差分方程实用教案

1、10.6.1 差分的概念(ginin)及性质1.差分差分(ch fn)的定义的定义.,)1()()1()0(:).(111210 xxxxxxxyyyyyyyyyyyxfxfffxxfy 也也称称为为一一阶阶差差分分，记记为为的的差差分分，为为函函数数称称函函数数的的改改变变量量，将将之之简简记记为为，列列函函数数值值可可以以排排成成一一个个数数取取非非负负整整数数时时，当当设设函函数数第1页/共42页第一页，共43页。xxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyxfy 12112122)()()()(,)(即即差差分分的的一一阶阶差差分分的的的的二二阶阶差差分分为为函函数数函函数数.以上的

2、差分以上的差分高阶差分：二阶及二阶高阶差分：二阶及二阶)(),(3423xxxxyyyy 差分：差分：同样可定义三阶、四阶同样可定义三阶、四阶第2页/共42页第二页，共43页。解解，则则设设2xy 12)1()(222 xxxxyx 2)12(1)1(2)12()(222 xxxxyx022)(233 xyx第3页/共42页第三页，共43页。解解例例 2 2 求下列函数的差分求下列函数的差分 axyxyasin)2(;log) 1 ( );11(loglog)1(log)1(1xxxyyyaaaxxx .2sin)21(cos2sin)1(sin)2(axaaxxayx 第4页/共42页第四页

3、，共43页。解解!)!1(xx .!3的的一一阶阶差差分分，二二阶阶差差分分求求例例xy xxxyyy 1!xx !2xxyyxx 11 !xxxx !12xxx 第5页/共42页第五页，共43页。解解)1)(2()1()11()1()1()1()()( nxnxxxnxxxxxxynnx )2()1()1()1( nxxxnxx)1( nnx).(1),1()2)(1( 4)()0()(nxnxyxnxxxxxy即即，求，求设设例例 （公式(gngsh)）第6页/共42页第六页，共43页。)()()1(为常数为常数CyCCyxx xxxxzyzy )()2(2.差分差分(ch fn)的四则运

4、算法则的四则运算法则 xxxxxxxxxxyzzyyzzyzy 113 11114 xxxxxxxxxxxxxxzzzyyzzzzyyzzy可参照可参照(cnzho)导数的四则运算法则学习导数的四则运算法则学习第7页/共42页第七页，共43页。 xxxxxxzyzyzy 11xxxxxxxxzyzyzyzy 1111 xxxxxxzzyzyy 111xxxxzyyz1 证明(zhngmng)（3）第8页/共42页第八页，共43页。 xxxxxxzyzyzy 11xxxxxxxxzyzyzyzy 1111又证明(zhngmng)（3） xxxxxxzyyzzy 111xxxxyzzy1 第9页/

5、共42页第九页，共43页。分分析析(fnx).33xyxy，求，求设设 例例53xy 1233xxx xxxxxx )1(3)2)(1()1()( nnnxx借助公式和差分的运算法则可求第10页/共42页第十页，共43页。解解)(3xxyy )3()1()2()3(xxx 63)0()1()2(xxx 163)1()2( xx. 666)0()1( xx第11页/共42页第十一页，共43页。解解.22xxyey，求，求设设 例例6xxxyyy 1 xxee212 ;122 eex 122 eex xxyy 2 xee221 .1222 eex第12页/共42页第十二页，共43页。10.6.2

6、差分(ch fn)方程的基本概念1.差分差分(ch fn)方程与差分方程与差分(ch fn)方程的阶方程的阶.,2称称为为差差分分方方程程的的函函数数方方程程含含有有未未知知函函数数的的差差分分xxyy0),(2 xnxxxyyyyxF形式：形式：定义定义(dngy)第13页/共42页第十三页，共43页。定义定义(dngy)：.,1的的方方程程，称称为为差差分分方方程程个个以以上上时时期期的的符符号号含含有有未未知知函函数数两两个个或或两两 xxyy)1(0),(0),(11 nyyyxGyyyxFnxxxnxxx或或形式：形式：.称称为为差差分分方方程程的的阶阶大大值值与与最最小小值值的的差

7、差方方程程中中未未知知数数下下标标的的最最第14页/共42页第十四页，共43页。 注：由差分的定义及性质可知(k zh)，差分方程的不同定义形式之间可以相互转换。是三阶差分方程；是三阶差分方程；如如0234235 xxxyyy. 0133112 tttyyyxt，即即可可写写成成事事实实上上，作作变变量量代代换换程，程，但实际上是二阶差分方但实际上是二阶差分方，虽然含有三阶差分，虽然含有三阶差分，013 xxyy，因此它是二阶差分方程因此它是二阶差分方程由于该方程可以化为由于该方程可以化为0133123 xxxyyy第15页/共42页第十五页，共43页。例例 7 7 下列等式是差分方程的有下列

