2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

1、2013 全国新课标卷2 理科数学第1页2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷 ii) 第卷一、选择题 : 本大题共 12 小题, 每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （2013课标全国，理 1） 已知集合 m x|( x1)24, xr， n 1,0,1,2 ， 3 ， 则 m n（） a 0,1 ，2 b 1,0 ，1，2 c 1,0 ，2,3 d 0,1,2 ，32(2013 课标全国，理2)设复数 z 满足（ 1i) z2i, 则 z( ） a1i b1i c1i d1i 3 （2013 课标全国，理3）等比数列an的

2、前n项和为sn. 已知s3a210a1，a59，则a1（） a13 b13 c19 d194 （2013 课标全国，理 4)已知 m ，n 为异面直线 , m 平面 , n平面 。直线 l 满足 l m,ln，l,l，则（)a 且 l b 且 l c 与 相交，且交线垂直于l d 与 相交，且交线平行于 l 5 （2013 课标全国 , 理 5) 已知(1ax) （1x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a（） a4 b3 c2 d1 6 （2013 课标全国 , 理 6）执行下面的程序框图，如果输入的n10，那么输出的 s( ) a1111+2310b1111+2!3!10!c1111+2

3、311 d1111+2!3!11!7 （2013 课标全国，理7) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系o xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1，1，0） ， （0，1,1) ， （0，0,0) ，画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到的正视图可以为（） 8(2013 课标全国，理8）设 alog36，blog510，clog714, 则( ) acba bbca cacb dabc 2013 全国新课标卷2 理科数学第2页9 （2013 课标全国，理9)已知 a0, x，y 满足约束条件1,3,3 .xxyya x若 z2xy 的最小值为 1，则 a( ） a14 b1

4、2 c1 d2 10 （2013课标全国，理 10） 已知函数 f ( x) x3ax2bxc， 下列结论中错误的是 （) ax0r ，f(x0) 0 b函数 yf （x）的图像是中心对称图形c若 x0 是 f （x）的极小值点，则f(x ）在区间 ( ， x0）单调递减d若 x0 是 f(x ）的极值点，则 f (x0） 0 11 （2013 课标全国 , 理 11）设抛物线 c：y22px（p0)的焦点为 f，点 m在 c上, mf |5，若以 mf为直径的圆过点（ 0,2) ，则 c的方程为 ( ) ay24x 或 y28x by22x 或 y28x cy24x 或 y216x dy22

5、x 或 y216x 12 （2013课标全国，理 12)已知点 a （1,0） ，b(1，0)，c （0,1 ） ，直线 yaxb（a0）将abc分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ( ） a(0，1） b2 11,22 c2 11,23 d1 1,3 2第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第22 题第 24 题为选考题 , 考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分13 （2013课标全国，理 13）已知正方形 abcd 的边长为 2, e为 cd的中点，则ae bd_. 14 （2013 课标全国，理14)

6、从 n 个正整数 1，2，,n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5 的概率为114，则 n_. 15 （2013 课标全国，理 15)设 为第二象限角 , 若1tan42，则 sin cos _. 16 （2013 课标全国 , 理 16）等差数列 an的前 n 项和为 sn，已知 s100, s1525，则nsn的最小值为 _三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013 课标全国，理 17)( 本小题满分 12 分) abc的内角 a，b，c的对边分别为 a, b, c，已知 abcos c csin b. (1) 求 b；（2)若 b2，求abc面积的最大值

7、2013 全国新课标卷2 理科数学第3页18 （2013 课标全国 , 理 18）(本小题满分 12 分) 如图，直三棱柱 abc a1b1c1中，d, e分别是 ab ，bb1的中点， aa1ac cb 22ab。（1）证明： bc1平面 a1cd ；(2）求二面角 d a1c e的正弦值19(2013 课标全国，理 19)（本小题满分 12 分）经销商经销某种农产品 , 在一个销售季度内, 每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每1 t亏损 300元根据历史资料 , 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品以x（单

8、位 :t ，100x150）表示下一个销售季度内的市场需求量,t（单位 :元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润（1）将 t表示为 x的函数；(2）根据直方图估计利润t 不少于 57 000 元的概率；（3)在直方图的需求量分组中, 以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量x100 ，110）, 则取 x105，且 x105 的概率等于需求量落入 100,110) 的频率), 求 t的数学期望2013 全国新课标卷2 理科数学第4页20(2013 课标全国，理20)（本小题满分12 分) 平面直角坐标系xoy 中，过椭圆m

9、 ：2222=1xyab(ab0) 右焦点的直线30 xy交 m于 a，b两点， p为 ab的中点，且 op的斜率为12. （1)求m的方程 ; （2)c，d为 m上两点，若四边形acbd 的对角线 cd ab ，求四边形 acbd 面积的最大值21 （2013 课标全国 , 理 21)( 本小题满分 12 分）已知函数 f (x）exln （xm ) (1) 设 x0 是 f （x）的极值点，求m ，并讨论 f （x）的单调性 ; （2）当 m 2时，证明 f （x)0。2013 全国新课标卷2 理科数学第5页请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，

