一线三角模型及例题

1、相似三角形判定的复习：1.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。2.相似三角形的判定定理：(1)两角对应相等两三角形相似。 (2) 两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。(3)三边对应成比例，两个三角形相似。3.直角三角形相似的判定定理：(1) 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2) 一直角三角形的斜边和一条直角边与另一直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两三角形相似。 相似三角形的性质 ：要点 1 ：相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例要点 2 ：相似三角形的性质定理

2、：相似三角形的性质定理 1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形的性质定理 2：相似三角形的周长的比等于相似比相似三角形的性质定理 3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方要点 3 ：知识架构图对应角相等、对应边成比例对应高之比、对应中线之比、对应相似三角形的性质角平分线之比都等于相似比周长之比等于相似比面积之比等于相似比的平方1、如图，锐角 ABC 的高 CD 和 BE 相交于点 O，图中相似三角形有多少对？请分别写出 . 2、如图，在锐角 ABC 中，ADE=ACB，图中相似三角形有多少对？请分别写出.3、如图已知BAC=BDC=90°，S

3、DEBC=16, SDADE=8. 问：BEC 的大小确定吗？若确定，求期度数；若不确定，请说明理由.ADEBC4、如图，在 ABC 中， ÐBAC =90 F，G足分别为求证：EG CG=（1）；AD CDo， AD 是 BC 边上的高，点 E 在线段 DC 上， EF AB ， EG AC ，垂（2）FDDG5、如图，四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 E，ACAB,BD CD. S =16 ，S =8.EBC AED(1)求AABB的值；（2）问：BEC 是不是定角？如果是，把它求出来；如果不是，请说明理由 .5、如图，在ABC 中，角 ACB 为直角，CDAB 于点

4、 D，又ACE 与BCF 都是等边三角形，连结 DE、DF； 求证:DEDF中考热点：一线三等角型的相似三角形一、问题引入如图，DABC中，ÐB =90°，CD AC，过 D 作DE AB交 BC 延长线与 E。求证：DABC: DCED三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形 的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：其他常见的一线三等角图形（等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角）（直角坐标系中一线三等角） （矩形中一线三等角）等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角

5、形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形， 图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。（1）等腰三角形中一线三等角例 1、如图，已知在ABC 中， AB=AC=6，BC =5，D 是 AB 上一点，BD=2，E 是 BC 上一动点，联结 DE，并作ÐDEF =ÐB，射线 EF 交线段 AC 于 F （1）求证 DBEECF ； （2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段 BE 的长；（3）联结 DF，如 DEF 与DBE 相似，求 FC 的长讲解：1、本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三 角形相似

6、；2、 第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少是，三角线相 似。变式练习 1 就是这类题型；3、 第三问中间的三角形与左右两个形似时有两种情况，一种是 DF 与底边平行，一种是 E 为中点； 4、在等腰三角形，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适 用。变式练习 1 （浦东新区 22 题）如图，已知等 ABC 的边长为 8，点 D 、F 、 E 分别在边 AB 、 BC 、 AC 上， BD =3 ，E 为中AC点， BPD与 PCE相似时，求 BP的值.变式练习 2（宝山 22 题）如图 6，已知ABC 中， AB =AC ,点

7、E 、 F 在边 BC 上，满足 EAF = C .求证： BF ×CE =AB2；变式练习 3如图，在三角形 ABC 中，AB=4，AC=2，A =90 0，点 D 为腰 AC 中点，点 E 在底边 BC 上，且 DEBD，求CED 的面积。变式练习 4已知ABC=90°，ADBC，P 为线段 BD 上的动点，点 Q 在射线 AB 上，且满足 点 Q 在线段 AB 的延长线上时，求 ÐQPC 的大小（2）等腰梯形中一线三等角PQ AD= ，当 AD p AB ，且 PC AB例 1、（长宁区 18 题）如图，等腰梯形ABCD 中， AD BC ， AD =2 ，

8、 BC =4 2 ， B =45 ，直角三角板含 45 度角的顶点 E 在边 BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与 CD 交于点 F .若 ABE 为等腰三角形，则CF的长等于 .例 2、如图，梯形 ABCD 中，ABDC， B=90 °，E 为 BC 上一点，且ABEECD。（1）若 BC=8，AB=3，DC=4，求 BE 的长 （2）若 BC= 4 3 ，AB=3，DC=4 ，求 BE 的长.（3）若 BC=6，AB=3，DC=4，求 BE 的长.例 3、如图，梯形 ABCD 中， ABCD，ABC=900 ，AB=8，CD=6 ，在 AB 上取动点 P ，连结 DP，作