8、等式是差分方程的有( ).( ). 432.2.33.2 .21122 xxxxxxxxxxxxyyyDyyyyCayyBxyyA 解解.,是差分方程是差分方程由差分方程的定义有：由差分方程的定义有：DA.2)(.333)(33121121111差差分分方方程程恰恰好好等等于于右右端端，故故不不是是，的的左左端端而而，故故不不是是差差分分方方程程值值，仅仅含含一一个个时时期期的的函函数数则则等等式式实实为为，的的左左端端xxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyCyayyyyyyB 第16页/共42页第十六页，共43页。例例 8 8 确确定定下下列列方方程程的的阶阶 242123)2(2

9、3)1( xxxxxxyyyyyxy 解解，33)1( xx，6)4(2)2( xx是三阶差分方程；是三阶差分方程；)1(.)2(是六阶差分方程是六阶差分方程第17页/共42页第十七页，共43页。2.差分差分(ch fn)方程的解方程的解.)(该该差差分分方方程程的的解解边边恒恒等等，则则称称此此函函数数为为两两代代入入差差分分方方程程后后，方方程程如如果果函函数数xy 含有相互(xingh)(xingh)独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解. .差分方程差分方程(fngchng)(fngchng)的通解的通解第18页/共42页第十八页，共43页。为了反映某一事物在变化过程中

10、的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加(fji)(fji)的条件. .通解中任意(rny)(rny)常数被初始条件确定后的解. .初始条件初始条件差分差分(ch fn)(ch fn)方程的特解方程的特解第19页/共42页第十九页，共43页。例例9)(),(),(,312111xfayyxfayyxfayyZUyxxxxxxxxx 解解分别是下列差分方程的分别是下列差分方程的是差分方程是差分方程求证求证xxxxZUyV .)()()(3211的解的解xfxfxfayyxx 第20页/共42页第二十页，共43页。证明证明(zhngmng)由题设知：由题设知：)()()(31

11、2111xfaZZxfaUUxfayyxxxxxx xxxxxxxxaZZaUUayyaVV 1111)()()(321xfxfxf .是是所所给给差差分分方方程程的的解解xV第21页/共42页第二十一页，共43页。10.6.3 线性差分(ch fn)方程解的结构11110( )( )( )x nx nnxnxya x yax yax y n阶齐次线性差分方程阶齐次线性差分方程(fngchng)的标准形式的标准形式n阶非齐次线性差分方程的标准阶非齐次线性差分方程的标准(biozhn)形形式式 1111( )( )( )x nx nnxnxya x yax yax yfx 1 2 0 xf第22

12、页/共42页第二十二页，共43页。11110( )( )( )x nx nnxnxya x yax yax y 1.n阶齐次线性差分阶齐次线性差分(ch fn)方程解的结构方程解的结构 1NoImage定理定理 6 6 如果函数如果函数)(1xy, ,)(2xy, ,)(xyk，是是方程方程(1)(1)的的 k k 个解个解, ,那末那末kkyCyCyCy 2211也也是是(1)(1)的解的解. .（kCCC， 21,是任意常数）是任意常数） 问题问题(wnt):(wnt):一一定定是是通通解解吗吗？kkyCyCyCy 2211，则，则若若nk 第23页/共42页第二十三页，共43页。注注：

13、设设nyyy,21为为定定义义在在区区间间I内内的的n个个函函数数如如果果存存在在n个个不不全全为为零零的的常常数数，使使得得当当x在在该该区区间间内内有有恒恒等等式式成成立立 （ 是任意常数）是任意常数） 定理定理 7 7：如果：如果)(1xy, ,)()(2xyxyn， 是方程是方程(1)(1)的的 n n 个线性无关的特解个线性无关的特解, , 那么那么nnyCyCyCy 2211就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. . nCCC， 21,02211 nnykykyk那么称这些函数在区间内线性相关；那么称这些函数在区间内线性相关；否则否则(fuz)称线性无关称线性无关. 第24页/

14、共42页第二十四页，共43页。例如例如(lr)xx22sin,cos1，xxxeee2, ，线性无关(wgun)线性相关时，时，当当),( x由此可见，要求出n阶常系数齐次线性差分方程（1）的通解(tngji)，只需求出其n个线性无关的特解.第25页/共42页第二十五页，共43页。2.n阶常系数阶常系数(xsh)非齐次线性差分方程解非齐次线性差分方程解的结构的结构定理定理 8 8 设设*xy是是n阶常系数非齐次线性差分方程阶常系数非齐次线性差分方程 的一个特解的一个特解, , xY是与是与(2)(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(1)(1)的通的通解解, , 那么那么*xxxyYy 是是n阶常

