正态总体下的抽样分布

1、统计量/（X，x）,x）是样本x，X2,x的 不含任何未知数的函数，它是一个随机变量统计量的分布称为抽样分布。由于正态总体是最常见的总体，因此这里主要讨论 正态总体下的抽样分布.由于这些抽样分布的论证要用到较多的数学知识,故在本节中，我们主要给出有关结论，以供应用.U分布正态总体样本均值的分布设总体XN（"q2）.,X,J是X的一个样本，则样本均值服从正态分布1- -支 X. 一uTV (0,1)b/ yjn d 7n概率分布的分位数（分位点）定义 对总体X和给定的a （Ovavl）,若存在Ka，使尸X>a =a，则称为X分布的上侧a分位数或上侧临界值.如图.y若存在数4、冬，

2、使P玲儿=?XW4=气 则称丸1、4为X分布的双Px>xa =a侧a分位数或双侧临界值.双侧a分位数或双侧临界值的特例当X的分布关于y轴对称时，若存在Xa/2 ,使P|X|N%/2 = a，则称Xa/2为*分布的双侧a分位数或双侧临界值如图.U分布的上侧分位数对标准正态分布变量UN(O,1)和给定a的，上侧a分位数是由：pU>u =+0°J "a 九即尸UV% =1一。("J =1一。确定的点a例如，00.05,而 尸UN1.645 =0.05所以，0.05 =1.645.U一分布的双侧分位数对标准正态分布变量UN(0,1)和给定府, 称满足条件=a的

3、点 o/2为标准正态分布的双侧。分位数或双侧临界值如图.“a/2 ° a/2 XW2 可由 F8"o/2=a/2 即(a/2)=1-。/2 反查标准正态分布表得到, 例如，求“0.05/2， Pt/>1.96=0.05/2 得“0.05/2=L96标准正态分布的分位数在实际问题中，a常取0.1、0.05. 0.01.常用到下面几个临界值:“0.05 =L645，0.0i =2.326u 0.05/2=1 96， go 1/2=2 575数理统计中所用的分布除正态分布外，还有 三个非常有用的连续型分布，即力2分布t分布 > 数理跳计的三大分布（都先连续型）.F分布

4、J etn都与正志分布有锣切的赊系. 在本章中待别要求掌握对正态分布、力?分布、, 6布、方分布的一些结论的熟练运用. etn是后面*节的基础.7分布定义 设总体XN（O,1），（七,丫2，丫）是X 的一个样本，则称统计量/2 = X；+X； +X；服从自 由度为n的/分布，记作彳2彳2（九）自由度是指独立随机变量的个数，df=n/（）分布的密度函数为;! n/2-le-y/2 >qy<0/（y）= < 2"丁（/2）r（rz + l） - n0,9%/()分布密度函数的图形由度的不同而有所改支.Pz2W>(n) = a/分布茨(附表5(尸175)X 2分布的

5、上a分位数上a分位数或上侧临界值,满足 P /()> 短) = J；/G)dy = a 的数兄(氏72分布的 用)；其几何意义见图55所示._其中/G)是42分布的概率密度.O 显然，在自由度取定以后，刀()的值只与a有关.例如，当=21, g0.05时，由附表5(Pi75)可查得，%;05(21) =32.67 即 P 72(21) > 32.67) = 0.05.x 2分布的双侧a分位数力2之£(“=食分布的双侧a 分位数把满足尸/ 亚/)=尸 的数力：2()，北(嬴为"八*2N/(X)八或双侧临界值.见图.显然，a比()为力2分布的上登分位数.年)琮/)为

6、"分布的上1 -受分位数"1-产2乙如当=8, 30.05 时，2；_/"）=点975（8） =2.18 4（"）=Zo.O25（8）=17.54% 2分布的数学期望与方差设2(“)，则后(/)=，D(2)=2n.% 2分布的可加性设片/(%)，公72(%),且/：, 必相互独立, 则 4； + / / I" + %)性质 设(占，2,，招)为取自正态总体XN(，a2)的样本，则豆区-4)2a2 /()证明由已知，有XiN(n，。2)且X, X2,，X相互独立, 则 王二幺N(OJ)且各乙二幺相互独立， 由定义5.3得，z22 Z(Xl)2 x

