函数的极限01687实用教案

1、法国(f u)多产的数学家柯西. 他在18211823年间出版的分析教程和无穷小计算讲义(jingy)是数学史上划时代的著作. 在书中他给出了相对精确的极限定义，然后用极限定义了连续性、导数、微分、定积分及无穷级数的收敛性. 德国数学家维尔斯特拉斯对此作了进一步的严格(yng)化，使得极限理论成为了微积分的坚定基础. 第1页/共50页第一页，共51页。一、函数一、函数(hnsh)极限的引入极限的引入数列可看作自变量为正整数数列可看作自变量为正整数 的函数的函数:n数列数列 nx的极限为的极限为,a即即:当自变量当自变量 n取正整数取正整数且无限增大且无限增大)( n时时, 对应的函数值对应的函

2、数值)(nf无限无限接近数接近数.a由此引出函数由此引出函数(hnsh)极限的极限的一般一般(ybn)概念概念:在自变量在自变量x的某个变化过程中的某个变化过程中,如果对如果对应的函数值应的函数值)(xf无限接近于某个确定的数无限接近于某个确定的数,A则则A就认作就认作x在该变化过程中函数在该变化过程中函数)(xf的极限的极限.第2页/共50页第二页，共51页。播放(b fn)第3页/共50页第三页，共51页。第4页/共50页第四页，共51页。第5页/共50页第五页，共51页。第6页/共50页第六页，共51页。第7页/共50页第七页，共51页。第8页/共50页第八页，共51页。第9页/共50页

3、第九页，共51页。第10页/共50页第十页，共51页。第11页/共50页第十一页，共51页。第12页/共50页第十二页，共51页。二二 自变量趋向自变量趋向(qxing)无穷大时函数的极限无穷大时函数的极限问题问题(wnt):如何用数学如何用数学(shxu)语言刻画下述过程语言刻画下述过程:函数函数“无限接近无限接近”确定值确定值)(xfA. .当当时时, ,x第13页/共50页第十三页，共51页。定义定义(dngy):设函数设函数)(xf当当| x大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义. .如果对任意给定的正数如果对任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小), ,总存在总存在(cnzi)

4、着正数着正数,X使得对于满足不等式使得对于满足不等式Xx |的一切的一切,x恒有恒有那么常数那么常数A就叫函数就叫函数)(xf当当 x时的极限时的极限, ,记作记作或或Axf)(当当). x第14页/共50页第十四页，共51页。x)1(情形情形:即即使当使当Xx 时时, ,恒有恒有.|)(| Axfx)2(情形情形:使当使当Xx 时时, , 恒有恒有.|)(| Axf即即单侧极限单侧极限(jxin):定理定理(dngl)Axfx )(lim且且第15页/共50页第十五页，共51页。xy0f (x)AX X其相应(xingyng)的曲线上的点落在绿色落在绿色(l s)区域内区域内.x x 趋于无

5、穷大时的极限趋于无穷大时的极限(jxin)(jxin) A的的 邻域邻域, , X 0,A+ A 对满足对满足 |x| X 的一切点的一切点 x,第16页/共50页第十六页，共51页。xy0f (x)X XA其相应(xingyng)的曲线上的点 A A的的 邻域邻域(ln y),(ln y), X 0,. x 趋于无穷大时的极限(jxin)对满足对满足 |x| X 的一切点的一切点 x,落在落在绿色绿色区域内区域内.第17页/共50页第十七页，共51页。xy0f (x)X XA其相应(xingyng)的曲线上的点 A A的的 邻域邻域(ln y),(ln y), X 0,. x 趋于无穷大时的

