复变函数区域和边界教学内容

1、复变函数 区域和边界21、区域的概念、区域的概念(1) 邻域邻域:说明说明. , 0 , 点的邻域点的邻域称为无穷远称为无穷远其中实数其中实数所有点的集合所有点的集合的的且满足且满足包括无穷远点自身在内包括无穷远点自身在内 MMz000 , () : .zrzzrzr 平平面面上上以以为为中中心心任任意意的的正正数数 为为半半径径的的圆圆内内部部的的点点的的集集合合称称为为的的 邻邻域域6D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界. .说明说明 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的的点所组成的. 区域区域D与它的边界一起构成与它的边界一起构

2、成闭区域闭区域 .Dz 1C2C3Cz 1C2C3C7以上基以上基本概念本概念的图示的图示1z 2z 区域区域 0z 邻域邻域P 边界点边界点边界边界(7)有界区域和无界区域有界区域和无界区域:. , , 0, , 界界的的否否则则称称为为无无称称为为有有界界的的那那末末点点都都满满足足使使区区域域的的每每一一个个即即存存在在为为中中心心的的圆圆里里面面点点可可以以被被包包含含在在一一个个以以原原如如果果一一个个区区域域DMzMD 8(1) 圆环域圆环域:;201rzzr 0z 2r1r课堂练习课堂练习判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2) 上半平面上半平面:; 0Im z(3) 角

3、形域角形域:;arg21z(4) 带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界.xyo92、单连通域与多连通域、单连通域与多连通域(1)连续曲线连续曲线:. , )( ),( , )( , )( )( 称称为为连连续续曲曲线线表表一一条条平平面面曲曲线线代代那那末末方方程程组组是是两两个个连连续续的的实实变变函函数数和和如如果果btatyytxxtytx 平面曲线的复数表示平面曲线的复数表示:)().()()(btatiytxtzz 10(2)光滑曲线光滑曲线: 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线称为

4、按段光滑曲线. .xyoxyo , ( ) ( ) 0,atbx ty t 如如果果在在上上和和都都是是连连续续的的且且不不全全为为 那那么么称称这这曲曲线线为为光光滑滑的的. .11(3) 简单曲线简单曲线:. )( )( , )()( :的的起起点点和和终终点点分分别别称称为为与与为为一一条条连连续续曲曲线线设设CbzazbtatzzC . )( , )()( , , 121212121的的重重点点称称为为曲曲线线点点时时而而有有当当与与的的对对于于满满足足Ctztztzttttbtabta 没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为简单曲线称为简单曲线( (或若尔或若尔当曲线当曲线).).1

5、2. , )( )( , 为简单闭曲线为简单闭曲线那末称那末称即即的起点和终点重合的起点和终点重合如果简单曲线如果简单曲线CbzazC 换句话说换句话说, 简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质: 任意一条简单任意一条简单闭曲线闭曲线 C 将复平面将复平面唯一地分成三个互唯一地分成三个互不相交的点集不相交的点集.xyo内部内部外部外部边界边界13课堂练习课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线?是是否是闭曲线否是闭曲线答答案案简简单单闭闭简简单单不不闭闭不不简简单单闭闭不不简简单单不不闭闭 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(b

6、z )(az)(bz 14(4) 单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域复平面上的一个区域D, 如果在其中任作如果在其中任作一条简单闭曲线一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于D, 就称就称为单连通域为单连通域. 一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域, 就称就称为多连通域为多连通域.单连通域单连通域多连通域多连通域153、典型例题、典型例题例例1 1 指明下列不等式所确定的区域指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是有界的还是无界的是无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的. 2 1) 5 (; 4 1 1-) 4(; 31

7、) 3 (; 3 arg) 2(; 1 ) Re() 1 (2zzzzzz解解 , )1(时时当当iyxz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).163arg)2( z,3arg33arg zz是角形域是角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).31)3( z,3131 zz, 31 ,的的圆圆的的外外部部半半径径为为是是以以原原点点为为中中心心无界的多连通域无界的多连通域. 17411)4( zz表示到表示到1, 1的距离之的距离之和为定值和为定值4的点的轨迹的点的轨迹, 是椭圆是椭圆,411 zz ,411表示该椭圆内部表示该椭圆内部 zz有界的单连通域有界的单连通域.21 )5(z圆环形区域，有界，多连通184、小结与思考、小结与思考应理解区域的有关概念应理解区域的有关概念: