待定系数法求二次函数解析式的十种类型(共4页)

1、待定系数法求二次函数解析式的十种类型一、 三点型-一般式 y=ax2+bx+c即已知抛物线经过确定的三点,求其解析式.这时可以设解析式为标准形式y=ax2+bx+c 然后将三点坐标代入解析式得三元一次方程组,求出a、b、c 即得解析式已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x-3x+5.这种方法是将坐标代入y=ax+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c,

2、进而获得解析式y=ax+bx+c.二、交点型-交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 即已知抛物线与X轴的两个交点的坐标A(x1 ,0 ) ,B(x2, 0) 或交点间的距离及对称轴,求抛物线的解析式.这时可以设解析式为y=a(xx 1)(x x 2),求出a即得解析式 例2 已知抛物线y=-2x+8x-9的顶点为A，若二次函数y=ax+bx+c的图像经过A点，且与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。分析 要求的二次函数的图象与x轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x+8x-9的顶点A（2，-1）。将A点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=y

3、=x(x-3),即 y=.三、顶点型-y=a(x-h)+k即已知抛物线的顶点坐标( h, k ),求其解析式.这时可设解析式为顶点形式 y=a ( xh )2 +k ，求出a、k可即得解析式 。例 3 已知抛物线y=ax+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。分析 此类题型可设顶点坐标为(h,k)，故解析式为y=a(x-m)+k.在本题中可设y=a(x+1)+4.再将点(1,2)代入求得a=-y=-即y=-由于题中只有一个待定的系数a，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。四、平移型 左加右减自变量，上加下减常数项 例 4 二次函数y=x+bx+c的图象向左平移两个

4、单位，再向上平移3个单位得二次函数则b与c分别等于(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析 逆用平移分式，将函数y=x-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。y=x=xb=-6,c=6.因此选（B）五、弦比型（设两根为x1, x2, 则弦长=|x1-x2|由韦达定理：x1+x2=-b/a, x1x2=c/a因此|x1-x2|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-b/a)2-4c/a=(b2-4ac)/a2=/a2因此有|x1-x2|=/|a|） 例 5 已知二次函y=ax+bx+c为x

5、=2时有最大值2，其图象在X轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A（1，0），B（3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x+8x-6.六、识图型例 6 如图1， 抛物线y=与y=其中一条的顶点为P，另一条与X轴交于M、N两点。（1）试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点？（2）求两条抛物线的解析式。  解 （1）抛物线y=与x轴交于M，N两点（过程从略）；（2）因y=的顶点坐标为（0，1），b-2=0,d=1, b=2.Y=.将点N的坐标与b=

6、2分别代入y=+(b+2)x+c得c=6.y=+4x+6七、面积型例 7 已知抛物线y=x 的对称轴在 y轴的右侧，且抛物线与 y轴交于Q（0，-3），与x轴的交点为A、B，顶点为P，PAB的面积为8。求其解析式。解 将（0，-3）代入y=得 c=-3.由弦长公式，得点P的纵坐标为由面积公式，得解得因对称轴在y 轴的右侧, b=-2.所以解析式为y=八、几何型 例 8 已知二次函数y=-mx+2m-4如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。解 由弦比公式，得AB=顶点C的纵坐标为-ABC为等边三角形解得m=4故所求解析式为y=或y=九、三角型 例 9已知抛物线y=的图象经过三点（0，）、（sinA，0）、（sinB，0）且A、B为直角三角形的两个锐角，求其解析式。解 A+B=90，sinB=cosA.则由根与系数的关系，可得将（0，）代入解析式，得c=（1）,得-bb=-所以解析式为y=十、综合型 例 10 如图2，已知抛物线y=-与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点，若ACB=90，且tgCAO-tgCBO=2，求其解析式解 设A，B两点的横坐标分别为