一线三等角典型例题

1、一线三等角”模型在初中数学中的应用一、一线三等角”模型的提炼例1、（2015年山东德州卷）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，/ DPCh A=Z B=90°.求证：ADBC二AP 探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当/ DPCK A=Z B=B时，上述结论是否依然 成立说明理由应用：请利用 、（2）获得的经验解决问题：如图 3,在厶ABD中，AB=6, AD=BD=5点 P以每秒1个 单位长度的速度，由点 A出发，沿边AB向点B运动，且满足/ DPCK A.设点P的运动时间为t （秒）， 当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值.图I图2

2、图3变式1 （ 2012年烟台）（1）问题探究如图6,分别以 ABC的边AC与边BC为边，向 ABC外作正方形 ACDE1和正方形BCD&,过点C作直线KH交直线AB于点H,使/ AHK二/ ACD .作D1M丄KH, D2N丄KH,垂足分别为点M、N.试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证 明.（2）拓展延伸1如图7,若将 问题探究”中的正方形改为正三角形，过点 C作直线K1H1,K2H2，分别交直线 AB 于点 H1、H2,使/ AH1K1 = / BH2K2 = / ACD .作 D1M 丄K1H1, D2N丄K2H2,垂 足分别为点M、N. D1M = D2N是否仍成

3、立 若成立，给出证明；若不成立，说明理由.2 如图8,若将 中的 正三角形”改为 正五边形”其他条件不变.D1M = D2N是否仍成立（要求：在 图8中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明 ）二、添加辅助线后运用基本图形例1、在厶ABC中，AB =2, / B = 45 ,以点A为直角顶点作等腰R t ADE点D在BC上，点E在AC 上，若CE=5求CD的长。(3)例2、（ 2013年海淀区一模22题最后一问）如图，11、12、13是同一平面内的三条平行线，11、12之间 的距离是21/5，12、13之间的距离是21/10，等边 ABC的三个顶点分别在11、12、13上，求 ABC的边

4、长.例3、 如图，在矩形纸片ABCD中，AE = 5,EC = 4，在AE 边上取点G,现将纸片沿EG处，当AE=3时，求BG的长三、应用举例1、等腰三角形底边上的一线三等角例1、如图5,在 三角形ABC中，AB=AC,D为BC的中点，以D为顶点作/ MDN= / B.（1）如图5,当射线DN经过A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与三角形 ADE相似 的三角形。 如图6,将/MDN绕点D逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段 AC,AB于E,F点，（E和A点不重 合），不添加辅助线，写出图中所有相似的三角形，并证明。 在图6中，若AB=AC=10 BC=12当三角形DEF的面积

5、等于 三角形面积的1/4时，求线段EF的长。O点旋转的过程中，/ OEF能否成为等腰三角形 请说明理由.例2、如图8，在Rt/ABC中，AB = AC =2 / A = 90；现取一块等腰直角三角板，将 45°角的顶点放在 BC中点O处，三角板的直角边与线段 AB AC分别交于点E、F，90°).(1) 试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2) 试判断/ BEO与/ OEF的大小关系并说明理由；(3) 在三角板绕 x的值;若不能，【例3】(2012四川 成都卷)如图， ABC和厶DEF两个全等的等腰直角三角形，/ BAC=/ EDF=90, DEF的顶点E与厶AB

6、C的斜边BC的中点重合.将 DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段 DE与线段 AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1) 如图，当点Q在线段AC上，且 AP=AQ时，求证： BPEACQE PM、PN分别于边、AB、AC交于点E、6、(东城一模24.)等边 ABC边长为6，P为BC边上一点，/ MPN=60 °,P为BC的三等分点，且 PE± AB时，判断 EPF的形状 P在BC边上运动，且保持 x的取值范围；'P在BC边上运动，且/(1)(2)如图1，当点 如图2，若点 并写出自变量 如图3，若点，-设 BP=x,M四边形 AEPFP旋转，当CF=AE=2

7、时C HPE的长.A «y，求y与x的函数关系式,(2) (2)如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证： BP0ACEQ 并求当BP=a CQ=9a/2时，P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示)2、四边形中的一线三等角例1、如图，正方形ABCD的边长为1cm, M、N分别是BC CD上两个动点，且始终保持AM丄MN,设BM的长为x cm, CN的长为y cm.求点M在BC上的运动过程中y的最大值(2013年杭州压轴题如图*已知止方形ABCL)的边氏为4, 对称中心为点P,点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满 足条件ZEPF=45图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称、

8、设它们的面积和为SI。(1)求证：ZAPE= ZCFP； (2)设四边形CMPF 的面积为 S2, GF = x, y = 求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y 的最大值； 当图中两块阴影部分图形关于点卩成中心对称时，求y的值.ND例 3、如图，在等腰梯形 ABCD中，AD/ BC, BC = 4AD = 4 2 / B = 45； 动，且/ AEF = 45°则点E移动过程中，线段AF长移的最小值是()A ED例 4 .如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC , AB DC AD 6 , AD, DC上(点E与点A, D不重合),且BEF 120°，设

9、AE 求y与x的函数表达式； 当x为何值时，y有最大值，最大值是多少tan CAD 例4、如图，在直角梯形 ABCD中，AD/ BC, / B=90° AB=8，动点(点E与点A、D不重合)，且/ FEC=Z ACB设DE=x, CF=y43，CA=CD, E、F分别是线段 AD、AC上的(1 )求AC和AD的长；(2)求y与x的函数关系式；(3 )当厶EFC为等腰三角形时，求 x的值.AE例九(长宁区18題:：如囹，等穫梯iABCD中S 1/ BCt AD-41 EC 丄近,ZB=45r ,直曲三朗橇含舫廈轴的顶点囂柱边贞U上彩动，一宜曲边始这经11. A ,斛 边与OD交二点若仝

10、ABE为等腰三角砂 则CF的长等于,侧 3 (徐汇区 25).如图，在梯形 ABCD 41, AD /I BC AB=CD=BC = 6,卫D = 3 -点M为边眈的中点以"为顶点作亠氏£吕馬機ME交腰于点F . 射线丄茁交段CD二点F,联结EF.(1)求证主 KEF s'EEM)(2) TA BEM是I；1卫M药膘的尊煙三吊形，求EF的长I(3) 若EF _8 :求刀£曲长.3、函数问题中的一线三等角.例1、在直角坐标系中，点A是抛物线y= x2在第二象限上的点，连结 0A,过点0作0B丄0A,交抛 物线于点B,以OA 0B为边构造矩形AOBC如图，当点A的横坐标为一1/2时，求点B的坐标.F*变式练习3、在乎血直旳坐杯系XOY 1' AOB的位置如图新小.12知 = 60 点 A 的曙标为 f-V3,1)(1) 求点R的坐标(2) !；地物线，=u/十加十芒经过紅0. H上点，集画