9、 PQDP ，使 得 PQ 交射线 BC 与点 E，设 AP=x，BE=y。（1）当 BC=4 时，试求 y 关于 x 的函数关系式；1（2）当 BC 在什么范围时，存在点 P ，使得 PQ 经过点 C（直接写出结果）。例 4、（徐汇区 25）如图，在梯形 ABCD 中， AD BC ， AB =CD=BC =6 ， AD =3 点 M 为边 BC 的中点，以 M 为顶点作 ÐEMF=ÐB ，射线 ME 交腰 AB 于点 E ，射线 MF 交腰 CD 于点 F ，联结 EF （1）求证 MEFBEM；（2）若BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EFCD，求B

10、E的长例 4、（杨浦区基础考）四边形ABCD 中， AD BC ，ÐABC =a(0o<a<90o)，AB =DC =3 ， BC =5 点P 为射线 BC 上动点（不与点 B 、C 重合），点 E 在直线 DC 上，且 ÐAPE =a记ÐPAB =Ð1， ÐEPC =Ð2，BP =x，CE =y（1） 当点 P 在线段 BC 上时，写出并证明 Ð1 与 Ð2 的数量关系；（2） 随着点 P 的运动，（1）中得到的关于 Ð1 与 Ð2 的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认

11、为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x的取值范围；（3）若 cos a =13，试用 x 的代数式表示 y （3）坐标系中一线三等角例 1、（金山区 24）如图，住平面直角系中，直线 AB ： y4= x +4a(a¹0)分别交x 轴、 y 轴于 B 、 A 两点，直线AE 分别交 x 轴、 y 轴于 E 、 A 两点， D 是 x 轴上的一点， OA =OD ，过 D 作 CD x 轴交 AE 于 C ，连接 B C ，当动点B在线段OD上运动（不与点O点D重合）且AB BC时(1)求证： DABO DBCD ；(2) 求线段 CD 的长（用 a 的代数式表示）；(

12、3)若直线 AE 的方程是y =-1316x +b ，求 tan ÐBAC 的值例、如图，在直角坐标系中，直线y1= x +22与轴，轴分别交于，两点，以为边在第二象限内作矩形，使AD =5，求点的坐标变式练习 1在平面直角坐标系 XOY 中，DAOB的位置如图所示，已知ÐAOB =90 0 , ÐA =60 0,点 A 的坐标为(- 3,)（1） 求点 B 的坐标；（2） 若抛物线变式练习 2y =ax 2 +bx +c经过 A、O、B 三点，求函数解析式。如图所示：RT AOB 中AOB=90 °，OA=4，OB=2 ，点 B 在反比例函数y =2x

13、图像上，求过点 A 的双曲线解析式。x变式练习 3如图，在平面直角坐标系中，OBOA，且 OB2OA，点 A 的坐标是(1，2) 求过点 A、O、B 的抛物线的表达式； （4）矩形中一线三等角如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点在轴上，点在轴上，将边折叠，使点落在边的点 D 处已知折叠线 CE 且CE =5 5，tan ÐEDA =34,求直线与轴交点的坐标；例 6、（长宁区 24 题）如图，在矩形 ABCD 中， AB =4 ， AD =6 ，点 P 是射线 DA 上的一个动点，将三角板的 直角顶点重合于点 P ，三角板两直角中的一边始终经过点 C ，另一直角边交射

14、线 BA 于点 E （1）判断EAP与PDC一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PD =x，AE =y，求y与 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点 P ，是 EAP 周长等于 PDC 周长的 2 倍？若存在，请求出 PD 的长度；若不存在， 请简要说明理由“一线三等角”专题练习一、知识梳理 ：1、 如图 1，ABAC， BADE ，那么一定存在的相似三角形有 ；2、 如图 2，ABAC， BEDF，那么一定存在的相似三角形有 ；AFAEEBDC图 1BD图 2C3、在等腰ABC 中，腰长 10 厘米，底边长 16 厘米，点 P 在底边上以 0.5 厘米/秒的速度从点 B 向

15、点 C 移动当点 P运动到 PA 与腰垂直的位置时，点 P 的运动时间为秒二、经典例题解析1、 如图，在ABC 中， ABAC=4，BC6， BADE ，点 D、E 分别在 BC、AC 上（点 D 与 B、C 不重合）， 设 BD x ，AE y ，求 y 关于 x 的函数解析式及 x 的取值范围。1、 如图：在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B = 90°，DHBC 于 H，AB = 6，BC = 16，DC = 10，线段 BC 上有一动点 E（不与点 C 重合），过点 E 作 EF DC 交线段 DC 于点 F.（1） 求 CH 的长；（2） 设 BE = x，EF = y，

16、求 y 关于 x 的函数解析式及 x 的取值范围；（3） 当以 E、F、C 为顶点的三角形与ABE 相似时，求 BE 的长.3、如图，在 RtABC 中， ACB=90 o，AB =10，AC=6，点 E、F 分别是边 AC 、BC 上的动点，过点 E 作 ED AB 于 点 D，过点 F 作 FGAB 于点 G，DG 的长始终为 2（1）当 AD=3 时，求 DE 的长；（2）当点 E、F 在边 AC、BC 上移动时，设AD =x，FG =y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）在点 E、F 移动过程中， AED 与CEF 能否相似， 若能，求 AD 的长；若不能，请说

17、明理由CEFAD G B4、已知在梯形 ABCD 中，ADBC，AD BC ，且 BC =6 ，AB=DC=4，点 E 是 AB 的中点（1） 如图 3，P 为 BC 上的一点，且 BP=2求证：BEPCPD；（2） 如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、C 不重合），且满足 EPF=C，PF 交直线 CD 于点 F，同时交直 线 AD 于点 M，那么当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP = x ，DF= y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；当SDDMF9= S4DBEP时，求 BP 的长ADEBPC5、（2009 闸北 22 题）（本题满分 10

18、分，第（1）小题满分 3 分，第（2）小题满分 7 分） 如图七，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形，CBOA，OA=7，AB=4，COA=60°，点 P 为 x 轴上的个动点，但是点 P 不与点 0、点 A 重合连结 CP， D 点是线段 AB 上一点，连结 PD.(1)求点 B 的坐标；(2)当CPD=OAB，且BD 5= ，求这时点 P 的坐标. AB 86、如图，已知在ABC 中， AB=AC=8，cosB= 连接 EF（1） 如果 BE=4，求 CF 的长；（2） 如果 EFBC ，求 EF 的长58，D 是边 BC 的中点，点 E、F 分在边 AB、AC 上，

19、且EDF= B ，7、（徐汇 2009 年 25 题）如图， DABC 中， AB=AC =10 ， BC =12 ，点 D 在边 BC 上，且 BD =4 ，以点 D为顶点作ÐEDF=ÐB ，分别交边 AB 于点 E ，交射线 CA 于点 F （1）当AE=6 时，求 AF 的长；（2）当以点C为圆心CF长为半径的C和以点A为圆心AE长为半径的A相切时，求BE的长；（3）当以边AC为直径的O与线段DE相切时，求BE的长AAEFBDC BDC知识总结：补 充：关于“一线三等角”图形的提炼及变式：总结：在教学中要突出重点、深化学生对于 “一线三等角”模型的理解；把握难点：“一

20、线三等角”模型变式；通过问题建构，关注课堂再生资源的挖掘，引导学生对于几何综合习题的有效分解具体的1 在教学中通过“回忆旧知” 环节的师生互动过程让 95% 学生掌握解函数型综合题需要的必备知识储备2 在教学中通过一个“ 一线三等角”模型综合题的有效分析引导过程，让 95% 的学生树立几何型综合题的解决的 信心，让 75%的学生能够顺利解决前两小题，培养更多的学生具备解决最后压轴点一小题的能力3 在教学中通过有效分解策略的实施，打破他们对综合题的畏惧心理，让同学们加深对于题目条件的使用：条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力，在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试

21、着加 强解后反思与培养他们欣赏试题的能力【课后作业】1、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，P 是射线 CD 上一动点. 将一把三角尺的直角顶点与 P 重合，一条直角边始 终经过点 B，另一条直角边所在直线与射线 AD 相交于点 E. 设 CP=x，DE=y.（1） 当点 P 在线段 CD 上时，求证： BPC PED ；（2） 当点 P 在线段 CD 的延长线上时，求 y 与 x 的函数解析式及自变量 x 的取值范围；（3） 当 DE=1 时，求 CP 的长.2、如图，在矩形 ABCD中， E为 AD的中点， EF EC交 AB于点 F，联结 FC ( AB >AE )（1） A

22、EF 与 EFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设AABB=k，是否存在这样的 k 值，使得 AEF BFC？若存在，证明你的结论并求出 k 的值；若不存在，请说明理由3、等腰ABC，AB=AC=，BAC=120° ，P 为 BC 的中点，小慧拿着含 30° 角的透明三角板，使 30°角的顶点落在 点 P，三角板绕 P 点旋转（1） 如图 a，当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时求证：BPECFP ；（2） 操作：将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E、F1 探究：

23、BPE 与CFP 还相似吗？（只需写出结论）2 探究：连结 EF，BPE 与PFE 是否相似？请说明理由；3 设 EF=m ，EPF 的面积为 S，试用 m 的代数式表示 S 4、如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上(与端点不重合 )，点 F 在射线 DC 上（1 ）若 AF=AE，并设CE=x，AEF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（2 ）当 CE 的长度为何值时，AEF 和ECF 相似（3 ）若DCE=14，延长 FE 与直线 AB 交于点 G，当 CF 的长度为何值时， EAG 是等腰三角形？ FD CCEBB5、 如图，在ABC 中，AC =BC=2，C=900，点D 为腰 BC 中点，点 E 在底边 AB 上，且 DE AD,则 BE 的长为 .6、 如图，ABC 中，ACB=90°，A=60 °，AC=2，CDAB，垂足为 D.任意作EDF=60°，点 E、F 分别在 AC、BC 上. 设 AE=x ， BF=y.（1）求 y 关于 x 的函数关系式，并指出它的定