三角公式及推导(祥尽解释)

1、三角公式及推导(祥尽解释)时间：2021.03. 12创作：欧阳文1诱导公式：常用的诱导公式有以下几组:公式一:设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin (2k n + a )= sin acos (2k 兀 + a )= cos atan (2k n + a )= tan acot (2k n + a )=cot a公式二：设a为任意角，Ji + a的三角函数值与a的三角函数值之 间的关系：sin ( n + a ) = sin acos ( Ji + a ) = cos atan ( h + a ) =tana cot ( h + a ) =cot a公式三：任意角a与-a

2、的三角函数值之间的关系:sin ( a ) = sin a cos ( a ) =cos a tan ( a ) = tan a cot (a ) = cot a公式四:利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的关系： sin ( Ji a cos ( h a tan ( n a cot ( n a)=sina)=cos a)=t an a)=cot a公式五：利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系：sin (2 h a ) = sin acos (2 h a ) =cos a tan (2 h a ) = tanacot (2 H a ) = cot a公式

3、六：n/2土 a及3n/2±a与a的三角函数值之间的关系:sin(n /2 + a ) =cos acos(n /2 + a ) = sinatan(n /2+ a ) =cot acot(n /2 + a ) =tanasin(n /2 a ) =cos acos(n /2 a ) =sin atan(n /2 a ) =cot acot(n /2 a ) =tanasin(3 n /2+ a ) =cos acos(3 n /2+ a ) =sinatan(3 n /2+ a ) =cot acot(3 n /2+ a ) =tanasin(3 n /2 a ) =cos aco

4、s(3 n /2 a ) = sinatan(3 n /2 a ) =cot acot (3 n /2 a ) =tana（以上kGz）诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于kn /2± a （kez）的个三角函数值， 当k是偶数时，得到a的同名函数值，即函数名不改 变； 当k是奇数时，得到a相应的余函数值，即sincos;cosf sin; tancot, cot-tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把a看成锐角时原函数值的符号。（符号看彖限）上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把a视为锐角时，角k - 360° +a（kez） ,

5、 -a、180° ± a , 360° -a所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个彖限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦"这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“一”；第三象限内切函数是“ + ”，弦函数是“一”:第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“一” 公式七：额外的定义2-一同角三角函数基本关系1同角三角函数的基本关系式倒数关系：tan a cot a =1sin a esc a =1cos a sec

6、a =1商的关系：sin a /cos a =tan a =sec a /esc acos a /sin a =cot a =csc a /sec a平方关系：sirT2( a ) +cos“2( a ) =1l + tan*2( a ) =sec*2(a )l + cot"2 (a ) =csc 2 ( a )证明：同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边 形为模型。（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相 邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线

7、两端的三 角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点 上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平 方。3-两角和差公式2 两角和与差的三角函数公式sin ( a + 3 ) =sina cos B +cos a sin B sin (aB) =sina cos B cos a sin P cos ( a + B ) =cos a cos B sin a sin B cos ( a B ) =cos a cos B +sin a sin Btan a +tan B1 tan a tan Btan a tan Btan ( a 0 )=1

8、 + tan a tan B和差公式的证明：(1)两角差的余弦令 AO=BO=r点的横坐标为5聲点力的纵坐标为儿=点E的横坐标为八)'C xs ncrex点$的纵坐标为力="in0皿'=(儿一儿)'+(心一勺)= (rshm-rsin/7)2+(rcos/7- r cos ay=r2 sin2 a + r2 sin0 2r2 sin a sin 0 + r2 cos2 a + r2 cos2 0 2r cos a cos 0=r2 (sin' a + sin' 0-2sinasin0 + cos a + cos2 0-2cosacos0)=r2

