(word完整版)抽象函数-题型大全(例题-含答案),推荐文档

1、重庆书之香教育严hCHONG QING EDUCATION1高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f(X)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现 将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.1.换元法：即用中间变量 表示原自变量X的代数式，从而求出f (x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例 1 1:已知f(亠X 12x 1,求f(x).xuu2 u2 x解：设-u,则X- f(u) 21f(x)X 11 u1u1 u1 X2.2.凑合法：

2、在已知f(g(x)h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f (x). .此解法简洁，还能进一步复习代换法。131例 2 2 :已知f (x ) x3,求f (x)Xx11 1 11 11解： f(x -) (x -)(x21 ) (x -)(x -)23)又Tlx -| |x|1xxxx xxl x|23二f (x) x(x 3) x 3x, (|(|x| | 1)1)3.3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例 3 3.已知f (x)二次实函数，且f (x 1) f(x 1) X+2+2X+4,+4,求f(x

3、). .重庆书之香教育严hCHONG QING EDUCATION2222解：设f (x)= =ax bx c，则f(x 1) f (x 1) a(x 1) b(x 1) c a(x 1) b(x 1) c重庆书之香教育严hCHONG QING EDUCATION32(a c) 4= =2ax22bx 2(a c) x22x 4比较系数得2a 12b 2a 1,b1,c 22 2、123f (x)x2x224.4.利用函数性质法: :主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式. .例 4.4.已知y= =f (x)为奇函数，当x00 时，f(x) lg(x 1), ,求f (x)解： f (x)

4、为奇函数，f (x)的定义域关于原点对称，故先求x00, f( x) lg( x 1) lg(1 x), ,f(x)为奇函数，lg(1 x) f( x) f (x)当x00 时f(x) lg(1 x)1例 5 5.已知f (x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+ +g(x) ,求f(x), ,g(x). .x 1解：f (x)的定义域为 N,N,取y=1,=1,则有f(x 1) f (x) x 1/f(1)=1,=1, f (2)= =f(1)+2,+2,f (3) f (2) 3f(n) f (n 1) n以上各式相加，有f(n)=1+2+3+=1+2+3+ +n=乜 卫f (x)丄

5、x(x 1),x N2 2、利用函数性质，解f(x)的有关问题1.1.判断函数的奇偶性：例 7 7 已知f (x y) f (x y) 2f (x) f (y), ,对一切实数x、y都成立，且f (0) 0, ,求证f(x)为偶函数。f(x)lg(1 x),x 0lg(1 x),x 0解：f (x)为偶函数，g(x)为奇函数，f ( x) f (x),g(x)g(x), ,1不妨用- -x代换f (x)+ +g(x)= =x 11f ( x) g( x)即f (x)-g(x)x 1中的x, ,显见+ +即可消去g(x), ,求出函数f (x)1x 11再代入求出1g(x)5.5.赋值法：给自变

6、量取特殊值，从而发现规律，求出f (x)的表达式例 6 6:设f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x 1) f(x)f (y) xy, ,及f (1)=1,=1,求f (x)重庆书之香教育严hCHONG QING EDUCATION4证明：令x=0,=0,则已知等式变为f(y) f( y) 2f (0) f (y)重庆书之香教育严hCHONG QING EDUCATION5在中令y=0=0 则 2 2f(0)=2=2f(0) / f (0)工 0 0A f (0)=1=1A f (y) f( y) 2f (y) /. f ( y) f (y) f (x)为偶函数。2.2.确定参数的取值范

7、围f(3)(3)f(4),(4), f(2)(2)f(1)(1)0 0 时，f(x) 0 0,f(- 1 1)=- 2 2,求f(x)在区间2 2, 1 1上的值域。例&奇函数f (x)在定义域(-1-1，1 1)内递减，求满足f(1 m)f (1m2)0的实数m的取值范围。解：由f(1 m) f (1m2)0得f (1m) f (12、m )，:f (x)为函数,f(1 m) f (m21)又f(x)在(-1-1 , 1 1)1 m2 .m 12m m3.3.解不定式的有关例 9 9:如果f (x)= =ax2bx c对任意的t有f(2t)f2t), ,比较f(1、f (2)、f (

8、4)的大小解：对任意t有f(2 t) f 2 t)x=2=2 为抛物线y2= =axbx c的对称轴又其开口向上f(2)(2)最小,f(1)=(1)=f(3)(3)T在: 2 2,+OO) )上，f (x)为增函数重庆书之香教育严hCHONG QING EDUCATION6分析：由题设可知，函数f(x)是数f(X)的值域，关键在于研究它的单调性。的抽象函数，因此求函重庆CHONG书之香教育QING EDUCATION7解：设.当重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING8，即 f(X)为增函数。，再令x=y= 0 0，贝U f( 0 0) = 2 2f(0),.f(0 0) = 0 0

9、，故f(x) =f(x),f(x)为奇函数, - -f f (1 1)=f( 1 1)= 2 2,又f( 2 2)= 2 2f( 1 1 )= 4 4,- -f f (x)的值域为4 4, 2 2o在条件中，令y=x,则重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING9例 2 2、已知函数f(x)对任意=2 2 + + f f ( (x+y),且当x 0 0 时，f( x) 2,f(2,f( 3 3) = 5 5,求不等式的解。分析：由题设条件可猜测：f(x)是y=x+ 2 2 的抽象函数，且f(x)为单调增函数，如果这一猜想正确, 也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：

