专题-全等三形辅助线的添加

1、精品文档全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。二知识要点：1 、添加辅助线的方法和语言表述(1)作线段：连接；(2)作平行线：过点作/；(3)作垂线(作高)：过点作!，垂足为；(4)作中线：取中点，连接；(5)延长并截取线段：延长使等于；(6)截取等长线段：在上截取，使等于；(7)作角平分线：作平分；作角等于已知角；(8)作一个角等于已知角：作角等于。2 、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：( 1 ) 倍长中线(或类中线)法：若遇到三角形的中线或类中线(与中点有关的线段) ，通常考虑倍长中线或类中线，构造

2、全等三角形。(2)截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。 截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条 较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。(3) 一线三等角问题(“K”字图、弦图、三垂图)：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直 角三角形的直角边。(4)角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。(5)角含半角、等腰三角形的(绕顶点、绕斜边中点)旋转重合法：用旋转构造三角

3、形全等。(6)构造特殊三角形：主要是 30。、60。、90。、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造 )和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。三、基本模型：球BC中AD是BC边中线方式1 : 延长AD至ij E,使DE=AD ,连接BEE方式2:间接倍长，作 CFXAD于F,彳BEX AD的延长线于 E,连接BE随意编辑方式3 :延长MD至ij N ,使DN=MD ,连接 CD(2)由那BEZBCD导出t由那BE/BCD导出由ABEzBCD导出BC=BE+ED=AB+CDED=AE-CDEC=AB-CD(3)角分线，分两边，对称全等要记全角分线+垂线，等腰三角形必呈现(三线合一)(4

4、)旋转:方法：延长其中一个补角的线段（延长CD至ij E,使ED=BM ,连AE或延长CB至U F,使FB=DN连AF )C 2AB -结论：MN=BM+DN C CMN 2 ABAM、AN分别平分ZBMN和/DNM翻折:思路:分别WAABM和4ADN以AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明 M、P、N三点共线.（/B+0ZD= 180 且 AB=AD )（5）手拉手模型AABE和4ACF均为等边三角形结论：（1） AABFAEC; （2） /B0E= /BAE=60 ° （八字型"模型证明）；（3） OA 平分/ EOF拓展:条件：4ABC和4CDE均为等边三角形结论：(1

5、)、AD=BE (2)、/ACB=ZAOB(3)、4PCQ 为等边三角形(4)、PQ/AE (5)、AP=BQ (6)、CO 平分 ZAOE (7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD(7), (8)需构造等边三角形证明)MBD和MCE均为等腰直角三角形结论：(1)、BE= CD (2) BEX CDABEF和ACHD均为正方形结论：(1)、BDXCF (2)、BD=CF变形一：ABEF和ACHD均为正方形，ASLBC交FD于T,求证：T为FD的中点.S abc S adf .方法方法S S C方法三:变形二：ABEF和ACHD均为正方形，M为FD的中点，求证： AN ±BC当

6、以 AB、 AC 为边构造正多边形时，总有180Z 1 = / 2=360n四、典型例题: 考点一：倍长中线（或类中线）法:,则中线AD的取值范围是核心母题 已知，如图 ABC中，AB=5 , AC=3练习:1、如图，4ABC中，E、F分别在 AB、AC上,DEXDF, D是中点，试比较 BE+CF与EF的大小.2、如图，4ABC中，BD=DC=AC , E是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.3、如图，CE、CB分别是4ABC与9DC的中线，且/ ACB= /ABC,求证：CD=2CE 。4、已知：如图，在正方形ABCD 中，E是BC的中点，点F在CD上，/ FAE= /BAE .求证：

7、AF=BC+FC .5、如图，D是AB的中点，/ ACB=90。，求证：2CD=AB.求证:6、已知在4ABC中，AB=AC , D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF ,BD=CE 。7、已知在4ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且 BE=AC ,延长 BE交AC于F,求证：AF=EF。8、已知：如图，在 ABC中，AB AC, D、点 F, DF=AC.求证：AE平分 BAC 。E在BC上，且DE=EC ,过D作DF BA交AE于9、以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE ,BAD CAE90 ,连接DE, M、N分别是

8、BC、DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量(1 )如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是,线段AM与DE的(2)将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.10、已知:EC的中点 ABC和2DE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC, DA=DE,联结EC,取(1 )如图1,如果点 D、E分别在边 AC、AB上，那么 BM、DM的数量关系与位置关系1)中的结论是否仍然成立，并说明理(2)将图1中的4ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断(由.变式1 :已知：在 RtAABC中，A

9、B=BC ,在 RtAADE中，AD=DE ,连结 EC,取EC的中点 M ,连 结DM和BM .（1 ）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索 BM、DM的关系并给予 证明；（2）如果将图中的4 ADE绕） 立？如果/、成立，请举出反例；BAD图点A逆时针旋转小于45。的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成 如果成立，请给予证明.CAC图变式：2 :接BM .已知： ABC和2DE都是等腰直角三角形，/ ABC=ZADE=90，点M是CE的中点，连(1)如图，点数量关系为D在AB上，连接 DM ,并延长 DM交BC于点N ,可探究得出 BD与BM的(2)如图，点D不在AB

10、上，（1 ）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.变式3：四边形ABCD是正方形，BEF是等腰直角三角形，BEF 90 , BE EF ,连接DF ,G为DF的中点，连接EG , CG , EC。 EC(1)如图24-1 ,若点E在CB边的延长线上，直接写出 EG与GC的位置关系及 的值； GC(2)将图24-1中的 BEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)将图24-1中的 BEF绕点B顺时针旋转(090 ),若BE 1 , AB J2 ,当E , F ,D三点共线时，求DF的长及/

11、ABF的度数。备用图考点二：截长补短法: 核心母题 如图，AD /BC , EA , EB分另1J平分/DAB , /CBA , CD过点E,求证：AB=AD+BC练习:C,连接AF和BE.1、 如图a,那BC和3EF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论;(2)将图a中的4CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b, (1)中的结论还成立吗？作出判断并说明理由;、已知：如图，ABC是等边三角形，BDC 120,求证：AD BD CD .、已知四边形 ABCD中，AB BC, ABC 60,P为四边形ABCD的对角线BD上一点,且 APD 120

12、 ,求证：PA PDPC BDABD2、在ZABC 中，/BAC=60 ° , £=40 ° ,AP 平分/ BAC 交 BC 于 P, BQ 平分/ABC 交 AC 于 Q ,求证：AB+BP=BQ+AQ3、如图，在ABC中，ABCAD,CE分别为 BAC, ACB的平分线，求证：AC=AE+CD4、如图，在4ABC 中，AB=AC , D 是AABC 外一点，且/ ABD=60 ° , zACD=60求证：BD+DC=AB，1,5、已知：如图在 ABC 中，AB=AC , D 为GABC 外一点，/ ABD=60 , ADB=90 - ZBDC ,求

13、证：AB=BD +DC。考点三：一线三等角问题（“K”字图）核心母题 已知：如图，在RtAABC中，ZBAC=90 ° AB=AC , D是BC边上一点，/ADE=45 ° AD=DE ,求证：BD=EC.练习：1、已知：如图，在矩形ABCD 中，E、F分另1J是边BC、AB上的点，且EF=ED , EF± ED .求证：AE平分/BAD .2、两个全等的含30 ° , 60 °角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E, A, C三点在一条直线上，连接BD ,取BD的中点M ,连接ME , MC .试判断AEMC的形状，3、如图，在 AB

14、C中， ACB 90 ,AC BC ,直线 MN经过点 C,且AD MN于点D,BE MN于点E。(1)当直线 MN绕点C旋转到图(1)的位置时，求证： DE=AD+BE ;(2)当直线 MN绕点C旋转到图(2)的位置时，求证： DE=AD BE;(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时，试问： DE, AD , BE有怎样的等量关系？请写出 等量关系，并加以证明。NM"B4、如图所示，AELAB, BC，CD 且 AB=AE , BC=CD , F、A、G、C、H 在同一直线上， 如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？6、小雨遇到这样一个问题： 如图1 ,

15、直线11八2川3 , 11与12之间的距离是1 , 12与13之间的距离是2 ,11、12、13上，并求出所画等腰直角三角形试画出一个等腰直角三角形 ABC,使三个顶点分别在直线ABC的面积.111213图2小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题.具体作法如图2所示：在直线li任取一点A,作ADL12于点D,作/DAH=90 ° ,在AH上截取AE=AD ,过点E作EB± AE交13于点B,连接AB, 作/BAC=90。，交直线12于点C,连接BC,即可得到等腰直角三角形 ABC.请你回

16、答：图2中等腰直角三角形 ABC的面积等于 .参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3,直线11川2川3, 11与12之间的距离是2,12与13之间的距离是1,试画出一个等边三角形 ABC, 使三个顶点分别在直线 11、12、13上，并直接写出所画等边三角形ABC的面积(保留画图痕迹).111112121313图3图37、如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在P (5,5)处，两条直角边与坐标轴分别交于点A和点B.(1)当点A、点B分别在x轴、y轴正半轴上运动时，试探究 OA+0B的值或取值范围；(2)点A在x轴正半轴上运动，点 B在y轴负半轴上时，试探究 OA-OB的值或取值范

17、围，直接写 出结果。9、已知：在平面直角坐标系中，等腰直角MBC顶点A、C分别在y轴、x轴上，且/ ACB=90 ° , AC=BC .(1)如图1,当A (0, -2), C (1, 0),点B在第四象限时，先写出点B的坐标，并 说明理由.(2)如图2,当点C在x轴正半轴上运动，点A (0, a)在y轴正半轴上运动，点B (m, n)在第四象限时，作BD，y轴于点D ,试判断a, m , n之间的关系，请证明你的结论.考点四：角平分线、中垂线法核心母题1、在 ABC中，AB AC , AD是 BAC的平分线. P是AD上任意一点. 求证：AB AC PB PC .BD2、已知等腰直

18、角三角形ABC , BC是斜边./B的角平分线交AC于D ,过C作CE垂直且交BD延长线于E,求证：BD=2CE3、如图，4ABC的边BC的中垂线 DF交ABAC的外角平分线 AD于D , F为垂足，DELAB于E,且 AB > AC ,求证：BE-AC=AE练习1、如图所示，在 ABC中，AD是 BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB PC与AB AC的大小，并说明理由.2、如图所示：/ABC的平分线BF与AABC中/ACB的相邻外角/ACG的平分线CF相交于点F ,过F作DF / BC ,交AB于D ,交AC于E.问：(1)写出图中的等腰三角形并说明理由.(2)

19、若 BD=8cm , DE=3cm ,求 CE 的长.3、在4ABC 中，AB2AC,AD平分 BAC , E是AD中点，连结 CE ,求证：BD 2CE4、如图，9BC中，ZABC=2 ZC, BE 平分 /ABC 交 AC 于 E、AD，BE 于 D ,求证：(1 ) AC-BE=AE (2) AC=2BD5、如图，在 那BC 中，AB > AC , E为BC边的 中点，AD 为ZBAC 的平分线，过 E作 AD的平行线，交AB于F ,交CA的延长线于G .求证：BF=CG .EF II AD交CA的延长线于点F ,变式一：如图，在 ABC中，AD交BC于点D ,点E是BC中点, 交

20、AB 于点G ,若BG CF ,求证：AD为 BAC的角平分线.变式二：已知： ABC中，AD是那BC的角平分线， M为BC的中点，过点 M作MN /AD ,交AC于点N，求证:AN+AB=NC.变式三：在 ABC中，AD是*BC的角平分线.(1)如图1,过C作CE/ AD交BA延长线于点E,若F为CE的中点，连结 AF,求证：AFXAD;(2)如图2, M为BC的中点，过 M作MN /AD交AC于点N,若AB=4 , AC=7 ,AC 于 D,6、如图，已知 ABC中，AB=AC, ZA= 100 ° ,总 的平分线交求证：AD+BD = BC7、如图，在4ABC中，AD，BC于D

21、CD = AB + BD, /B的平分线交 AC于点E,求证：点 E恰好在BC的垂直平分线上。8、如图 1,在4ABC 中，/ACB=2 ZB,/ BAC的平分线 AO交BC于点D,点H为AO上一动点,过点H作直线lAO于H,分别交直线AB、AC、BC 于点 N、E、M .(1)当直线l经过点C时(如图2),证明：BN=CD ;到图2图3(2)当M是BC中点时，写出 CE和CD之间的等量关系，并加以证明;(3)请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系.9、如图所示， 在AABC中，ZABC=3 ZC, AD是/BAC的平分线，BEXAD于F,求证：2BE=AC-AB变式：如图，已知在 ABC中

22、， ABC 3 C ,12 , BE AE .求证：AC AB 2BE10、如图所示，在ABC中，AD平分 BAC , ADAB, CMAD于M ,求证ABAC 2AM.变式一：如图/ 1= /2, B为AC中点，CM，FB于M1AN，FB 于 N ,求证： EF=2BM ; FB= 一2(FM+FN )变式二：如图，在 ODC中，D 900,e DC。的角平分线，且OE CE，过点e作EF OC交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明.变式三：如图所示，在 ABC中，AC>AB, M为BC的中点,且交AD的延长线于 F,求证：MF= - (AC AB)。2AD是/BAC的平

23、分线，若 CFXAD考点五：角含半角、等腰三角形的(绕顶点)旋转重合法核心母题 如图，在正方形 ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，/EAF=45 °，求证：EF=BE+DF.变式一：如图，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的边BC、CD上的点，若AECF的周长是2,求ZEAF的度数？变式二：如图，在正方形 ABCD中，E、F分别是 BC、CD边上的点，/ EAQ=45 ° ,AH ±EF,求证:AH=AB.综合：在正方形 ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足 MN=BM + DN ,求证：.ZMAN= 45 .C CMN 2AB .AM

24、、AN 分别平分 ZBMN 和/DNM.练习1、如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC, ZA= /C=90 ° ,且=135 ° ,K、N分别是 AB、BC上的点,若ABKN的周长是AB的2倍，求/ KDN的度数？2、已知：正方形ABCD 中，/ MAN=45 ° , MAN 绕点A顺时针旋转，它 的两边 分别交 CB、DC （或它 们的延长线）于点M、N .当/MAN 绕点A旋转到BM=DN 时（如图1 ）, 易证 BM+DN=MN .（1 ）当/MAN 绕点A旋转到BM WDN时（如图2）,线段BM、DN和MN 之间有怎样 的数量关系？写出猜想，并加以证明

25、；（2）当/MAN 绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN 之间又有怎样的数 量关系？请直接写出你的猜想.和3、如图，在四边形 ABCD中，AB=AD /B+/D=180 ° , E、F分别是边 BC、CD上的点,EAF= /BAD ,(1)求证：EF=BE+FD(2)如果E、F分别是边BC、CD延长线上的点,其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。5、如图所示，在五边形 ABCDE 中，AB=AE , BC+DE=CD , ZABC+ ZAED=180 ° 求证：AD 平分/CDE.6、如图，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2 , ZABC= ZAED=90 。，频边形 ABCDE 的面积.7、如图1.在四边形ABCD 中.AB=AD , /B+ /D=180 ° , E、F分别是边BC、CD上 的点，且 /BAD=2 / EAF .(1)求证：EF=BE+DF ;(2)在(1 )问中，若将AAEF绕点A逆时针旋转，当点E