高考数学二轮复习专题26 平面向量（知识梳理）（文）（原卷版）

1、1 / 8 专题专题 26 平面向量平面向量（知识梳理）（知识梳理） 一、一、向量的概念及表示向量的概念及表示 1、向量的概念：、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。 (1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 (2)向量的表示方法： 具有方向的线段，叫做有向线段，以a为始点，b为终点的有向线段记作ab ，ab的长度记作| ab。用有向线段ab表示向量，读作向量ab； 用小写字母表示：a、b。 (3)向量与有向线段的区别和联系： 向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的

2、向量； 有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段； 向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。 2、向量的模：、向量的模：向量ab的大小长度称为向量的模，记作| ab。 3、零向量：、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作0。 4、单位向量：、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量a共线的单位向量|0aaa=。 5、平行向量：、平行向量：(1)若非零向量a、b的方向相同或相反，则ba/，又叫共线向量； (2)规定0与任一向量平行。 6、共线向量与平行向量关系：、共线向量与平行

3、向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。 7、相等向量：、相等向量：若非零向量a、b方向相同且模相等，则向量a、b是相等向量。 (1)相等向量：ba =模相等，方向相同； (2)相反向量：ba=模相等，方向相反。 二、向量的加法二、向量的加法 1、三角形法则、三角形法则 原理 已知向量a、b，在平面上任取一点a，作aab =，bbc =，再作向量ac，则向量ac叫做a与b的和(或和向量)，记作ba +，即acbcabba=+=+。 2 / 8 图示 2、平行四边形法则、平行四边形法则 原理 已知两个不共线向量a、b，作aab =，bbc

4、 =，则a、b、d三点不共线，以ab、ad为邻边作平行四边形，则对角线上的向量baac+=，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。 图示 3、多边形法则、多边形法则 原理 已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。 图示 4、向量加法的运、向量加法的运算律算律 运算律 交换律 abba+=+ 结合律 )()(cbacba+=+ 三、向量的减法三、向量的减法 1、相反向量：、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。 (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；

5、(2)aa =)(； (3)0)()(=+=+aaaa； (4)若a与b互为相反向量，则ba=，ab=，0=+ ba。 2、向量的减法：、向量的减法：已知向量a与b(如图)，作aoa =，bob =，则abab=+，向量ba叫做向量a与b的差，并记作ba ，即oboababa=，由定义可知： (1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量； (2)一个向量ba等于它的终点相对于点o的位置向量oa减去它的始点相对于点o的位置向量ob，或简记为“终点向量减始点向量”； 3 / 8 (3)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。 四

6、、数乘向量四、数乘向量 1、数乘向量的定义：、数乘向量的定义：实数和向量a的乘积是一个向量，记作a。 (1)长度：|aa=， (2)方向：a(0a)的方向：当0时，与a同方向；当0时，与a反方向。 特别地，当0=或0=a时，00=a或00 =，a中的实数叫做向量a的系数。 (3)几何意义：就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小。 (4)运算律：设、r，则aaa+=+)(，aa)()(=；baba+=+)(。 2、向量的线性运算：、向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算。 3、两个非零向量、两个非零向量a、b的夹角：的夹角：已知非零向量a与b，记ao

7、a =、bob =，则=aob (0)叫做a与b的夹角。 4、平面向量数量积、平面向量数量积(内积内积)的定义：的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是，则数量cos|ba叫a与b的数量积，记作ba，即有=cos|baba(0)。 规定0与任何向量的数量积为0。 5、向量、向量b在在a方向上的投影：方向上的投影：设为a、b的夹角，则cos|b为b在a方向上的投影。 投影也是一个数量，不是向量。当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当0=时投影为|b；当180=时投影为|b。 6、向量的数量积的几何意义：、向量的数量积的几何意义：数量积ba等于a的长度与b在a方向上

8、投影cos|b的乘积。 7、向量的运算：、向量的运算： 运算 向量形式 坐标形式： )(11yxa，=、)(22yxb，= 加法 求两个向量和的运算 平行四边形法则： 起点相同，对角线为向量和， 记：acadab=+。 三角形加法法则： 首尾相连，记：acbcab=+。 )(2121yyxxba+=+， 减法 求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差 三角形减法法则： )(2121yyxxba=， 4 / 8 起点相同的两个向量的差，箭头从后指向前，记：baoboa= 终点相同的两个向量的差，箭头从前指向后，记： bccaba= 运算律：交换律：abba+=+；结合律：)()(cbacba

