2022年2022年《直线的交点坐标和距离公式》导学案

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载3.3 直线的交点坐标与距离公式导学案【学习目标】1. 直线和直线的交点,二元一次方程组的解；2把握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简洁的几何问题；3. 懂得点到直线距离公式的推导,娴熟把握点到直线的距离公式,会用点到直线距离公式求解两平行线距离；【导入新课】用大屏幕打出直角坐标系中两直线,移动直线,让同学观看这两直线的位置关系；课堂设问一：由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那假如两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系？新授课阶段1. 两直线的交点坐标的求法假如两条直线相交,联立方程组求,交点坐标与二元一次方程组的为

2、一一对应的；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 如二元一次方程组有唯独解,l1 与 l 2 相交；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 如二元一次方程组无解,就l1 与 l2 平行；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.如二元一次方程组有很多解,就l1 与 l2 重合；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 1 求以下两直线交点坐标：l1 ：3x+4y-2=0 ；l2 ： 2x+y +2=0 ；解：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习

3、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2 已知 a 为实数,两直线l1 ： axy10 , l 2 ： xya0 相交于一点,求证精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载交点不行能在第一象限及x 轴上 .分析：解：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 两点间距离公式的推导平面直角坐标系中两点p1、 p2 的距离p1p22x2x2y2y12；过 p1、 p2 分别向 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载轴和 y 轴作垂线,垂足分别为n10,y1,m 2x2,0,直线p1 n1与p2m 2 相交于点q；精品学习资料精

4、选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在直角p1p2q 中,2p1p22p1qqp22,为了运算其长度,过点p1 向 x 轴作垂线,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载垂足为m1x1,0过点p2 向 y 轴作垂线,垂足为n20,y2,于为有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2p1q2m 2 m 122x2x1,qp22n1n22y2y1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以,2p1p2

5、2p1q22qp2= x2x12y2y1；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由此得到两点间的距离公式例 3以知点 a（ -1,2）,b（ 2,7）,在 x 轴上求一点,使papb 、并求 pa 的值；解：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和；分析：证明：3. 点到直线距离公式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在平面直角坐标系中,假如已知某点p 的坐标为x0 、 y0 ,直线 0 或 b 0 时,以上精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载公式 l: a

6、xbyc0 ,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点p 到直线 l 的距离呢 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设点 p 到直线 l 的垂线段为pq,垂足为q,由y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pq l 可知,直线pq 的斜率为b （ a0）,依据点arpx0 、y0d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载斜式写出直线pq 的方程, 并由 l 与 pq 的方程求出点oq 的坐标；由此依据两点距离公式求出pq,得到点 p 到直线 l 的距离为d此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨另一种方法qsl x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方案二：设a

7、0, b0,这时 l 与 x 轴. y 轴都相交,过点p 作 x 轴的平行线,交l 于点r x1 、 y0 ；作 y 轴的平行线,交l 于点 s x0 、 y2 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1 x1由ax0by0by2c0c0 得 x1by0ac、 y2ax0c.b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以, px0x1 ax0by0c a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 psy0y2 ax0by0c b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资

8、料精选学习资料 - - - 欢迎下载 spr 2ps2a2b 2ab× ax 0by 0c 由三角形面积公式可知：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载d · s p ·ps所以可证明,当a=0 时仍适用得到：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点 p x0 、 y0 到直线l : axbyc0 的距离为：dax0by0ca2b2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 5 求点 p=（ -1, 2）到直线3x=2 的距离；解：例 6 已知点 a（ 1, 3）, b（ 3, 1）, c（ -1, 0）,求三角形abc 的面积；解：精品学习

9、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.平行线间的距离公式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知两条平行线直线l1 和 l 2 的一般式方程为l1 ： axbyc10 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载l 2 ： axbyc20 ,就l1 与 l2 的距离为 dc1c2a2b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 7 求两平行线l1 ： 2 x3 y80 , l 2 ： 2 x3 y100 间的距离；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：课堂小

10、结1. 直线与直线的位置关系,求两直线的交点坐标,能将几何问题转化为代数问题来解决,并能进行应用；2. 两点间距离公式的推导,以及应用,要懂得用代数的方法解决几何问题,建立直角坐标系的重要性；3. 点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式；作业见同步练习部分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载拓展提升精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1已知直线 3x2 y30 和 6 xmy10 相互平行, 就它们之间的距离为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. 4b.21

11、313513c.26713d.26精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.过点 a1、2 且与原点距离最大的直线方程为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a x2 y50b 2 xy40c. x3 y70d 3xy50精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.已知直线l 1 的方程为ax-y+b 0、l 2 的方程为bx-y-a 0ab0a、 b ,就以下各示意图形中,正确选项 4直线 y3 x 绕原点逆时针旋转90 ,再向右平移个单位,所得到的直线为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. y1 x1b. y1 x1c. y3x3d. y1 x1精品

12、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3333精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5如动点ax1、 y1 .bx2 、 y2 分别在直线l1 ： xy70 和 l 2 ： xy50 上精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载移动,就ab 中点 m 到原点距离的最小值为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 32b 23c 33d 42精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6点 a（ 1, 3）, b（ 5, 2）,点 p 在 x 轴上使 |ap| |bp|最大,就p 的坐标为（）a.4、0b. 13、0c. 5、0d. 1、0精品学习资料精选学习资料

13、- - - 欢迎下载7.过点p4、1 作直线 l 分别交 x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于点a .b ,当aob （ o精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为原点）的面积s 最小时,求直线l 的方程,并求出s 的最小值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8.光线从 q2、0发出射到直线l ：x+y=4 上的 e 点,经 l 反射到 y 轴上 f 点,再经 y 轴精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载反射又回到q 点,求直线ef 的方程；9.在平面直角坐标系中,已知矩形abcd 的长为, 宽为, ab .ad 边分别在x 轴.y 轴的正半轴上,a 点与坐标原点重合

14、（如下列图） ；将矩形折叠, 使 a 点落在线段dc 上；（ 1）如折痕所在直线的斜率为k ,试求折痕所在直线的方程；（ 2）当23k0 时,求折痕长的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）当2k1 时,折痕为线段pq ,设 tk2| pq |21,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载试求 t 的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10. 过点 2、3的直线 l 被两平行直线l1 : 2 x5 y90、 l2: 2 x5 y70 所截得线段精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab 的中点

15、恰好在直线x 4 y10 上 、求直线 l 的方程 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载参考答案新授课阶段1. 两直线的交点坐标的求法交点坐标解例 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：联立方程组3x4y202x2y20精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得x=-2 , y=2所以 l1 与 l 2 的交点坐标为m （ -2, 2）,如下图所示：6y42-55x-2-4例 2分析：先通过联立方程组将交点坐标解出,再判定交点横纵坐标的范畴.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：解方程组如a 21a10 ,就 a 1. 当 a 1 时, a10 ,

16、a1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载此时交点在其次象限内.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由于 a 为任意实数时,都有a 21a 211 0,故 0a1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 a 1（否就两直线平行,无交点）, 所以,交点不行能在x 轴上,得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载交点 aa1a 21、1a1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 两点间距离公式的推导精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p1p22x2x22y2y1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3精品学习资料精选学习资料 -

17、 - - 欢迎下载解：设所求点p（ x, 0）,于为有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22x10222x207精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由p ap b得 x22 x5x24 x11解得x=1；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以,所求点p（ 1, 0）且pa22110222；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法二：由已知得,线段ab 的中点为 ,2,直线 ab 的斜率为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载k= 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 . 2精品学习

18、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载线段 ab 的垂直平分线的方程为y- .1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在上述式子中,令y=0,解得 x=1； 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以所求点p 的坐标为（ 1, 0）；因此 例 4分析： 第一要建立直角坐标系,用坐标表示有关量,然后用代数进行运算,最终把代数运算“翻译”成几何关系；数形之间的关系和转化,并从中归纳出应用代数问题解决几何问 题的基本步骤；证明：以顶点 为坐标原点, 边所在的直线为轴,建立直角坐标系,有（, ）；设（,） ,（,） ,由平行四边形的性质的点的坐标为（,）,由于22222222aba