9、 (sin2 <z + cos a + sin2 0 + cos 0-2sinasin0-2cosacos0)=r2 l + l-2(sintzsin 0 + cosacos0)=r2 2-2 ( sin a sin 0 + cos a cos 0)=2r2 1 - (sin a sin 0 + cosacos0)由余弦公式可得:综上得:cos(a-0) = sin i/sin 0+cos a cos p两角和的余弦两角和的正弦两角差的正弦（5）两角和的正切两角差的正切4-二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幕缩角公式） 表示一:sin2 a =2sin a cos a证明： 因为

10、 sin( + )=sin cos +cos sin , 令所以，可得：sin2卜2| |sin| cos| 表示二:（以正切表示二倍角）2tan亠二csinz"n口 Ai1+t an"明:cos2=2tan (sec2 )sins in2 2sin cos 二2cos_ 2tanl+ta余弦二倍角公式:2sin"2(a )l-tan29证明：因为由和角公式：cos(+ )=cos cos sin sin ，令 二 二cos2二 cos'sin2=2cos1二 12sin2所以，可得:表不二:1 tan2C 0 szCnAA1+t an"明:2l

11、+tan21 tarT1 =1. 2cos2 2cos1 二 sec22tan at an2 a =I-tan"2 ( a )证明：因为由和角公式：tan(tan +tan1 tan tan所以，可得:2tantan21 tan 結論：利用tan 可以將sin2 , cos2 , tan2表示出來,整理如下：（a） sin22tanl+ta£(b) cos21 t arf1+t an22tan(/ 、2tan用三角形直观表示如下：（图）(c) tan2 二6-半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幕扩角公式）1cos a或：sirf2(a/2)=21 cos atan2(

12、a /2)=1 + cos a7万能公式万能公式推导附推导：sin2 a 二2sin a cos a 二2sin a cos a /(cos'2 ( a ) +sin"2 ( a )*,(因为 cos"2(a )+sirT2(a )=1)再把*分式上下同除cos"2( a ),可得sin2 a =tan2 a /(1 + tan*2( a )然后用a/2代替a即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比 余弦得到。8-一三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式(a)sin3 二 3sin4sin3證明：sin3 二 sin( +2)=sinco

13、s2+cos sin2二sin (1 2sin2)+cos(2sincos )二sin (1 2sin2)+2sincos'二sin (1 2sin2 )+2sin (1 sin2 )=3sin4sin3(b)cos3=4cos33cos證明：cos3 二cos (+2)=coscos2sinsin2=cos(2cos-1)sin(2sinCOS )二 cos(2cos-1)2sin2COS二 cos(2cos21)2(1cos2 ) cos二 4cos°3cossin3 a = 3sin a 4sin“3 ( a )cos3 a =4cos“3 ( a ) 3cos a3t

14、an a tan3( a )t an3 a =1 3tan*2 ( a )三倍角公式推导附推导：tan3 a =sin3 a /cos3 a=(sin2 a cos a +cos2 a sin a ) / (cos2 a cos a - sin2 a sin a )=(2sin a cos"2 ( a ) +cos"2 ( a ) sin a sir/3(a )/(cos“3(a ) cos a sir/2(a ) 2sin*2 ( a ) cos a )上下同除以cos八3(a),得：tan3 a = (3tan a tan*3(a )/(l3tan*2( a ) sin

15、3 a =sin(2 a + a ) =sin2 a cos a +cos2 a sin a=2s in a cos"2(a ) + (1 2sir/2(a ) sin a=2sina 2sin 3( a ) +sina 2sin*2(a )= 3sina 4sirT3(a )cos3 a =cos (2 a + a ) =cos2 a cos a sin2 a sin a=(2cos 2 ( a ) 1) cos a 2cos a sin"2(a )= 2cos 3 ( a ) cos a + (2cos a 2cos 3 ( a )= 4cos 八 3(a ) 3cos

16、 a即sin3 a = 3sin a 4sin"3 ( a )cos3 a =4cos 3 ( a ) 3cos a三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3元减4元3角(欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)余弦三倍角：4元3角减3元(减完之后还有“余”) 注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。9 一-积化和差公式积化和差公式推导附推导：首先,我们矢口道 sin(a+b) =sina*cosb+cosa*sinb, sin(ab)二sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b) +sin(ab) =2s