15、系数非齐次线性差分阶常系数非齐次线性差分方程方程(2)(2)的通解的通解. . xfyayayayxnxnnxnx 1111 2由此可见，要求出n阶常系数非齐次线性差分方程(fngchng)（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2）的一个特解即可.第26页/共42页第二十六页，共43页。第27页/共42页第二十七页，共43页。一阶常系数齐次线性差分一阶常系数齐次线性差分(ch fn)方程的一般方程的一般形式形式一阶常系数非齐次线性差分一阶常系数非齐次线性差分(ch fn)方程的一般方程的一般形式形式 1 2 .21次线性差分方程次线性差分方程所对应的一阶常系数齐所对应的一阶常系数齐为为注：注：

16、)0(01为常数为常数 aayyxx)(1xfayyxx )00( xfa为常数，为常数， 10.6.4 10.6.4 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程(fngchng)(fngchng)的解法的解法第28页/共42页第二十八页，共43页。一一 、一阶常系数齐次线性差分方程、一阶常系数齐次线性差分方程(fngchng)(fngchng)的求解的求解迭迭代代法法. 1)0(01为常数为常数 aayyxx 1）依依次次可可得得，为为已已知知，由由方方程程（设设10y01ayy 0212yaayy 0323yaayy 第29页/共42页第二十九页，共43页。.100 xxxxCaYCyy

17、ay 通通解解为为）的的方方程程（为为任任意意常常数数，于于是是差差分分满满足足差差分分方方程程，令令容容易易验验证证，01yaayyxxx .0211的通解的通解求求例例 xxyy解解21 a.21xxCY 差分方程的通解为差分方程的通解为第30页/共42页第三十页，共43页。特特征征根根法法. 2)0(01为常数为常数 aayyxx 1）变变形形为为方方程程（1 )0(01为常数为常数 ayayxx .1函函数数的的形形式式一一定定为为某某一一指指数数可可以以看看出出，根根据据xxxy ）得）得，代入（，代入（设设1)0( xxy01 xxa 第31页/共42页第三十一页，共43页。0 a

18、 即即a 特征方程特征(tzhng)根）的一个解，）的一个解，是（是（于是于是1xxay .1）的通解）的通解是（是（从而从而xxCay .1的的通通解解用用特特征征根根法法求求例例解解012 特征方程特征方程.21xxCY 差分方程的通解为差分方程的通解为21 特征根特征根第32页/共42页第三十二页，共43页。.203201的特解的特解满足满足求求例例 yyyxx解解；差分方程的通解为差分方程的通解为xxCY 31031 xxyy原方程可改写为原方程可改写为013 特征方程为特征方程为31 特征根特征根220 Cy，得，得代入代入.312xxY 所求差分方程的特解为所求差分方程的特解为第3

19、3页/共42页第三十三页，共43页。二、 一阶常系数非齐次线性差分方程(fngchng)的求解.xxYy分分方方程程的的通通解解另另一一项项是是对对应应的的齐齐次次差差，解解一一项项是是该该方方程程的的一一个个特特的的和和组组成成：差差分分方方程程的的通通解解由由两两项项一一阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性 .2 xxxyYy）的通解为）的通解为即差分方程（即差分方程（ 2)(1xfayyxx )00( xfa为常数，为常数，第34页/共42页第三十四页，共43页。即即可可求求出出特特解解求求出出待待定定系系数数程程然然后后将将它它们们代代入入差差分分方方相相同同的的形形式式与与假假定定待

20、待定定的的特特解解待待定定系系数数法法,.)(xfyx .较较为为方方便便解解采采用用待待定定系系数数法法求求其其特特时时，是是某某些些特特殊殊形形式式的的函函数数当当右右端端 xyxf:的的求求法法下下面面讨讨论论特特解解 xy第35页/共42页第三十五页，共43页。 型型xpxfn )( 为为方方程程 2 xpayynxx 1 xpyaynxx 1即即是它的解，代入上式得是它的解，代入上式得设设 xy xpyaynxx 1 .1 次次多多项项式式是是次次多多项项式式，是是且且也也应应该该是是多多项项式式，是是多多项项式式，因因此此由由于于 nynyyxpxxxn1.第36页/共42页第三十

21、六页，共43页。(1)nnnnxbxbxbxQy 110)(令令011 a不不是是特特征征方方程程的的根根，即即(2) nnnnxbxbxbxxxQy 110)(令令011 a是是特特征征方方程程的的根根，即即综上讨论综上讨论(toln)，设设)(xQxynkx 是特征方程的根是特征方程的根不是特征方程的根不是特征方程的根1110k第37页/共42页第三十七页，共43页。解解.32321的的通通解解求求差差分分方方程程例例xyyxx NoImage对应(duyng)齐次方程通解特征方程，02 特征(tzhng)根，2 xxCY2 不不是是特特征征方方程程的的根根，1，设设CBxAxyx 2代入方程(fngchng), 得963 CBA，9632 xxyx于于是是原方程通解为. 96322 xxCyxx第38页/共42页第三十八页，共43页。例例 4 4 求差分方程求差分方程37, 3501 yyyxx的特解的特解 解解,543xxCy 方方程程的的通通解解为为12374337370 Cy代入