方向导数与梯度PPT学习教案

1、会计学1方向导数与梯度方向导数与梯度 假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比 一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属受热在(3,2)处有一个蚂蚁，问： 这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题1第1页/共58页问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即温度的梯度相反方向）爬行.问题2沿沿在点在点是是),(),(),(00000yxPyxfyxfx如何如何的变化率如何确定？又的变化率如何确定？又轴轴沿与沿与在点在点问：问：xPyxf0),(化时化时成定角的任一直线上变成定角的任一直线上变计计算算

2、？0Pl轴的直线上的变化率轴的直线上的变化率平行于平行于x第2页/共58页设l 是xOy 平面上以)cos,(cosel ),(000yxP.cos,cos00yyxx )0( xyo是与l 同方向的为始点的定义8.8 单位向量. 函数 z = f (x, y) 在点P0(x0 , y0 ) 的某个邻域 )(0PUlle一条射线，内有定义，)cos,cos(00yxP 为l上另一点，且 )(0PUP P射线l 的参数方程为0P第3页/共58页)()(0PfPfz ，则则PP |00)(0limPPzlPPP 若若yxfyxf),()cos,cos(lim00000 存在，则称此极限为函数 f

3、( x, y)在点P0沿方向 l 的方向导数，记作 ,),(00yxlf 即.),()cos,cos(lim00000),(00yxfyxflfyx ),()cos,cos(0000yxfyxf 第4页/共58页2200)()(),(),(limyxyxfyyxxfyx 1 方向导数的其他形式：yxfyxflfyx),()cos,cos(lim00000),(00 ,cosx 其中其中,)()(22yx x y xyolleP0P|0PP ycos 第5页/共58页2 方向导数的几何意义 过点P0 沿l 作垂直于xOy 面的平面，与曲面 z = f (x, y)的交线在曲面上相应点M 处的切线

4、MTl(若存在)关于l 方向的斜率:该平面lf tan0PlTlz=f(x, y) M第6页/共58页 )(令令),cos,cos(00yxf 则yxfyxf),()cos,cos(lim00000 ),(00yxlf )0()(lim0 ).0( 本质上，方向导数计算可归结为一元函数导数计算(1) 用定义第7页/共58页xyyxf ),(求求在点 (1, 2) 处沿方向)cos,(cosenml 的方向导数.解),2 , 1(),(00 yx )()cos1(m 2 )0( )2 , 1(lf.coscos2nm ),cos,cos()(00yxf )0( ),(00yxlf),cos2(n

5、 )coscos2(nm,coscos2nm当函数f(x,y)在点),(00yx可微时,又有如下的计算方向导数的办法.,coscosm ,coscosn 第8页/共58页,cos),(cos),(0000yxfyxfyx 证 由函数),(yxf)(),(),(0000oyyxfxyxffyx 且有得 ),(00yxlf则函数在该点沿任一方向 的方向导数存在 ,le.ecos,cos的方向余弦的方向余弦为为其中其中l在点 可微 ,0P, ),(),(000处处在点在点若函数若函数yxPyxf可微可微 cos),(00yxfx)(o cos),(00yxfy (2) 用公式x y xyolleP0

6、P第9页/共58页),(00yxlf 故yxfyxfyxcos),(cos),(0000 f 0lim cos),(00yxfx)(o cos),(00yxfy f 第10页/共58页 求函数求函数yxz2e 在点在点)0 , 1(P处沿从点处沿从点 )0 , 1(P到点到点)1, 2( Q的方向的方向导数的方向的方向导数. 解)21,21(e lll)cos,(cos 21cos,21cos , 1e)0 , 1 (2)0 , 1 ( yxz2e2)0 , 1(2)0 , 1( yxyz),1,1( PQl第11页/共58页所所求求方方向向导导数数 )21(2211 )0 , 1(lz.22