19、,cda ,adbcbc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2acab, 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所 以 , 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 所以,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载上述解决问题的基本步骤可以归纳如下：第一步：建立直角坐标系,用坐标表示有关的量；其次步：进行有关代数运算；第三步；把代数结果“翻译”成几何关系；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 点到直线距离公式在平面直角坐标系中,假如已知某点p 的坐标为

20、x0 、 y0 ,直线 0 或 b 0 时,以上精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载公式 l: axbyc0 ,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点p 到直线 l 的距离呢 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设点 p 到直线 l 的垂线段为pq,垂足为q,由y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pq l 可知,直线pq 的斜率为b （ a0）,依据点arpx0 、y0d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载斜式写出直线pq 的方程, 并由 l 与 pq 的方程求出点oq 的坐标；由此依据两点距离公式求出pq,

21、得到点 p 到直线 l 的距离为d此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨别一种方法qsl x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方案二：设a0, b0,这时 l 与 x 轴. y 轴都相交,过点p 作 x 轴的平行线,交l 于点r x1 、 y0 ；作 y 轴的平行线,交l 于点 s x0 、 y2 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1 x1by0c0by0cax0c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由ax0by2得 x1、 y2.c0ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以, px0x1 a

22、x0by0c a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 psy0y2 ax0by0c b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 spr 2ps2a2b 2ab× ax 0by 0c 由三角形面积公式可知：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载d · s p ·ps精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 dax0by0c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2b 2可证明,当a=0 时仍适用得到：精品学习资料精选学习资料 - -

23、- 欢迎下载点 p x0 、 y0 到直线l : axbyc0 的距离为：dax0by0ca2b2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： d=3125精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载32023例 6解：设 ab 边上的高为h,就1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sabc =2ababh23121322 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab 边上的高h 就为点 c 到 ab 的距离；ab 边所在直线方程为y3x11331即 x+y-4=0 ；点 c 到 x+y-4=0 的距离为h1045h

24、=2,112精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因此, sabc =1225522精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.平行线间的距离公式推导过程：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明：设p0 x0 、 y0 为直线 axbyc20 上任一点,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就点 p0 到直线 axbyc10 的距离为 dax0by0c1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又ax0by0c 20a2b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

25、迎下载即 ax0by 0c1c2c2 , da2b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 x3 y100 的距离 .例 7精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：由于l1 l 2 又 c18、c 210 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由两平行线间的距离公式得d81023精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载223213拓展提升精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. d2. a3.d4.a5. a6.b7设 a a、0、b0、b、 a、b>0、 就直线 l 的方程为：xay1, 又p

26、4、1 在直线bl 上,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载411 ,又14aba124 、ab bab16、s1 ab28 ,等号当且仅当精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载411 、 即aab28、 b2 时成立,直线l 的方程为： x+4y 8=0、smin=8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8解：设q 关于 y 轴的对称点为q1 ,就q1 的坐标为-2、0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选

27、学习资料 - - - 欢迎下载设 q 关于 l 的对称点为q 2m 、 n,就 qq 中点为 g m2 、 n , g 在 l 上精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2m2n224 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22n又 qq2l 、1m2由得 q2 4、 21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由物理学学问可知,q1 . q2 在直线 ef 上,1kefkq q1 23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载直线 ef 方程为 : y x2 ,即 x3 y2031精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9.解： 1当 k0 时、此时 a 点与 d 点重合 、 折痕所在的直线方程y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 k0 时,将矩形折叠后a 点落在线段dc 上的点记为g a、1 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 a 与 g 关于折痕所在的直线对称,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载有 kogk11k1ak a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 g 点坐标为 g k、1 ,从而折痕所在的直线与og 的交点坐标精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（线段 og 的中点）为m k 、 1精品学习资料