高考数学一轮复习第6节 双曲线

1、1 / 19 第第 6 节节 双曲线双曲线 考试要求 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 知 识 梳 理 1.双曲线的定义 平面内与两个定点 f1，f2(|f1f2|2c0)的距离差的绝对值等于常数(小于|f1f2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合 pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中 a，c 为常数且 a0，c0： (1)若 ac，则集合 p为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b21(a0，b0) y2a2x2b21(a0，

2、b0) 图 形 性 质 范围 xa 或 xa，yr xr，ya或 ya 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 a1(a，0)，a2(a，0) a1(0，a)，a2(0，a) 渐近线 ybax yabx 离心率 eca，e(1，) 实虚轴 线段 a1a2叫做双曲线的实轴，它的长度|a1a2|2a；线段 b1b2叫做双曲线的虚轴，它的长度|b1b2|2b；a叫做双曲线的实2 / 19 半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2a2b2 常用结论与微点提醒 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a. 2.离心率 ecaa2b2a1b2a2. 3.等轴双曲线的渐近线互

3、相垂直，离心率等于 2. 4.若渐近线方程为 ybax，则双曲线方程可设为x2a2y2b2(0). 5.双曲线的焦点到渐近线的距离为 b. 6.若 p 是双曲线右支上一点，f1，f2分别为双曲线的左、右焦点，则|pf1|minca，|pf2|minca. 7.焦点三角形的面积：p 为双曲线上的点，f1，f2为双曲线的两个焦点，且f1pf2，则f1pf2的面积为b2tan 2. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)平面内到点 f1(0，4)，f2(0，4)距离之差的绝对值等于 8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点 f1(0，4)，f2(0，4)距离之差等

4、于 6的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( ) (4)双曲线x2m2y2n2(m0，n0，0)的渐近线方程是xmyn0.( ) (5)若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)与x2b2y2a21(a0，b0)的离心率分别是 e1，e2，则1e211e221.( ) 解析 (1)因为|mf1|mf2|8|f1f2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部. 3 / 19 (3)当 m0，n0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线，而 m0，n0 时则表示焦点在 y 轴上的双曲线. 答案 (1) (2)

5、 (3) (4) (5) 2.(老教材选修 21p62a6 改编)经过点 a(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_. 解析 设双曲线方程为：x2y2(0)，把点 a(3，1)代入，得 8，故所求双曲线方程为x28y281. 答案 x28y281 3.(老教材选修 21p61a1 改编)已知双曲线 x2y2161 上一点 p 到它的一个焦点的距离等于 4，那么点 p到另一个焦点的距离等于_. 解析 设双曲线的焦点为 f1，f2，|pf1|4，则|pf1|pf2|2，故|pf2|6 或2，又双曲线上的点到同侧焦点的距离的最小值为 ca 171，故|pf2|6. 答案 6 4.(201

6、9 北京卷)已知双曲线x2a2y21(a0)的离心率是 5，则 a( ) a. 6 b.4 c.2 d.12 解析 由双曲线方程x2a2y21，得 b21，c2a21. 5e2c2a2a21a211a2. 结合 a0，解得 a12. 答案 d 5.(2019 全国卷)已知 f 是双曲线 c：x24y251 的一个焦点，点 p 在 c 上，o为坐标原点.若|op|of|，则opf 的面积为( ) a.32 b.52 c.72 d.92 4 / 19 解析 由 f是双曲线x24y251的一个焦点，知|of|3，所以|op|of|3. 不妨设点 p在第一象限，p(x0，y0)，x00，y00， 则

7、x20y203，x204y2051，解得x20569，y20259，所以 p2 143，53， 所以 sopf12|of| y01235352. 答案 b 6.(2019 江苏卷)在平面直角坐标系 xoy 中，若双曲线 x2y2b21(b0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_. 解析 因为双曲线 x2y2b21(b0)经过点(3，4)，所以 916b21(b0)，解得 b2，即双曲线方程为 x2y221，其渐近线方程为 y 2x. 答案 y 2x 考点一 双曲线的定义及应用 【例 1】 (1)(2020 滨州质检) x2（y3）2 x2（y3）24表示的曲线方程为( ) a.x24y