10、设，满足条件f(x) +f(y)书之QING香教育EDUCATIONCHONG10.当，则重庆CHONG书之香教育QING EDUCATION11，二f(X)为单调增函数。重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING12又Tf(3 3)= 5 5,.f(1 1) = 3 3。，解得不等式的解为一 11a3 0 0。解：(1 1 )令y= 0 0 代入的抽象函数，从而，则重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING15。若f(x)= 0 0，则对任意，有与题设矛盾，f(X)M0 0，二f(0 0)= 1 1。(2 2)令y=xz z 0 0,贝 U U，又由(1 1 )知f(X)M0

11、 0,.f(2 2x)，这重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING16 0 0, 即卩f(x) 0 0,故对任意x,f(x) 0 0 恒成立。例 4 4、是否存在函数f(x),使下列三个条件：f(x) 0 0,xN;:f(2 2)= 4 4。同时成立？若存在，求出f(x)的解析式，如不存在，说明理由。重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING17分析：由题设可猜想存在，又由f(2 2)=4 4 可得a= 2 2 .故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下:重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING18，又xN时，f(x) 0 0,，结论正确。(1(1)X= 1 1 时,重

12、庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING19(2(2)假设时有，贝U x=k+1 1 时，二x=k+1 1 时，结论正确。重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING20综上所述，X为一切自然数时3 3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。例 5 5、设f(X)是定义在(0 0,+R)上的单调增函数，满足求：(1)(1)f(1 1)；(2)(2) 若f(x) +f(x 8 8) 2 2,求x的取值范围。重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING21分析：由题设可猜测f(X)是对数函数=0 0，f( 9 9)= 2 2。解：(1 1)，从而有

13、f(x)+f(x-8 8) f( 9 9),的抽象函数，f( 1 1)(2)重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING22, f(x)是(0,+)上的增函数，故，解之得：8 8vx0 0,a是定义域中的一个数)；3当 0 0vxv2 2a时，f(x)v0 0。试问：(1 1)f(x)的奇偶性如何？说明理由。(2 2)在(0 0, 4 4a)上, ,f(x)的单调性如何？说明理由。当重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING25分析：由题设知f（X）是的抽象函数，从而由及题设条件猜想：f（X）是奇函数且在（0 0，上是增函数（这里把a看成进行猜想）。重庆书之香教育EDUCATIO

14、NCHONGQING26解：(1 1 )f(X)的定义域关于原点对称，且中的数时有在定义域中。是定乂域重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING27 f f ( X X)是奇函数。(2 2)设 O OvxivX2 2 2a,贝UO OvX2-xiv2 2a,v在(o o,f(X1),f(X2),f(X2X1)均小于零，进而知中的2 2a)上f(x) 0 0,重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING28，于是f(Xi)vf(X2),.在(0 0, 2 2a) 上f(x)是增函数。重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING29,-f(a)=1,，二f(2 2a)= 0 0

15、,设 2 2avxv4 4a,贝 U U 0 0 x 2 2a 0 0,即在(2 2a, 4 4a)上f(x) 0 0。设 2 2a(xi),f(X2)均大于零。f(X2xi)v0 0,vf(xi)vf(X2),即卩f(乂)在(2 2a, 4 4a) 上也是增函数。综上所述,5 5、幕函数型抽象函数幕函数型抽象函数，即由幕函数抽象而得到的函数。vxiVX2V4 4a,贝UO OvX2xi 2 2a,从而知，即f(x)在(0 0, 4 4a) 上是增函数。香教育EDUCATION31时，的奇偶性；在0 0,+）上的单调性，并给出证明;重庆书之 CHONGQING例 8 8、已知函数(x)对任意实

16、数x、y都有f(xy)=f(x)f(y),且f( 1 1)= 1 1,f(2727)= 9 9,(3(3)若，求a的取值范围。当(1) 判断f(x)(2) 判断f(x)书之QING香教育EDUCATION32分析：由题设可知f(X)是幕函数想f(x)是偶函数，且在0 0,+)上是增函数。解：(1 1 )令y= - 1 1,则f( x)=f(x)f(- 1 1 ),f(- 1 1 )= 1 1,f(X)=f(X) ,f(X)为偶函数。的抽象函数，从而可猜重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING33CHONG(2(2)设书之QING香教育EDUCATION34时,，二f(xjvf(X2)

17、，故f(x)在 0 0,+m m)上是增函数。重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING35(3(3)Tf(2727)=9 9,又书之QING香教育EDUCATION36CHONG重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING37，故抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：、定义域问题重庆书之CHONG QING香教育EDUCATION38的定义域是1 1, 2 2,求 f(x)f(x)的定义域。例 1.1.已知函数

18、重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING39解:的定义域是1 1, 2 2 ,是指,所以中的满足从而函数 f(x)f(x)的定义域是1 1, 4 4:重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING40的定义域是 A,A,求 f(x)f(x)的定义域中 x x 的取值范围为 A,A,据此求的值域问题。评析：一般地，已知函数问题，相当于已知重庆书之香教育EDUCATIONCHONGQING41例 2.2.已知函数,求函数定义域。的定义域是重庆书之香教育CHONG QING EDUCATION42的定义域是,意思是凡被 f f作用的对象都在解:书之QING香教育EDUCATIONCHONG43中，由此可得重庆书之CHONG QING香教育EDUCATION44的定义域是的定义域。正确理解函数符及其定义域的含义是求解此评析：这类问题的般形式是：已知函数f(x)f(x