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1、函数与导数常考问题的破题技法1设函数yf(x)在定义域内可导,yf(x)的图象如图所示,则导函数yf(x)的图象可能为() 解析: 选 d由题意得,当x0,排除 a、c;当 x0 时,函数yf(x)先单调递增,然后单调递减,再单调递增,故导函数的符号先为正然后为负再为正,排除b,选 d. 2(2020 保定一中模拟)函数 f(x)的定义域为r,f(1)2,对任意 x r ,f (x)2,则 f(x)2x4 的解集为 () a(1,1)b(1, ) c(, 1) d(, ) 解析: 选 b由 f(x)2x4,得 f(x)2x40,设 f(x) f(x)2x4,则 f (x)f(x)2,因为 f(
2、x)2,所以 f(x)0 在 r上恒成立,所以f(x)在 r上单调递增又f( 1)f(1)2( 1)42240,故不等式f(x)2x40 等价于 f(x)f(1),所以 x1. 3.已知 f(x)是定义在区间 (0, )内的函数,其导函数为f(x),且不等式xf(x)2f(x)恒成立,则 () a4f(1)f(2) cf(1)4f(2) 解析: 选 b设函数 g(x)f xx2(x0),则 g(x)x2f x 2xf xx4xf x 2f xx3g(2),即f 112f 222,所以 4f(1)f(2)4.函数 f(x)(x0)的导函数为f(x),若 xf(x) f(x)ex,且 f(1)e,
3、则 () af(x)的最小值为e bf(x)的最大值为e cf(x)的最小值为1edf(x)的最大值为1e解析: 选 a设 g(x)xf(x)ex,所以 g (x)f(x)xf(x)ex0,所以 g(x)xf(x)ex为常数函数因为 g(1)1f(1)e0,所以 g(x)xf(x)exg(1)0,所以 f(x)exx, f(x)exx1x2, 当 0 x1 时, f(x)1 时, f (x)0, 所以 f(x)f(1)e. 5已知 yf(x)是奇函数,当x (0,2)时,f(x)ln x ax a12,当 x( 2,0)时, f(x)的最小值为 1,则 a_. 解析: 由题意知,当x(0,2)
4、时, f(x)的最大值为1. 令 f(x)1x a0,得 x1a,当 0 x1a时, f(x)0;当 x1a时, f(x)0. f(x)maxf1a ln a1 1,解得 a1. 答案: 1 6若对任意a, b 满足 0abt,都有 bln aaln b,则 t 的最大值为 _解析: 0abt,bln aaln b,ln aa0,解得 0 xe,故 t 的最大值是e. 答案: e 7设定义在r上的函数f(x)满足 f(1)2,f(x)x21 的解集为 _解析:由条件式f(x)1 得 f(x)1x21 可化为 f(x2)x210,可以构造f(x)f(x)x1,由于 f(x)f(x)102 121
5、 f(12)121f(12),所以x212,解得 1xx21 的解集为 x|1x1 答案: x|1x0),讨论函数f(x)的单调性解: f(x)ax(a1)1xax 1 x 1x(x0),当 0a1,由 f (x)0,解得 x1a或 0 x1,由 f(x)0,解得 1x1 时, 01a0,解得 x1 或 0 x1a,由 f (x)0,解得1ax1. 综上,当 0a1 时, f(x)在(1, )和 0,1a上单调递增,在1a, 1上单调递减10已知曲线f(x)bexx 在 x0 处的切线方程为axy10. (1)求 a,b 的值;(2)当 x2x10 时, f(x1)f(x2)( x1x2)(m
6、x1mx21)恒成立,求实数m 的取值范围解: (1)由 f(x)bexx 得, f (x)bex 1,由题意得在x0 处的切线斜率为f(0)b1a,即 b1a,又 f(0)b,可得 b10,解得 b1,a2. (2)由(1)知, f(x)exx,f(x1)f(x2)(x1x2)(mx1mx21),即为 f(x1)mx21x1x10 知, 上式等价于函数 (x)f(x)mx2 xexmx2在(0, )为增函数, (x)ex2mx 0,即 2mexx,令 h(x)exx(x0),h(x)exx1x2,当 0 x1 时, h(x)1, h(x)0 时, h(x)递增, h(x)minh(1)e,则
7、 2me,即 me2,所以实数 m 的范围为,e2. 11已知函数f(x)1ln xax2. (1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)证明: xf(x)0,f(x)在(0, )上单调递增,当 a0 时,令 f(x)0,解得 x2a2a,故 f(x)在0,2a2a上单调递增,在2a2a, 上单调递减(2)证明:要证xf(x)2e2 exx ax3,即证 xln x2e2 ex,也即证ln xx0),则 g(x)2e2exx2x3,所以 g(x)在(0,2)上单调递减,在(2, )上单调递增,故 g(x)最小值g(2)12,令 k(x)ln xx,则 k(x)1ln xx2,故 k(x)在(0,e
8、)上单调递增,在(e,)上单调递减,故 k(x)最大值k(e)1e,1e12,故 k(x)g(x),即 ln x2ex2x,故 xf(x)2e2 exxax3. 12已知函数f(x)axex(ar),g(x)ln xx1.若 f(x) g(x)恒成立, 求实数 a 的取值范围解: f(x) g(x)恒成立,即axex ln xx1 恒成立因为 x0,所以 aln xx1xex. 令 h(x)ln xx 1xex,则 h(x)x1 ln xxx2ex. 令 p(x) ln xx,则 p(x)1x10,故 p(x)在(0, )上单调递减,又 p1e11e0,p(1) 10,故存在 x01e, 1 ,使得 p(x0) ln x0 x00,故 ln x0 x00,即 x0ex0. 当
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