7、 )0, 1()coscos(yzxz 第12页/共58页对于三元函数对于三元函数),(zyxfu ，它在空间一点，它在空间一点),(zyxP沿着方向沿着方向 l 的方向导数的方向导数 ，可定义为：，可定义为： PPPfPflflPPP )()(lim)(zyxfzyxf),()cos,cos,cos(lim0 ),(),(lim0zyxfzzyyxxf 第13页/共58页,cos x,cos y,cos z),(zzyyxxPP 其中其中.coscoscos zfyfxflf 222)()()(zyx , ,为方向为方向 l 的方向角的方向角 同样有，当函数在一点可微时，则函数在该点沿任意方

8、向的方向导数都存在，且有第14页/共58页解 处沿从处沿从在点在点求函数求函数2, 1, 102 Mzxyu.式计算式计算因函数可微，所以用公因函数可微，所以用公故故,141cos .143cos ,142cos 又又 xu yu zu .1, 1 ,20方向的方向导数方向的方向导数到点到点点点 MM),3, 2, 1( MM0,140 MM,2zy,2xyz,2xy处，处，在点在点0M,2 xu,2 yu.1 zu故故142 lu:先求方向先求方向.145 144 143 第15页/共58页(1)方向导数与偏导数的关系xf 存在)e()()e(iifiifll 存在，且时，时，当当il e;

9、xfif 时，时，当当il e.)(xfif 第16页/共58页证存在，则存在，则若若xf 时，时，当当0, 1e il,/轴同向轴同向轴且与轴且与射线射线即即xxl2, 0 ifPPPfPflPPP )()(lim)(yxfyxf),()2cos, 0cos(lim0 yxfyxf),(),(lim0 )(xfxf xyoPlPPPP第17页/共58页时，时，当当)0, 1(e il轴反向，轴反向，且与且与轴轴射线射线即即xxl,/, )(-ifPPPfPflPPP )()(lim)(yxfyxf),()2cos,cos(lim0 yxfyxf),(),(lim0 )(xfxf xyoPlP

10、2 第18页/共58页if )(xf)( if )(xf ？即ifxf )()()(ifxf 但xf 存在)e()()e(iifiifll 存在反例：在点在点22),(yxyxfz ).0 , 0(P（自己证）第19页/共58页(2)可微可偏导沿任意方向的方向导数存在处沿任意方向处沿任意方向在在)0 , 0(),(22yxyxfz 均不存在，均不存在，)0 , 0(yf.)0 , 0(),(处不可微处不可微在在从而从而yxf反例1及及，但，但都为都为的方向导数都存在，且的方向导数都存在，且)0 , 0(1xf第20页/共58页反例2 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(22y

11、xyxyxxyyxfz可偏导，但可偏导，但),(, 0)0 , 0()0 , 0(yxfffyx fyxflfxyx)0 , 0(),(lim)(0 xfxxfx2)0 , 0(),(lim0 )(22yx xx2021lim0 不存在.的方向导数：的方向导数：处沿处沿在点在点)1 , 1(0,0),( lyxf第21页/共58页设从x轴正方向到射线 l的转角为，求函数的方向导数.并问: l是怎样的方向时，此方向导数 (1) 取得最大值; (2) 取得最小值; (3) 等于零？解zzlzyxcos)1 , 1 (cos)1 , 1 ()1 , 1( 由方向导数的计算公式知)1 , 1()1 ,

12、 1()2(cos)2(yx 沿射线 l 方向在点P(1,1)(222yxz )sin(cos2 ),4sin(22 sin第22页/共58页),4sin(22)1 , 1( lz故(1) 当当4 时时， (2) 当当45 时时， (3) 当当43 和和47 时时， 方向导数等于方向导数等于 0. ; 22 方向导数达到最小值方向导数达到最大值; 22第23页/共58页:问题问题从例4 看到,到最大值.,22增加得最快增加得最快z的方向导数达的方向导数达在点在点函数函数)1 , 1()(222Pyxz :45时，即沿着方向时，即沿着方向当当 45)sin(cose ，l)21,21( 函数在点

13、P 沿哪一个方向增加的速度最快？zoPxy=5/4第24页/共58页观察向量：)1 ,1()(Pyzxzg ，)2,2( 恰好与)21,21(e l同方向， 22g且且)1 , 1(Plz 最大.这是巧合吗？不是！)1 , 1()2,2(Pyx 第25页/共58页设二元函数),(yxfz Pjyfixff)(grad 为函数 z = f (x, y) 在点 P 处的梯度记作 ( gradient ),在点),(00yxP具有偏导数，称向量),(),(0000yxfyxfyxPyfxf),( Pyfxf, 第26页/共58页lyxflfe),(grad (1)同方向同方向是与射线是与射线设设ll

14、cos,cose 的单位向量，则的单位向量，则),(gradPrjyxfl (2)取得最大方向导数取得最大方向导数的方向是使得的方向是使得),(yxf的的为方向导数为方向导数的方向，且的方向，且lfyxf ),(grad可微函数 z = f (x, y) 的梯度有下列性质：.最大值最大值)(grad),(yx,fyx,P对于任一给定的点对于任一给定的点第27页/共58页yfxflfcoscos )cos,(cos),( yfxflyxfe),(grad cos| ),(grad|yxf 证 (1),(gradjPryxfl ),),(gradlyxf 记记第28页/共58页(2)lf | ),

15、(grad|yxf 即即时时当当,1cos , 0 的方向一致时，的方向一致时，),(gradyxf. ),(grad)(maxyxflfl 取得最大值:lf 注1沿梯度方向，沿梯度方向，取得最大值：取得最大值：lf ),(gradyxflf 0 .),(增加最快增加最快yxf)()()(lim)(0PPPfPflflP 的方向与梯度的方向与梯度lyxfcos| ),(grad| 第29页/共58页沿梯度相反方向，取得最小值：取得最小值：lf ),(grad)(minyxflfl 0 .),(减小最快减小最快yxf2梯度的概念可以推广到三元函数),(radzyxfg),(zyxfu ),(zf

16、yfxf 类似于二元函数，三元函数的梯度也有上述性质.方向：是函数值增加最快的方向模 : 等于函数的方向导数最大值:grad f第30页/共58页求函数)ln(222zyxu 在点)2,2,1( M处的梯度.)2, 2, 1(,grad zuyuxuuM解,222zyxr 令令则 xu21rx2 注意 x , y , z 具有轮换对称性)2, 2, 1(2222,2,2 rzryrx)2,2,1(92 第31页/共58页:*LxOy面上的投影面上的投影在在称为函数, ),(yxfz 对函数对函数(1) 等高线 czyxfz),(曲线曲线 z = f (x, y)的等高(值)线 . cyxf )

17、,(第32页/共58页xyo)(21cc )(222yxz xyzoz =c2z =c1),(gradyxff (x, y) =c1f (x, y) =c2 第33页/共58页cyxfL ),(：等高线等高线处的切向量：处的切向量：在点在点),(yxPL )(xyyxx)dd,1(xyT )0(), 1( yyxfff),(1xyyfff 处的法向量：处的法向量：在点在点),(yxPL n ),(yxff)0( Tn第34页/共58页则则处的法向量为处的法向量为在点在点,),(nyxPL ),(grad/yxfn), ),(cos(grad),(gradnyxfyxfnf 同方向时，同方向时，

18、与与当当),(gradyxfn),(gradyxfnf lfl max),(gradyxf 或或0 第35页/共58页同方向时，同方向时，与与当当),(gradyxfn),(gradyxfnf lfl max 0 故 z = f (x, y) 在点 P( x, y )的梯度恰为等高线 f (x, y) = c 在这点的一个法向量，其指向为：从数值较低的等高线到数值较高的等高线，而梯度的模等于函数沿这个法线方向的方向导数.),(的值增加最快的值增加最快沿梯度方向，沿梯度方向，yxf第36页/共58页2),(cyxf 1),(cyxf cyxf),(等高线),(gradyxf梯度为等高线上的一个法

