必修五正弦定理一实用教案

1、 学习目标1通过对任意三角形边长和角度关系的探索(tn su)，掌握正弦定理的内容及其证明方法2能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题第1页/共24页第一页，共25页。第2页/共24页第二页，共25页。一、新课引入一、新课引入ABCbc三角形中的边角三角形中的边角(bin jio)关系关系1.角的关系角的关系(gun x):2.边的关系边的关系(gun x):3.边角关系边角关系(gun x):180ABC , abcabc大边对大角大边对大角(d jio)，小边对小角，小边对小角a一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边和它们的对边a,b,c叫做

2、叫做三角形的三角形的元素元素第3页/共24页第三页，共25页。 小强师傅的一个三角形的模型(mxng)坏了，只剩下如下图所示的部分，测量出A=47, C=80, AC长为1m,想修好这个模型(mxng)，但他不知道AB和BC的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗？47 ABDabcC53 80 一、新课引入一、新课引入E第4页/共24页第四页，共25页。创设创设(chungsh)情境情境ABCABC如图，现要在河岸两侧如图，现要在河岸两侧A，B两点间建一座两点间建一座桥，需要桥，需要(xyo)知道知道A，B间的距离由于环境因素间的距离由于环境因素不不能直接测量能直接测量A，B间的距离你有办法

3、间接测量间的距离你有办法间接测量A，B两点间的距离吗？两点间的距离吗？若已知桥与一侧河岸成若已知桥与一侧河岸成75角，在这侧河岸上角，在这侧河岸上取一点取一点(y din)C，测得，测得C60，AC100m如何求如何求出出A，B两点间的距离？两点间的距离？ABC7560100ABC中，已知中，已知A75，C60，AC100，求，求ABabc第5页/共24页第五页，共25页。试借助试借助(jizh)三角形的高来寻找三角形的边与角之间的关三角形的高来寻找三角形的边与角之间的关系？系？（1）锐角三角形：）锐角三角形：BCAabcDE（2）直角三角形：）直角三角形：CABabc二、新课讲解二、新课讲解

4、(jingji)abcsinAsinBsinCabcsinAsinBsinC作作CD垂直于垂直于AB于于D，则可得，则可得sinsinCDaBbAsinsinabAB作作AE垂直于垂直于BC于于E，则则sinsinAEcBbCsinsinacAC第6页/共24页第六页，共25页。试借助试借助(jizh)三角形的高来寻找三角形的边与角之间的关三角形的高来寻找三角形的边与角之间的关系？系？二、新课讲解二、新课讲解(jingji)（3）钝角）钝角(dnjio)三角形：（三角形：（C为钝角为钝角(dnjio)）CABabcDE作作CD垂直于垂直于AB于于D，则可得，则可得sinsinCDaBbAsin

5、sinabAB作作BE垂直于垂直于AC的延长线于的延长线于E，则，则sinsinBEcAaBCEBCECsinsin()sincAaCaCsinsinacACabcsinAsinBsinC第7页/共24页第七页，共25页。abcsin AsinBsinC正弦正弦(zhngxin)定定理理:在一个在一个(y )三角形中，各边和它所对角的正弦的比三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。相等。（1）从结构）从结构(jigu)看：看：（2）从方程的观点看：）从方程的观点看：三个方程，每个含有四个量，知其三求其一。三个方程，每个含有四个量，知其三求其一。各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学的和谐美。各

6、边与其对角的正弦严格对应，体现了数学的和谐美。 即即:二、新课讲解二、新课讲解BCAabc应用正弦定理解三角形题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角题型二:已知两边及其中一边对角，求出其他一边和两角第8页/共24页第八页，共25页。剖析定理、加深(jishn)理解sinsinsinsinsinsinbcbcABCABC 正正弦弦定定理理：1 1、一般地，把三角形的三个角、一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C和和它们的对边它们的对边a a，b b，c c叫做三角形的元素叫做三角形的元素(yun s)(yun s)。已知三角形的几个元素。已知三角形的几个元素(yun (yun s