7、n).定理 设(占，X29，X)为来自正态总体 XN/。2)的样本，贝ij(1)样本均值又与带本方差名相互独立；(2)(DS =山,(2)式的 自 护度为工么Jtn-1 ?从表面上看，X (Xj - X了是n个正态随机变量Xr X的平方和, 但实际上它们奉独立的，它们之间有一种线性约束关系：X(x,K = Xx,iV=o这表明，当齿斗个正态随犹羞量中有M-1个取值给定时，剩下 的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这项平方和中只有M-1 项是独立的.所以(2)式的自由度是-1定理 设(X,玛，鼠)为来自正态总体X8/，。2)的样本，贝IJZ(X.-x)22Z2(«-l)(1)样本均值又与

8、样本方差g2相互独立；M二CT与以下补充性质的结论比较：性质设(X1，X2,，X”)为取自正态总体XN(，b2)的样本，则a2 z2(«)三、t分布设随机变量XN(0, 1), y42()，且X与y相互 独立，则称统计量7V n服从自由度为的1分布(Student)分布，记作T£().£分布的概率密度图数为.) f2_n±lf(t) = (1 + M 2，(一8 < t < +oo) 迎万(勺)n其图形如图54所示(尸123)，其形状类似标准正态分布的概率密度的图形.当较大时，t分布近似于标准正态分布.当较大时，分布近似于标准正态分布.一般说

9、来，当>30时，分布与标准正态分布N（0, 1）就非常接近.但对较小的值，分布与标准正态分布之间有较大差异.且口171/“因当,其中XM0，1），即在1分 布的尾部比在标准正态分布的尾部有着更大的概率.1分布的数学期望与方差（补充）设T，()，则E(T)=0, Z>(T)= n . (n > 2) II 一乙定理 设（X，太2,，X）为来自正态总体XN亚 b2）的样本，则统计量T =第 -1）（5.9）证由于XkS2相互独立，且u=与我N（0,D,（*?S 22d）a/y/na由定义得定理设("品，xp和(匕，丫2,，42)分 别是来自正态总体M1，O2)和M2,/

10、)的样本，且 它们相互独立，则统计量T = X-F二四二 £(% + %-2)(5.10)S /I“V % «2M + 2's；、s；分别为两总体的样本方差.t分布的上a分位数对于给定的a(Ovavl),称满足条件PT>ta(n) = QfW = a的数S( )为分布的上a分位数或上侧临界值,其几何意义见图.t分布的双侧a分位数由于£分布的对称性，称满足条件p|r|>ra/2（n） = a （5.12）的数2（ ）为t分布的双侧a分位数或双侧临界值，其几何意义如图所示.一%2（）° %2（）在附表4 （尸174）中给出了1分布的临界值

11、表.例如，当=15,。=0.05时，查£分布表得，"o.O5（15）=L753"o.o5/2（15）= 2.131其中%,05/2（15）由尸，（15）30.025（15）=0.025查得但当>45时，如无详细表格可查，可以用标准正态分布代替£分布查匕（H）的值.即 Za（w）-wa, n>45.一般的1分布临界值表中，详列至二30,当 >30就用标准正态分布N（0,1）来近似.八F分布定义 设随机变量x2（1）、yz2（H2）,且 与相互独立，则称随机变量FY/n2服从第一自由度为 1，第二自由度为2的尸分布，概率密度函数"

12、22 , yNO j <0记作F-F(nv %)(A?-明 n.、 f(y) = Ay (1 + 7Ty) o, 2其小不限其图形见图5-性质：若X/（1，n2）,则土b（2，%1）.产分布的上a分位数对于给定的a（Ovavl）,称满足条件P b（/,2）之户a（l，2） = J'： ）fWy = OC的数方a（"l，2）为方分布的上。分位数或上侧临界值，几（1，2）工其几何意义如图57所示. 心）八 其电母）是歹分布的概率密度.OF分布的上a分位数Fa（n 2）的值可由方分布表查得.附表6（尸 177尸 182）分 a=0l、a=005、a=0.01 a=0.025、a=0.005、a=0.001、给出 了方分布的上 a分位数.杳表时应先找到相应的a值的表.当时尸2, “2=18时，有歹0.01（2,18）= 6.01在附表6中所列的a值都比较小，当a较大时，可用下面公式 丹_/%,2）=例如，尸0.99（18,2）=五0。（2,18） = O1F分布的双侧a分位数邺满足条件P 尸 V 尸 1_号（1，2）尸之喔（1，2）=食或双侧临界值.见图. 显然，/(y)t a/2的a（%，乙），户0（1