19、向量，其指向为：从数值较低的等高线到数值较高的等高线.P)(21cc oyx第37页/共58页函数在一点的梯度垂直于该点等值面,指向函数同样, 对应三元函数, ),(zyxfu 有等值面(等量面),),(czyxf 当各偏导数不同时为零时, 等值面上 点P处的法向量为.gradPf增大的方向.第38页/共58页类似地类似地, 设曲面设曲面czyxf ),(为函数为函数),(zyxfu 的的等量面等量面，此函数在点此函数在点),(zyxP的的梯度梯度的方向与的方向与 过点过点 P 的等量面的等量面czyxf ),(在这点的在这点的法线法线的的一一 个方向个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较

20、相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数沿这个法线方高的等量面，而梯度的模等于函数沿这个法线方 向的方向导数向的方向导数. 第39页/共58页.1)2,2()(122222222上的方向导数上的方向导数在此点的内法线方向在此点的内法线方向沿曲线沿曲线处处在点在点求求 byaxbaMbyaxu解(方法1)12222 byax恰为等高线 ( u = 0 )Mun)(grad 法向量：法向量：Myuxu),( Mbyax)2,2(22 xyoMn内)2,2(ba 第40页/共58页MMyxunu),(grad n 22)2()2(ba .)(222abba Mun)gra

21、d( )0(12222 ubyax)21(212222 ubyaxnuM )(gradoyx)2,2(ba 第41页/共58页nyxunuMM ),(grad.)(222abba (方法2) ),(yxf令令12222 byax的内法向量：的内法向量：则曲线则曲线0),( yxf n Myxff),(Mbyax)2,2(22)2,2(ba xyoMn第42页/共58页0grad(1) CuCuCgrad)(grad(2) vuvugradgrad)(grad(3) uvvuvugradgrad)(grad(4) uufufgrad)()(grad(5) 第43页/共58页梯度的应用非常广泛，如

22、：(1) 计算方法中求解非线性方程组的最速下降法；(2) 在热力学中，引出热流向量：Ukqgrad (其中U(P)为温度函数)表示物体中各点处热流动的方向和强度；(3) 在电磁场学中的电位 u 与电场强度 有关系：EuEgrad 第44页/共58页,)(可导可导设设rf),(222zyxPzyxr为点为点其中其中 证xrf )()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrf rrrf1)( rzrfzrf)()( rrfe)( jyrf )(kzrf )(xrrf )(222zyxx Pxozy,)(ryrf ixrf )(试证rxrf)( .e)()(radgrrfrf

23、处矢径 r 的模 ,r第45页/共58页已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点),(4222zyxrrqu ),(zyxP试证明：证 利用例6的结果 处所产生的电位为Eu grad)e4(2rrqE 场强场强 rrque4grad rrqe42 E rrfrfe)()(grad rqrfu4)( 这说明：场强垂直于等位面,且指向电位减少的方向.第46页/共58页1. 方向导数计算公式 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为为的方向导数为zfyfxflfcoscoscos 二元函数 ),(yxf在点),(yxP), 的方向导数为yfxflfcoscos 沿方向 l

24、(方向角为可微时方可用第47页/共58页2. 梯度 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为Pzfyfxff ,grad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(gradyxfyxffyx 3. 关系方向导数存在偏导数存在 可微lflfegrad 梯度在方向 l 上的投影.第48页/共58页设函数zyxzyxf 2),(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 12 32tztytx在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 .第49页/共58页,2xfx 曲线 12 32tztyt

25、x在点1dd,dd,dd ttztytx )1 , 1 , 1(coscoscosffflfzyxM 266 函数沿 l 的方向导数lM (1,1,1) 处切向量为12)3,4,1( ttt. )3,4,1( ,1 zyzyf,ln yyfzz 第50页/共58页Mfgrad)2(MMflfgrad 1306 1306arccos Mfgradl cos Mfgradl)0,1,2( Mzzyyzyx)ln,2(1 第51页/共58页在点P(2, 3)沿曲线223yyxz 12 xy在该点的切线，朝 x 增大方向的方向导数.解 将已知曲线用参数方程表示为2)2,1( xx Plz它在点 P 的切向量为,171cos 1760 xoy2P 1 2xyxx1716 xy174)23(2 yx)3,2( )4,1( 174cos 1例2-1 求函数第52页/共58页沿点A指向 点B( 3, 2 , 2) 方向的方向导