10、做答时请写清题号22(2013 课标全国，理 22)（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， cd为abc外接圆的切线， ab的延长线交直线 cd于点 d, e，f分别为弦 ab与弦 ac上的点，且 bc ae dc af , b, e，f，c四点共圆（1）证明： ca是abc 外接圆的直径；（2)若 db be ea ，求过 b，e，f, c四点的圆的面积与 abc外接圆面积的比值23(2013 课标全国，理 23）( 本小题满分 10 分）选修 44: 坐标系与参数方程已知动点 p，q都在曲线 c ：2cos ,2sinxtyt( t 为参数 )上，对应参数分别为t 与 t

11、 2(02), m为 pq的中点(1) 求 m的轨迹的参数方程；(2）将 m到坐标原点的距离d 表示为 的函数，并判断 m的轨迹是否过坐标原点2013 全国新课标卷2 理科数学第6页24(2013 课标全国，理 24） （本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲设 a，b，c 均为正数，且 abc1，证明 : （1)abbcac13; (2)2221abcbca。2013 全国新课标卷2 理科数学第7页2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类( 全国新课标卷 ii ）第卷一、选择题：本大题共12 小题, 每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1

12、答案： a 解析：解不等式（x1)24，得1x3, 即 m x1x3 而 n 1,0 ，1,2 ，3 ，所以 m n 0，1,2 ，故选 a。2答案： a 解析：2i2i 1i=1i1i 1iz22i21i. 3答案： c 解析：设数列an 的公比为q，若q1, 则由a59，得a19，此时s327，而a210a199，不满足题意，因此q1。q1 时，s331(1)1aqqa1q10a1，311qqq10，整理得 q29. a5a1q49，即 81a19，a119. 4答案： d 解析： 因为 m , l m ，l, 所以 l . 同理可得 l 。又因为 m ，n 为异面直线，所以 与 相交,

13、且 l 平行于它们的交线故选d。5答案: d 解析： 因为(1 x）5的二项展开式的通项为5crrx（0r 5，r z） ，则含 x2的项为225c xax15c x(105a）x2，所以 105a5，a1. 6答案: b 解析： 由程序框图知 , 当 k1，s0, t1 时，t1，s1；当 k2 时,12t，1=1+2s；当 k3 时,12 3t，111+223s; 当 k4 时,12 34t，1111+223234s；当 k10 时，123 410t，1111+2!3!10!s, k 增加 1 变为 11，满足 kn，输出 s，所以 b正确72013 全国新课标卷2 理科数学第8页答案：

14、a 解析： 如图所示，该四面体在空间直角坐标系o xyz 的图像为下图 : 则它在平面 zox上的投影即正视图为, 故选 a. 8答案: d 解析： 根据公式变形，lg 6lg 21lg3lg 3a,lg10lg 21lg 5lg 5b，lg14lg 21lg 7lg 7c，因为 lg 7 lg 5 lg 3, 所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg 5lg 3，即 cba。故选 d. 9答案： b 解析： 由题意作出1,3xxy所表示的区域如图阴影部分所示，作直线 2xy1， 因为直线 2xy1 与直线 x1 的交点坐标为（ 1，1） ，结合题意知直线ya( x3)过点(1 ，1） ，代入

15、得12a，所以12a。10答案: c 解析： x0是 f （x）的极小值点 , 则 yf （x) 的图像大致如下图所示，则在（， x0）上不单调，故c不正确11答案： c 解析： 设点 m的坐标为（ x0，y0） ，由抛物线的定义 , 得| mf x02p5，则 x052p. 又点 f的坐标为,02p, 所以以 mf为直径的圆的方程为（ xx0)2px（yy0) y0。将 x0, y2代入得 px084y00，即202y4y080, 所以 y04。2013 全国新课标卷2 理科数学第9页由20y2px0，得16252pp，解之得 p2，或 p8。所以c的方程为y24x或y216x. 故选 c

16、。12答案: b 第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13题第 21 题为必考题 , 每个试题考生都必须做答。 第22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题 : 本大题共 4 小题，每小题 5 分13答案 : 2 解析： 以 ab所在直线为 x 轴，ad所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示 , 则点 a的坐标为 (0，0） ，点 b的坐标为（ 2，0)，点 d的坐标为（ 0,2) ，点 e的坐标为 (1,2) ，则ae(1,2 ） ，bd（ 2，2） ，所以2ae bd。14答案 : 8 解析: 从 1,2 ，,n 中任取两个不同的数共有2cn种取法，两数之和为 5