6、极限(jxin)对满足对满足 |x| X 的一切点的一切点 x,落在落在绿色绿色区域内区域内.第18页/共50页第十八页，共51页。xy0f (x)AX X其相应(xingyng)的曲线上的点 A A的的 邻域邻域(ln y),(ln y), X 0,. x 趋于无穷大时的极限(jxin)对满足对满足 |x| X 的一切点的一切点 x,落在落在绿色绿色区域内区域内.第19页/共50页第十九页，共51页。X Xxy0f (x)AX XX XX XX XX X其相应(xingyng)的曲线上的点 A A的的 邻域邻域(ln y),(ln y), X 0,. x 趋于无穷大时的极限(jxin)对满足

7、对满足 |x| X 的一切点的一切点 x,落在落在绿色绿色区域内区域内.第20页/共50页第二十页，共51页。例例 1证明证明(zhngmng)注：注：第21页/共50页第二十一页，共51页。例例 2用极限用极限(jxin)定义证明定义证明注注 ：同理可证：同理可证：而当而当1 q时，时，10 q时，时，当当第22页/共50页第二十二页，共51页。例例 3证明证明(zhngmng)第23页/共50页第二十三页，共51页。三、自变量趋向三、自变量趋向(qxing)有限值时函数的有限值时函数的极限极限考虑考虑(kol)函数函数X024第24页/共50页第二十四页，共51页。问题问题(wnt):如何

8、用数学语言如何用数学语言(yyn)描述下述过程描述下述过程:在0 xx 的过程中,函数)(xf无限趋近于确定值.A第25页/共50页第二十五页，共51页。定义定义(dngy)若对任意给定的正数若对任意给定的正数 (不论不论(bln)它多么小它多么小),总存总存在正数在正数, 使当使当 |00 xx时时, ,函数函数)(xf都满足都满足不等式不等式,|)(| Axf设函数设函数)(xf在点在点0 x的某一去心领域内有的某一去心领域内有定义(dngy).则常数则常数A就称为函数就称为函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限. .记作记作或或Axf)(当当)0 xx 定义定义Axfxx )(lim

9、0, 0 使当使当 |00 xx时时, ,恒有恒有.|)(| Axf第26页/共50页第二十六页，共51页。xy0f (x)A当当该邻域内所有点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域 内，即相应的点(x,f(x)落在绿色(l s)区域内. 函数(hnsh)的极限 A A的的 邻域邻域(ln y),(ln y), x0的空心的空心 邻域邻域,A+ A 第27页/共50页第二十七页，共51页。Axy0 A 函数函数(hnsh)的极限的极限.f (x)该邻域(ln y)内所有点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域(ln y) 内，即相应的点(x,f(x)落在绿色区域内. A A的的 邻域邻域(ln y

10、),(ln y), x0的空心的空心 邻域邻域,当当第28页/共50页第二十八页，共51页。Axy0 A A A A 函数函数(hnsh)的的极限极限.f (x)该邻域(ln y)内所有点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域(ln y) 内，即相应的点(x,f(x)落在绿色区域内. A A的的 邻域邻域(ln y),(ln y), x0的空心的空心 邻域邻域,当当第29页/共50页第二十九页，共51页。Axy0 A 函数函数(hnsh)的极限的极限.f (x)该邻域内所有点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域 内，即相应(xingyng)的点(x,f(x)落在绿色区域内. A A的的 邻域邻域

11、(ln y),(ln y), x0的空心的空心 邻域邻域,当当第30页/共50页第三十页，共51页。Axy0 A 函数函数(hnsh)的极限的极限.f (x)该邻域内所有点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域 内，即相应的点(x,f(x)落在绿色(l s)区域内. A A的的 邻域邻域(ln y),(ln y), x0的空心的空心 邻域邻域,当当第31页/共50页第三十一页，共51页。Axy0 A 函数函数(hnsh)的极限的极限.f (x)该邻域内所有(suyu)点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域 内，即相应的点(x,f(x)落在绿色区域内. A A的的 邻域邻域(ln y),(ln y

12、),当当 x0的空心的空心 邻域邻域,第32页/共50页第三十二页，共51页。Axy0 A A A 函数函数(hnsh)的极限的极限.f (x)该邻域(ln y)内所有点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域(ln y) 内，即相应的点(x,f(x)落在绿色区域内. A A的的 邻域邻域(ln y),(ln y),当当 x0的空心的空心 邻域邻域,第33页/共50页第三十三页，共51页。Axy0 A 函数函数(hnsh)的极限的极限.f (x)该邻域(ln y)内所有点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域(ln y) 内，即相应的点(x,f(x)落在绿色区域内. A A的的 邻域邻域(ln y)

13、,(ln y), x0的空心的空心 邻域邻域,当当第34页/共50页第三十四页，共51页。Axy0 A 函数函数(hnsh)的极限的极限.f (x)该邻域内所有(suyu)点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域 内，即相应的点(x,f(x)落在绿色区域内. A的的 邻域邻域, , x0的空心的空心 邻域邻域,当当第35页/共50页第三十五页，共51页。例例 4 (1)证明证明(zhngmng)CCxx 0lim)( 为常数为常数C (2)证明证明(zhngmng)第36页/共50页第三十六页，共51页。例例 5证明证明(zhngmng)第37页/共50页第三十七页，共51页。注意注意(zh (

14、zh y):y):第38页/共50页第三十八页，共51页。第39页/共50页第三十九页，共51页。例例 6证明证明(zhngmng):当当00 x时时,第40页/共50页第四十页，共51页。左极限左极限(jxin), 0 , 0 使当使当00 xxx 时时, ,恒有恒有.|)(| Axf记作记作或或右极限右极限(jxin), 0 , 0 使当使当 00 xxx时时, ,恒有恒有.|)(| Axf记作记作或或第41页/共50页第四十一页，共51页。定理定理(dngl)Axfxx )(lim0第42页/共50页第四十二页，共51页。例例 7验证验证xxx0lim不存在不存在.第43页/共50页第四

15、十三页，共51页。例例 8设设求求).(lim0 xfx第44页/共50页第四十四页，共51页。函数函数(hnsh)极限的性质极限的性质唯一性定理唯一性定理(dngl)若若)(lim0 xfxx存在存在, ,则极限则极限(jxin)唯一唯一.有界性定理有界性定理若若,)(lim0Axfxx 则存在常数则存在常数0 M和和, 0 使得当使得当 |00 xx时时, ,有有.| )(|Mxf 第45页/共50页第四十五页，共51页。函数函数(hnsh)极限的性质极限的性质保号性定理保号性定理(dngl)若若,)(lim0Axfxx 且且0 A(或或),0 A则则, 0 使得当使得当 |00 xx时时

16、, ,有有0| )(| xf(或或).0)( xf注注:由证明由证明(zhngmng)可见可见,保号性定理的结论可加强为保号性定理的结论可加强为推论推论若若,)(lim0Axfxx 且在且在0 x的某去心邻域内的某去心邻域内0)( xf(或或),0)( xf则则0 A(或或).0 A第46页/共50页第四十六页，共51页。子序列子序列(xli)收敛性收敛性定义定义(dngy)设在过程设在过程ax a(可以是可以是 00,xx或或)0 x中有中有数列数列nx),(a 使得使得 n时时,axn则称数列则称数列(shli)(nxf为函数为函数)(xf当当ax 时的时的子序列子序列. .定理定理若若,)(lim0Axfxx 数列数列)(nxf是是)(xf当当0 xx 时的一个子序列时的一个子序列, ,则有则有.)(limAxfnx 第47页/共50页第四十七页，共51页。函数极限与数列函数极限与数列(shli)极限的关系极限的关系函数函数(hnsh)极限存在的充要条件是极限存在的充要条件是都存在都存在(cnzi)且相等且相等.例例9证明证明xx1sinlim0不存在不存在. .它的任何子列的极限它的任何子列的极限第48页/共50页第四十八页，共51页。 函数函数(hnsh)极限的概念极限的概念小结小结(xioji)第49页/共50页第四十九