于 f(x)f(x)102 121

5、 f(12)121f(12)，所以x212，解得 1xx21 的解集为 x|1x1 答案： x|1x0)，讨论函数f(x)的单调性解： f(x)ax(a1)1xax 1 x 1x(x0)，当 0a1，由 f (x)0，解得 x1a或 0 x1，由 f(x)0，解得 1x1 时， 01a0，解得 x1 或 0 x1a，由 f (x)0，解得1ax1. 综上，当 0a1 时， f(x)在(1， )和 0，1a上单调递增，在1a， 1上单调递减10已知曲线f(x)bexx 在 x0 处的切线方程为axy10. (1)求 a，b 的值；(2)当 x2x10 时， f(x1)f(x2)( x1x2)(m

6、x1mx21)恒成立，求实数m 的取值范围解： (1)由 f(x)bexx 得， f (x)bex 1，由题意得在x0 处的切线斜率为f(0)b1a，即 b1a，又 f(0)b，可得 b10，解得 b1，a2. (2)由(1)知， f(x)exx，f(x1)f(x2)(x1x2)(mx1mx21)，即为 f(x1)mx21x1x10 知， 上式等价于函数 (x)f(x)mx2 xexmx2在(0， )为增函数， (x)ex2mx 0，即 2mexx，令 h(x)exx(x0)，h(x)exx1x2，当 0 x1 时， h(x)1， h(x)0 时， h(x)递增， h(x)minh(1)e，则

7、 2me，即 me2，所以实数 m 的范围为，e2. 11已知函数f(x)1ln xax2. (1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)证明： xf(x)0，f(x)在(0， )上单调递增，当 a0 时，令 f(x)0，解得 x2a2a，故 f(x)在0，2a2a上单调递增，在2a2a， 上单调递减(2)证明：要证xf(x)2e2 exx ax3，即证 xln x2e2 ex，也即证ln xx0)，则 g(x)2e2exx2x3，所以 g(x)在(0,2)上单调递减，在(2， )上单调递增，故 g(x)最小值g(2)12，令 k(x)ln xx，则 k(x)1ln xx2，故 k(x)在(0，e

8、)上单调递增，在(e，)上单调递减，故 k(x)最大值k(e)1e，1e12，故 k(x)g(x)，即 ln x2ex2x，故 xf(x)2e2 exxax3. 12已知函数f(x)axex(ar)，g(x)ln xx1.若 f(x) g(x)恒成立， 求实数 a 的取值范围解： f(x) g(x)恒成立，即axex ln xx1 恒成立因为 x0，所以 aln xx1xex. 令 h(x)ln xx 1xex，则 h(x)x1 ln xxx2ex. 令 p(x) ln xx，则 p(x)1x10，故 p(x)在(0， )上单调递减，又 p1e11e0，p(1) 10，故存在 x01e， 1 ，使得 p(x0) ln x0 x00，故 ln x0 x00，即 x0ex0. 当