7、)s)求其他元素求其他元素(yun s)(yun s)的过程叫解三角的过程叫解三角形形2 2、正弦、正弦(zhngxin)(zhngxin)定理，可以用来判定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化角形边角关系的转化第9页/共24页第九页，共25页。三、例题三、例题(lt)讲解讲解例1 在ABC中，已知b20cm，A45，B30，解此三角形.解解: :根据三角形的内角根据三角形的内角(ni jio)(ni jio)和定理：和定理：C=180-(A+B)=105由正弦(zhngxin)定理可得204520 230oobsinAsina(

8、cm )sinBsin由正弦定理可得2010510( 62)()30oobsinCsinccmsinBsin应用正弦定理解三角形题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角第10页/共24页第十页，共25页。1.在在ABC中，已知中，已知c=10，A=45o，C=30o，则，则a=_；2.在在ABC中，已知中，已知a=8，B=60o，C=75o，则，则b=_；3.在在ABC中，中，C=2B，则，则 （ ）A. B. C. D.sin3sinBBbaabcaac4 6B10 2四、练习四、练习(linx)4.已知已知ABC，AD为角为角A的平分线，求证：的平分线，求证：BDABDCAC第11页

9、/共24页第十一页，共25页。180obbDAB4.已知已知ABC，AD为角为角A的平分线，求证：的平分线，求证：BDABDCAC证明证明(zhngmng)：在：在ABD和和CAD中，中，由正弦定理，得由正弦定理，得sinsinbBDABsinsin(180)sinbDCACAC两式相除得两式相除得BDABDCAC四、练习四、练习(linx)C角平分线定理(dngl)第12页/共24页第十二页，共25页。例 2、解：由正弦(zhngxin)定理b bsin Asin Bsin Asin B 得b sin A16 3 sin 303b sin A16 3 sin 303sin Bsin B162

10、162 所以(suy)60,或120当 时,60C=90,c32.c32. C=30,sin Csin Cc16 .c16 .sin Asin A 已知a=16， b= ， A=30,解三角形.16 316 3当120时B16300ABC16316三、例题三、例题(lt)讲解讲解题型二:已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角.0 0B B1 18 80 0 第13页/共24页第十三页，共25页。例3.在ABC中，A=60， ，解此三角形31a,b三、例题三、例题(lt)讲解讲解解:由正弦(zhngxin)定理可得0180 30150ooooBB,B或160123obsinAs

11、insinBa30oB由由ba，A=60o,可知可知(k zh)BAC=180-(A+B)=90390260ooasinCsincsinAsin题型二:已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角.第14页/共24页第十四页，共25页。若已知a、b、A的值，则解该三角形的步骤(bzhu)如下：（1）先利用 求出sinB，从而求出角B；（2）利用A、B求出角C=180o-(A+B)；（3）再利用 求出边c.sinsinabABsinsinacAC三、例题三、例题(lt)讲解讲解题型二:已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外(ln wi)两个角.注意：求角注意：求角B时应注

12、意时应注意检验！检验！第15页/共24页第十五页，共25页。总结：从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边对角”时三角形解的情况(qngkung)，下面以已知a、b、A，解三角形为例加以说明.（1）若 则满足条件的三角形的个数为0，即无解；sinsin1,bABa（2）若 则满足条件的三角形的个数为1；sinsin1,bABa（3）若 则满足条件的三角形的个数为1或2.显然由 可得B有两个值，一个为钝角，一个为锐角，考虑到“大角对大边”“三角形内角和为1800”等，此时需要进行讨论.sinsin1,bABasin0sin1bABa第16页/共24页第十六页，共25页。例4 在ABC