9、+=+；aaa=+=+00+0。 数乘 实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，a是一个向量，|aa=。 方向：0时，a与a同向；0时，a与a反向；0=时，0=a。 )(11yxa=， 运算律：abba=；aa=)()(，)()()(bababa=； aaa+=+)(，baba+=+)(，cbcacba+=+ )(。 数量积 =bababa，cos| 2121yyxxba+= 五、向量的坐标运算五、向量的坐标运算 1、平面向量的正交分解：、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。 2、平面向量的坐标表示：、平面向量的坐标表示： (1)在平面

10、直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使jyi xa+=，把有序数对)(yx，叫做向量a的坐标，记作)(yxa，=，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示。 (2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；设)(11yxa，、)(22yxb，则)(1212yyxxab=，212212)()(|yyxxab+=。 (3)若o是坐标原点，设jyi xoa+=，则向量oa的坐标)(yx，就是终点a的坐标，即若)(yxoa，=

11、，则a点坐标为)(yx，反之亦成立。 3、线段的定比分点及、线段的定比分点及：设1p、2p是直线l上的两点，p是l上不同于1p、2p的任一点，则一定存在实数，使21pppp=，叫做点p分21pp所成的比。有三种情况： 0(内分) (外分)0(1) (外分) 0(01) (1)定比分点坐标公式：若点)(111yxp，)(222yxp，为实数，且21pppp=，则点p坐标为)11(2121+yyxx，我们称为点p分21pp所成的比。 (2)点p的位置与的范围的关系： 当0时，pp1与2pp同向共线，这时称点p为21pp的内分点； 5 / 8 当0(1)时，pp1与2pp反向共线，这时称点p为21p

12、p的外分点。 (3)若p分有向线段21pp所成的比为，点m为平面内的任一点，则+=121mpmpmp； 特别地p为21pp的中点221mpmpmp+=。 4、向量的重要定理、公式、结论：向量的重要定理、公式、结论： (1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用。 (2)三角形不等式：|bababa+。 (3)重要结论：若|baba=+，则ba 。 (4)向量的模：22|yxaaa+=； 非零向量a与b的夹角：222221212121|,cosyxyxyyxxbababa+=。 (5)非零向量)(11yxa，=、)(22yxb，=共线或垂直的坐标表示： 向量共线：ba/ba=122

13、1yxyx=； 向量垂直：ba 0=ba02121=+yyxx。特别地)|()|(acacababacacabab+。 (6)两个向量的数量积的性质：设a、b、c为两个非零向量，e是与a同向的单位向量。 =cos| aaeea； 当a与b同向时，|baba=；当a与b反向时，|baba=。 特别的22|aaaa=或aaa= |； 2222|)(babababa=+； 222222|2|2|)(bbaabbaababa+=+=+=+； 222222|2|2|)(bbaabbaababa+=+=。 |baba。 (7)向量共线定理和向量基本定理 向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量b与非零向量

14、a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ab=。 变形形式：已知直线l上三点a、b、p，o为直线l外任一点，有且只有一个实数，使得：oboaop+=)1 (。 6 / 8 平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)：若1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使2211eea+=。 (8)线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线l上三点1p、2p、p，且满足pppp21=(1)，在直线l外任取一点o，设aop =1，bop =2，可得babaop+=+=1111。 重要结论：若直线l上三点1p、2p、p，o为直线l外任一点， 则21opopop

15、+=1=+。 (9)在abc中： 重心中线的交点：重心将中线长度分成12：； 垂心高线的交点：高线与对应边垂直； 内心角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； 外心中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等。 若)(11yxa，、)(22yxb，、)(33yxc，重心坐标为)33(321321yyyxxxp+，。 若p为abc重心，则)(31acabap+=，)(31bcbabp+=，)(31cbcacp+=，0=+pcpbpa。 papcpcpbpbpa=p为abc垂心； 向量)|(acacabab+(0)所在直线过abc内心(是bac角平分线所

16、在直线)； 0|=+pbcapabcpcabp为abc内心； |pcpbpa=p为abc外心； p为abc内一点，0=+pccpbbpaa，则cbassspabpacpbc：=。 重要结论：cbaassabcpbc+=，cbabssabcpac+=，cbacssabcpab+=。 结论 1：对于abc内的任意一点p， 若pbc、pca、pab的面积分别为as、bs、cs，则： 0=+pcspbspascba。 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积。 结论 2：对于abc平面内的任意一点p，若点p在abc的外部，并且在bac的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有0=+pcspbspaspabpacpb