17、 的有（1,4) ， （2,3)2 种，所以221c14n，即24111142n nn n, 解得 n8。15答案：105解析： 由1tan1tan41tan2，得 tan 13，即 sin 13cos 。将其代入 sin2cos21，得210cos19。因为 为第二象限角，所以cos 3 1010，sin 1010,sin cos 105。16答案 : 49 解析: 设数列 an 的首项为 a1，公差为 d，则 s101109102ad10a145d0，s15115 14152ad 15a1105d25。联立，得 a13，23d，所以 sn2(1)211032333n nnnn。令 f （n

18、) nsn, 则32110( )33f nnn ,220( )3fnnn. 令 f （n) 0，得 n0 或203n。当203n时，f (n）0，200 3n时，f (n) 0，所以当203n时，f （n) 取最小值，而 nn，则 f （6） 48, f （7） 49，所以当 n7 时，f （n) 取最小值 49. 三、解答题：解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤2013 全国新课标卷2 理科数学第10页17解： （1）由已知及正弦定理得sin asin bcos csin c sin b又 a（ bc） ，故sin asin( bc ) sin bcos ccos bsin c由，和 c

19、 （0, ）得 sin bcos b，又 b(0 ，), 所以4b. （2）abc的面积12sin24sacbac. 由已知及余弦定理得4a2c22cos4ac. 又 a2c22ac，故422ac, 当且仅当 ac 时, 等号成立因此 abc面积的最大值为2+1. 18解:(1 ）连结 ac1交 a1c于点 f, 则 f 为 ac1中点又 d是 ab中点，连结 df ，则 bc1df . 因为 df ? 平面 a1cd ，bc1平面 a1cd ，所以 bc1平面 a1cd 。（2)由 ac cb 22ab得，ac bc . 以 c为坐标原点，ca的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐

20、标系cxyz。设 ca 2，则 d(1,1 ，0） ，e（0，2,1) ，a1(2,0 ，2) ，cd(1,1 ，0) ，ce(0,2 ，1） ，1ca(2,0 ，2） 设 n（x1，y1，z1) 是平面 a1cd的法向量 , 则10,0,cdcann即11110,220.xyxz可取 n（1，1，1） 同理，设 m是平面 a1ce的法向量，则10,0,cecamm可取 m (2,1 ，2)从而 cosn，m 3|3n mnm，故 sin n，m 63。即二面角 da1ce的正弦值为63。19解:(1 ）当 x100，130）时， t500x300(130x）800x39 000，当 x130

21、，150时, t500130 65 000. 2013 全国新课标卷2 理科数学第11页所以80039000,100130,65000,130150.xxtx（2)由（1)知利润 t不少于 57 000 元当且仅当 120x150.由直方图知需求量x120，150的频率为0。7，所以下一个销售季度内的利润t不少于57 000 元的概率的估计值为0。7。（3)依题意可得 t的分布列为t 45 00053 00061 00065 000 p 0。10.20.30。4 所以 et 45 0000。153 0000.261 0000。 365 0000。459 400。20解： （1)设a（x1，y1

22、） ，b（x2，y2） ，p(x0，y0）, 则221122=1xyab，222222=1xyab,2121=1yyxx，由此可得2212122121=1bxxyyayyxx. 因为 x1x22x0，y1y22y0,0012yx，所以 a22b2。又由题意知， m的右焦点为（3，0） ，故 a2b23. 因此 a26，b23。所以 m的方程为22=163xy. (2) 由2230,1,63xyxy解得4 3,33,3xy或0,3.xy因此| ab | 4 63。由题意可设直线 cd的方程为y5 333xnn, 设 c（x3，y3） ，d（x4，y4） 由22,163yxnxy得 3x24nx2

23、n260。于是 x3,4222 93nn. 因为直线 cd的斜率为 1，2013 全国新课标卷2 理科数学第12页所以| cd 24342 |93xxn。由已知 , 四边形 acbd 的面积218 6| |929scdabn. 当 n0 时，s取得最大值，最大值为8 63. 所以四边形 acbd 面积的最大值为8 63。21解：(1 ）f （x）1exxm. 由 x0 是 f （x) 的极值点得 f （0) 0，所以 m 1。于是 f （x) exln （x1） ，定义域为 ( 1, ） ，f （x)1e1xx。函数 f （x)1e1xx在( 1，)单调递增 , 且 f (0) 0. 因此当 x（1,0 ）时， f （x) 0；当 x(0 ，)时， f (x）0。所以 f ( x）在（ 1,0 ）单调递减，在 (0, ）单调递增(2）当 m 2，x（ m ，)时， ln( xm )ln （x2） ，故只需证明当m 2 时，f （x）0. 当 m 2 时，函数 f (x）1e2xx在( 2，）单调递增又 f （ 1）0，f (0) 0，故f(x）0 在（ 2, )有唯一实根x0, 且x0（ 1，0)当 x( 2，x0) 时，f (x）0；当 x（x0，)时， f （ x）0, 从而当 xx0