2019年山西高考文科数学真题及答案

1、2019 年山西高考文科数学真题及答案注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1设z =3 -i1 +2i，则 z =A2B 3C 2D12已知集合U =1,2,3,4,5,6,7 ，A=2,3,4,5 ，B=2,3,6,7

2、 ，则A1,6B1,7C6,7D1,6,7 3已知a =log 0.2, b =2 0.2 , c =0.2 0.3 2，则A a <b <cB a <c <bC c <a <bD b <c <a4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5 -12（5 -120.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽5 -1喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，2头顶至脖子下端的长度为 26cm，则其身高可能是A165 cm5函数 f(x)

3、=Asin x +x cos x +x 2B175 cm C185 cm D190cm 在-，的图像大致为BC D6某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，1 000，从这些新生中用系统抽 样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是A8 号学生7tan255°=B200 号学生 C616 号学生 D815 号学生A-2- 3B-2+ 3C2- 3D2+ 38已知非零向量 a，b 满足a=2b，且（a-b） b，则 a 与 b 的夹角为A6B3C2 3D5 69如图是求2 +111 +12的程序框图，

4、图中空白框中应填入AA=11 +ABA=2 +1ACA=11 +2 ADA=1 +11 A10双曲线 C：x 2 y 2- =1(a >0, b >0) a 2 b 2的一条渐近线的倾斜角为 130°，则 C 的离心率为11A2sin40° B2cos40° CDsin50 °cos50°11ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA-bsinB=4csinC，cosA=-14，则bc=A6 B5 C4 D312 已知椭圆 C 的焦点为F ( -1,0), F (1,0) 1 2，过 F 的直线与 C 交

5、于 A ，B 两点 . 若 2| AF |=2 | F B | 2 2，| AB |=|BF |1，则 C 的方程为x 2A +y22=1x2 y 2 B + =13 2x2 y 2 C + =14 3x 2 y 2 D + =15 4二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线y =3( x2 +x )e x在点 (0,0) 处的切线方程为_14记 S 为等比数列a 的前 n 项和.若n na =1，S = 1 334，则 S =_ 415函数f ( x) =sin(2 x +3) -3cos x2的最小值为_16已知ACB=90°，P 为平面 ABC 外一

6、点，PC=2，点 P 到ACB 两边 AC，BC 的距离均为 3 ，那么 P 到平 面 ABC 的距离为_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17（12 分）某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意 或不满意的评价，得到下面列联表：男顾客女顾客满意4030不满意1020（1） 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2） 能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附

7、：K 2 =n ( ad -bc ) 2( a +b )(c +d )( a +c )(b +d )P（K2k）k0.0503.8410.0106.6350.00110.82818（12 分）记 S 为等差数列a 的前 n 项和，已知 S =-a n n 9 5（1）若 a =4，求a 的通项公式；3 n（2）若 a >0，求使得 S a 的 n 的取值范围1 n n19（12 分）如图，直四棱柱 ABCDA B C D 的底面是菱形，AA =4，AB=2，BAD=60°，E，M，N 分别是 BC，BB ，1 1 1 1 1 1A D 的中点.1（1）证明：MN平面 C DE；

8、1（2）求点 C 到平面 C DE 的距离120（12 分）已知函数 f（x）=2sinx-xcosx-x，f（x）为 f（x）的导数（1） 证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点；（2） 若 x0，时，f（x）ax，求 a 的取值范围21.（12 分）已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，AB=4，M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相切 （1）若 A 在直线 x+y=0 上，求M 的半径；ïï（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，MA-MP为定值？并说明理由（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分

9、。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）ì 1 -t 2x = ，ï 1 +t 2在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 í （t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正4ty =ïî 1 +t 2半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 rcos q+ 3rsin q+11 =0 （1） 求 C 和 l 的直角坐标方程；（2） 求 C 上的点到 l 距离的最小值23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：（1）1 1 1+ + £aa b c2+b2+c2

10、；（2）( a +b )3+(b +c )3+( c +a )3³2432019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学·参考答案一、选择题1C2C3B4B 5D 6C7D8B9A10D 11A12B二、填空题13y=3x145815 4 162三、解答题17解：40（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为50率的估计值为0.8=0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概女顾客中对该商场服务满意的比率为3050=0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6（2）K2=100 ´(40 ´20 -30 ´10) 50 ´

