2022年2022年八年级数学下册-平面几何经典难题训练-沪科版

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载（一）1.已知：如图,o为半圆的圆心,c.e 为圆上的两点,cd ab,ef ab, eg co求证： cd gfcegadofb02.已知：如图,p 为正方形abcd内一点, pad pda 15 求证： pbc为正三角形ad pbc3.如图,已知四边形abcd.a1b1c1d1 都为正方形,a2.b2. c2. d2 分别为aa1.bb1.cc1.dd1的中点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求证：四边形a2b2c2 d2 为正方形（初二）ada 2d2a 1d1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b 1c1b2c2b

2、c4.已知：如图,在四边形abcd中, ad bc,m.n 分别为 ab.cd的中点, ad.bc的延长线交 mn于 e.f求证： den ffencdabm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载（二）1.已知： abc中, h 为垂心（各边高线的交点）, o为外心,且om bc于 m（ 1）求证： ah2om；a0（ 2）如 bac 60 ,求证： ah ao（初二）o· hebmdc2.设 mn为圆 o外始终线, 过 o作 oa mn于 a,自 a引圆的两条直线,交圆于 b.c及 d.e,直线 eb及 cd分别交 mn于 p. qg求证： ap aq（初二

3、）eco·bdmpaqn3.假如上题把直线mn由圆外平移至圆内,就由此可得以下命题：设 mn为圆 o的弦,过 mn的中点 a 任作两弦 bc.de,设 cd.eb分别交 mn于 p.q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求证： apaq（初二）ecaqmp·n·精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载obd4.如图,分别以abc的 ac和 bc为一边,在 abc的外侧作正方形acde和正方形 cbfg,点 p 为 ef 的中点求证：点p 到边 ab 的距离等于ab的一半（初二）dgcepfaqb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备

4、欢迎下载（三）1.如图,四边形abcd为正方形, deac, aeac, ae与 cd相交于 f求证： ce cf（初二）a dfeb c2.如图,四边形abcd为正方形, deac,且 ce ca,直线 ec交 da延长线于f 求证： ae af（初二）fadbce3.设 p 为正方形abcd一边 bc上的任一点,pf ap, cf平分 dce求证： pa pf（初二）adfbpce4.如图, pc切圆 o于 c,ac为圆的直径, pef为圆的割线, ae.af 与直线 po相交于 b.d求证： abdc, bcad（初三）abodpefc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必

5、备欢迎下载（四）1.已知： abc为正三角形, p 为三角形内一点,pa3, pb 4, pc 5求： apb的度数（初二）apbc2.设 p 为平行四边形abcd内部的一点,且pba pda求证： pab pcb（初二）adpbc3.设 abcd为圆内接凸四边形,求证：ab· cdad· bcac· bd（初三）adbc4.平行四边形abcd中,设 e.f 分别为 bc.ab上的一点, ae 与 cf相交于 p,且 ae cf求证： dpa dpc（初二）adfpbec精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载（五）1.设 p 为边长为1 的

6、正 abc内任一点, l pa pbpc,求证： l 2apbc2.已知： p 为边长为1 的正方形abcd内的一点,求pa pb pc的最小值a dpb c3.p 为正方形abcd内的一点,并且pa a, pb 2a, pc 3a,求正方形的边长a dpb c004.如图, abc中, abc acb 80 , d.e 分别为 ab.ac上的点, dca 30 , eba0 20 ,求 bed的度数aedbc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载经典难题解答:经典难题（一）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.

7、 如下图做gh ab、连接 eo；由于 gofe四点共圆,所以gfh oeg、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 ghf oge可、得 eo = go = co、 又 co=eo,所以 cd=gf得证；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载gfghcd2. 如下图做 dgc使与 adp全等,可得pdg为等边,从而可得0 dgc apd cgp、得出 pc=ad=dc和、 dcg= pcg 150所以 dcp=30 ,从而得出 pbc为正三角形3. 如下图连接bc1 和 ab1 分别找其中点f、e. 连接 c2f 与 a2e 并延长相交于q点,连接 eb2 并延长交c2q于

8、 h 点,连接 fb2 并延长交a2q于 g点,11110由 a2e= 2 a1b1= 2 b1c1= fb 2 , eb2= 2 ab= 2 bc=fc1 ,又 gfq+ q=90 和0 geb2+ q=90、 所以 geb2= gfq又 b2fc2= a2eb2 ,可得 b2 fc2 a2eb2 ,所以 a2b2=b2c2 ,又 gfq+ hbf=900 和 gfq= eba 、22 20从而可得 a2b2 c 2=90 , 同理可得其他边垂直且相等,从而得出四边形a2 b2c2d2 为正方形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - -

9、- 欢迎下载4. 如下图连接ac并取其中点q,连接 qn和 qm,所以可得 qmf= qnm,从而得出 den f；经典难题（二）1.1延长 ad到 f 连 bf,做 og af、又 f= acb= bhd,可得 bh=bf、从而可得hd=df,又 ah=gf+hg=gh+hd+df+hg=2gh+hd=2om02 连接 ob, oc、既得 boc=120, 从而可得 bom=600、所以可得ob=2om=ah=ao、得证；f, qnm=den和 qmn=精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载3. 作 ofcd, ogbe,连接 op, oa, of, af, og,

10、ag,oq；由于 ad =ac = cd =2fd =fd ,abaebe2bgbg由此可得 adf abg,从而可得 afc= age；又由于 pfoa与 qgoa四点共圆,可得afc=aop和 age= aoq, aop=aoq,从而可得ap=aq；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 过 e、c、f 点分别作ab所在直线的高eg, ci, fh；可得eg +pq=fh ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2由 ega aic,可得 eg=ai,由 bfh cbi,可得 fh=bi；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从而可得pq=ai + bi =2a

11、b ,从而得证；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载经典难题（三）1. 顺时针旋转ade,到 abg,连接 cg.000由于 abg= ade=90+45 =135从而可得b, g,d 在一条直线上,可得agb cgb；推出 ae=ag=ac=g,c可得 agc为等边三角形；000 agb=30,既得 eac=30,从而可得 a ec=75 ；又 efc= dfa=450+300=750.可证： ce=cf；2. 连接 bd作 ch de,可得四边形cgdh为正方形；由 ac=ce=2gc=2c,h00可得 ceh=30,所以 cae= cea=aed=15,又 f

12、ae=900+450+150=1500,0从而可知道f=15 ,从而得出ae=af；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载23. 作 fgcd, febe,可以得出gfec为正方形； 令 ab=y , bp=x 、ce=z 、 可得 pc=y-x ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xtan bap=tan epf=yy -zx + z,可得 yz=xy-x+xz,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 zy-x=xy-x,既得 x=z ,得出 abp pef ,得到 pa pf ,得证；经典难题（四）1. 顺时针旋转abp 60 0 ,连接 pq

13、 ,就 pbq为正三角形；可得 pqc为直角三角形；0所以 apb=150 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载2. 作过 p 点平行于 ad的直线,并选一点e,使 ae dc,be pc.可以得出 abp= adp= aep,可得：aebp共圆（一边所对两角相等）；可得 bap= bep= bcp,得证；3. 在 bd取一点 e,使 bce= acd,既得 bec adc,可得：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载be = ad bcac,即 ad.bc=be.ac,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 acb= dce,可得 abc dec

14、,既得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab = de acdc,即 ab.cd=de.ac,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由 +可得 : ab .cd+ad.bc=acbe+de= ac· bd ,得证；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 过 d 作 aq ae ,ag cf ,由ss ade =abcd2= s dfc ,可得：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ae pq =2ae pq ,由 ae=fc；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载可得 dq

15、=d,g 可得 dpa dpc（角平分线逆定理） ；经典难题（五）01. （ 1）顺时针旋转bpc 60,可得 pbe为等边三角形；既得 pa+pb+pc=ap+pe+e要f使最小只要ap, pe, ef 在一条直线上,即如下图：可得最小l=（ 2）过 p 点作 bc的平行线交ab、ac与点 d,f；由于 apd> atp=adp,推出 ad>ap又 bp+dp>bp和 pf+fc>pc又 df=af由可得：最大l< 2； 由（ 1）和（ 2）既得：l 2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

16、载02. 顺时针旋转bpc 60,可得 pbe为等边三角形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载既得 pa+pb+pc=ap+pe+e要f使最小只要ap, pe, ef 在一条直线上,即如下图：可得最小pa+pb+pc=a；f精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载既得 af=1 + 3 + 12=2 +3 =4 + 23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载422精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 + 12=22 3 + 12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=6 +2；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载3. 顺时针旋转abp 90 0 ,可得如下图：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载既得正方形边长l =2 +2 2 + 2 2a =5 +22 a；精品学习资料精选学习资料 -