17、ina*cosb所以，sina*cosb= (sin(a+b) +sin(ab)/2同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb= (sin (a+b) -sin (a-b)/2同样的，我们还知道 cos (a+b)二cosa*cosb-sina*sinb, cos (ab)二cosa*cosb+sina*sinb所以，把两式相加，我们就可以得到cos (a+b) +cos (a-b)二2cosa*cosb所以我们就得到，cosa*cosb二(cos (a+b) +cos (ab) /2欧阳文创编同理，两式相减我们就得到sina*sinb=- (cos (a+b) -cos (a b)/2这样

18、，我们就得到了积化和差的四个公式：sina*cosb二(sin(a+b)+sin(ab)/2cosa*sinb二(sin(a+b)-sin (ab)/2cosa*cosb二(cos(a+b)+cos(ab)/2sina*sinb二-(cos(a+b)-cos(&-b)/2也可以这样证：10和差化积公式和差化积的公式推导：好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可 以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b 设为 x, a-b 设为 y,那么 a二(x+y)/2, b= (xy) /2把a, b分别用x, y表示就可以得到和差化积的四个公式：sinx+siny二2

19、sin(x+y)/2)*cos(xy)/2)sinx-siny二2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy二2cos(x+y)/2)*cos(xy)/2)cosx-cosy二一2sin(x+y)/2)*sin(xy)/2)11辅助角公式ba sin a+h cos a = J a? +1, sin(a + (p)。的象限由"tan(p = - 其屮 a，的符号确定。12任意三角形面积公式:C13一-余弦定理：Z任意三角形一角於器訂两邻边的平方和减对边的平方 之差与两邻边确勺两族证明：/,，如 FigureII, c人（证完）14-一正弦定理如 Figure I

20、II,A(a) cos2 二 cos' sirT =2cos2 1=1 2sin2(b) cos =2cos 1=1 2sirT丁(c) cos"=1+C72，si罗2 18： 一些常用的高次方降次一-有用的公式：(a)sin! +cos' 二(sin'2 2 +cos ；2sin2 cos2二1 2sinoc cos"(b) sin6 +cos6 二(sin'+cos= )33sin2 cos2(sin2+cos2 )=13 sin2 cos2(c)tan+cot 二 1sin cos.c(d) (sin cos )'二 sin2s

21、in" +cos 2sin cos =1 sin219：三角函数公式集中记忆表：和差的三角函数差sin(a ± 0) = sin a cos 0 ± cos a sin 卩 cos(a ± 0) = cos a cos 卩+sin a sin 0 tan(a±/7)=恰叱 土 tan01 + tan a tan 0sin a cos 0 = sin(cr + 0) + sin(a - 0)cos a sin 0 = sin(a + 0) _ sin(a 一 0)cos a cos P = cos(<z + 0) + cos(a _ 0)

22、2sin a sin 0 = _*cos(a + 0)_cos(a_0) 证明：sin(a + 0) = sin a cos 卩 + cos a sin 0 sin(a - Z?) = sin a cos p - cos a sin p ?倍角、半角的三角函数sin2tz = 2sintzcos6Zcos 2a = cos' a-sin2 a = 2 cos2 a- = l-2sirr只2 tan atan 2a =；1-tan avcosa = l-2sin2? a 1 + cosa . cos* 2“ a/ cos a = 2 cos' 12将上面两式左右两迪分别相除，得:7 a l-cosa tun =2 1+cosa.a , /I-cosasinT = ±+，得sin(a + 0) + sin(<z 一 0) = 2 sin a cos 卩:.sin a cos P = - sin(a + 0) + sin(tz 一 0)2-得：sin(a + 0)-sin(a-0) = 2 cos fz sin 0/. cos a sin P = -