13、中,A=45， ,这样(zhyng)的三角形有_个64a,b三、例题三、例题(lt)讲解讲解1.画画PAQ=452. 在AP上取AC=b=43.3.以以C C为圆心为圆心(yunxn),a=6(yunxn),a=6为半为半径画弧径画弧, ,弧与弧与AQAQ的交点为的交点为B B45APQ C bBa变式:(1)在ABC中,A=45， ,这样的三角形有_34a,b(2)在ABC中,A=45， ,这样的三角形有_2 24a,b(3)在ABC中,A=45， ,这样的三角形有_24a,b(4)在ABC中,A=135， , 这样的三角形有_64a,b(5)在ABC中,A=135， ,这样的三角形有_34

14、a,b2个个1个个0个个1个个0个个1第17页/共24页第十七页，共25页。已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角(du jio)(du jio)时，解斜三角形的时，解斜三角形的各种情况各种情况ab一解bsinAaa无解( (一一) )当当A A为锐角为锐角(rujio)(rujio)( (二二) )当当A A为钝角为钝角(dnjio)(dnjio)ab一解ab无解三、例题讲解三、例题讲解( (三三) )当当A A为直角为直角ACbaab一解ACbaab无解第18页/共24页第十八页，共25页。若已知三角形的两条边及其中一边的对角若已知三角形的两条边及其中一边的对角(du jio)（

15、若已知（若已知a、b、A的值），则可用正弦定理求解，的值），则可用正弦定理求解，且解的情况如下且解的情况如下第19页/共24页第十九页，共25页。2.在ABC中,由已知条件(tiojin)解三角形,下列有两解的是( ) Ab=20, A=45, C=80 Ba=30, c=28, B=60 Ca=14, b=16, A=45 Da=12, c=15, A=120四、练习四、练习(linx)判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数的基本步骤的基本步骤(适合填空或选择题适合填空或选择题)：（1）判断已知角）判断已知角A的类型；（钝、直、锐）的类型；（钝、

16、直、锐）（2）判断已知两边）判断已知两边a、b的大小的大小(dxio)关系；关系；（3）判断）判断a与与bsinA的大小的大小(dxio)关系关系.C1.在在ABC中，中，A,B,C所对的边分别是所对的边分别是a,b,c，则下列关系一定成立的是则下列关系一定成立的是 ( )AabsinA B.a=bsinA C.absinA DabsinAD第20页/共24页第二十页，共25页。五、小结五、小结(xioji)1.正弦正弦(zhngxin)定理定理:2.应用正弦定理解三角形题型一:已知两角和任意一边，求出其他(qt)两边和一角注：若已知边不是对边，先用三角形内角和定理求第三角，再用正弦定理求另两

17、边题型二: 已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角.注意有两解、一解、无解三种情况（注意有两解、一解、无解三种情况（求角求角B时应时应检验！检验！）2sinsinsinabcRABC其中，其中，R是是ABC的外接圆的半径的外接圆的半径3.利用图形判断：已知两边和其中一边的对角时解斜三角形的利用图形判断：已知两边和其中一边的对角时解斜三角形的各种情况各种情况（注意已知角的分类）（注意已知角的分类）第21页/共24页第二十一页，共25页。六、作业六、作业(zuy)书面书面(shmin)作业：作业：1.课本课本P10 A组组 1在ABC中，A=45， ，解此三角形64a,b变式:(

18、1)在ABC中，A=45， ，解此三角形34a,b(2)在ABC中，A=45， ，解此三角形2 24a,b(3)在ABC中，A=45， ，解此三角形24a,b预习预习(yx)(yx)并思考：（阅读并思考：（阅读P8P8探究与发现）探究与发现）2.在在ABC中中,若若b=2a,=+60+60，求角求角A A的大小。的大小。第22页/共24页第二十二页，共25页。六、作业六、作业(zuy)1.在在ABC中，已知中，已知b=2a,B=A+60+60，求角求角A的大小。的大小。2.(1)在在ABC中，已知中，已知b= ,c=1，B=45,解此三角形解此三角形.(2)在在ABC中，已知中，已知a= ,b= , B=45,解此三角形解此三角形.2323.在ABC中，已知 ,求此三角形的面积333315,acC第23页/共24