11、50 ´70 ´302»4.762由于 4.762 >3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18解：（1）设an的公差为d由S =-a 得 a +4 d =0 9 5 1由a =4得a +2 d =4 1于是a =8, d =-2 1因此an的通项公式为an=10 -2 n（2）由（1）得a =-4d ，故 a =( n -5) d , S = 1 n nn( n -9) d 2.由a >0 知 d <0 ，故 S a 等价于 n 1 n n2-11n +10 0，解得1n10所以n的取值范围是 19解：n |1剟

12、n 10, n ÎN （1 ）连结B C , ME1.因为 M，E分别为BB , BC1的中点，所以ME B C1，且ME =12B C1.又因为N由题设知 A B= DC，可得 BC= A Dç÷ç ÷2为A D1的中点，所以ND =12A D1. 1 1 1 1，故 ME =ND ，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED.又 MN Ë平面 C DE ，所以MN平面 C DE .1 1（2）过C作C E的垂线，垂足为H.1由已知可得 DE BC ， DE C C1，所以DE平面 C CE ，故DECH.1从而CH平面 C DE ，

13、故CH的长即为C到平面 C DE 的距离，1 1由已知可得CE=1，C C=4，所以1C E = 17 ，故 CH = 14 1717.从而点C到平面C DE1的距离为4 1717.20解：（1）设g ( x) = f¢(x) ，则 g ( x ) =cos x +x sin x -1, g¢(x) =x cos x.当x Î(0, ) 时， g2¢(x) >0 ；当 x Îæ ö æ ö , 时， g ¢(x) <0 ，所以 g ( x) 在 (0, ) 单调递增，在 , 

14、2;2 ø 2 è2 ø单调递减.又g (0) =0, gæ öç ÷è ø>0, g ( ) =-2，故 g ( x) 在 (0, ) 存在唯一零点.2222ç ÷ ç÷( )22 1 +t2所以f ¢(x)在(0, )存在唯一零点.（2）由题设知f ( )a , f ( ) =0，可得a0.由（1）知，f¢(x)在(0, )只有一个零点，设为x0，且当x Î(0,x )0时，f¢(x) >0；当x Î

15、(x, 0)时，f ¢(x) <0，所以f ( x )在(0,x )0单调递增，在(x , 0)单调递减.又f (0) =0, f ( ) =0，所以，当x Î0, 时， f ( x )0.又当a 0, x Î0, 时，ax0，故f ( x)ax.因此，a的取值范围是( -¥,0.21解：（1）因为 e M 过点 A, B ，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直线x+y =0 上，且 A, B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线 y =x 上，故可设M (a , a ).因为eM与直线x+2=0相切，所以eM的半径为r =

16、|a +2 |.uuuur uuur由已知得 |AO|=2 ，又 MO AO ，故可得 2a2+4 =( a +2)2，解得 a =0 或 a =4 .故e M的半径r =2或r =6.（2）存在定点P(1,0)，使得| MA | -| MP |为定值.理由如下：设M (x, y )，由已知得 e M 的半径为 r =|x +2|,| AO|=2.由于uuuur uuur MO AO，故可得x 2 +y 2 +4 =( x +2) 2，化简得M的轨迹方程为y 2 =4 x.因为曲线C : y2=4 x 是以点 P(1,0) 为焦点，以直线x =-1为准线的抛物线，所以|MP|=x +1.因为|

17、MA|-|MP|= r -|MP|= x +2 -(x +1)=1，所以存在满足条件的定点P.22 解：（1 ）因为-1<1 -t1 +t22£1，且æy ö æ1-t ö 4tx 2 + = + =1 è ø è ø 1 +t 2，所以 C 的直角坐标方程为x2y 2+ =1(x ¹-1) 4.l的直角坐标方程为2 x +3 y +11 =0.ç ÷=ç ÷ì（2）由（1）可设C的参数方程为 íîx =cos a, y =2sin a（ a 为参数，- <a <）.C上的点到l的距离为| 2cosæ ö 4cos a- +11a+2 3 sin a+11| è 3 ø 7 7.当a =-2 3时，4cosæ öa - +11è 3 ø取得最小值7，故C上的点到 l 距离的最小值为 7 .23解：（1）因为a2+b2³2 ab , b2+c2³2bc , c2+a2³2ac ，又 abc =1，故有a2+b2+c2³ab +bc +ca =ab +