8、251(x2) b.x24y251(x2) c.y24x251(y2) d.y24x251(y2) (2)(2019 长春质检)双曲线 c 的渐近线方程为 y2 33x，一个焦点为 f(0，7)，点 a( 2，0)，点 p 为双曲线第一象限内的点，则当点 p 的位置变化时，paf周长的最小值为( ) a.8 b.10 c.43 7 d.33 17 解析 (1)x2（y3）2的几何意义为点 m(x，y)到点 f1(0，3)的距离，x2（y3）2的 几 何 意 义 为 点 m(x ， y) 到 点 f2(0 ， 3) 的 距 离 ， 则x2（y3）2 x2（y3）24 表示点 m(x，y)到点 f

9、1(0，3)的距离与到5 / 19 点 f2(0，3)的距离的差为 4，且 40，b0)的左、右焦点分别为 f1，f2，实轴长为 6，渐近线方程为 y13x，动点 m 在双曲线左支上，点 n 为圆 e：x2(y 6)21上一点，则|mn|mf2|的最小值为( ) a.8 b.9 c.10 d.11 (2)(2019 济南调研)已知圆 c1：(x3)2y21 和圆 c2：(x3)2y29，动圆 m同时与圆 c1及圆 c2相外切，则动圆圆心 m 的轨迹方程为_. 解析 (1)由题意知 2a6，则 a3，又由ba13得 b1，所以 ca2b210，则 f1( 10，0).根据双曲线的定义知|mf2|

10、2a|mf1|mf1|6，所以|mn| |mf2| |mn| |mf1| 6 |en| |mn| |mf1| 5|f1e| 5 （ 10）2（ 6）259，当且仅当 f1，m，n，e 共线时取等号，故选b. (2)如图所示，设动圆 m 与圆 c1及圆 c2分别外切于 a和 b. 根据两圆外切的条件， 得|mc1|ac1|ma|， |mc2|bc2|mb|， 6 / 19 因为|ma|mb|， 所以|mc1|ac1|mc2|bc2|， 即|mc2|mc1|bc2|ac1|2， 所以点 m 到两定点 c1，c2的距离的差是常数且小于|c1c2|6. 又根据双曲线的定义，得动点 m 的轨迹为双曲线的

11、左支(点 m 与 c2的距离大，与 c1的距离小)， 其中 a1，c3，则 b28. 故点 m 的轨迹方程为 x2y281(x1). 答案 (1)b (2)x2y281(x1) 考点二 双曲线的标准方程 【例 2】 (1)(一题多解)(2020 东北三省四校联考)经过点(2，1)，且渐近线与圆 x2(y2)21相切的双曲线的标准方程为( ) a.x2113y2111 b.x22y21 c.y2113x2111 d.y211x21131 (2)(2019 青岛二模)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 f1，f2，点 p(2， 3)在双曲线上，且|pf1|，|f1f2|，

12、|pf2|成等差数列，则该双曲线的方程为( ) a.x2y21 b.x22y231 c.x2y231 d.x216y241 解析 (1)法一 设双曲线的渐近线方程为 ykx，即 kxy0，由渐近线与圆x2(y2)21 相切可得圆心(0，2)到渐近线的距离等于半径 1，由点到直线的距离公式可得|k02|k211，解得 k 3.因为双曲线经过点(2，1)，所以双曲线的焦点在 x 轴上，可设双曲线的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，将(2，1)代入可7 / 19 得4a21b21，由4a21b21，ba 3，得a2113，b211，故所求双曲线的标准方程为x2113y2111. 法二 设双曲线

13、的方程为 mx2ny21(mn0)，将(2，1)代入方程可得，4mn1. 双曲线的渐近线方程为 ymnx， 圆 x2(y2)21的圆心为(0，2)，半径为 1， 由渐近线与圆 x2(y2)21 相切，可得21mn1，即mn3， 由可得 m311，n111，所以该双曲线的标准方程为x2113y2111，故选 a. (2)|pf1|，|f1f2|，|pf2|成等差数列， |pf1|pf2|4c. 点 p位于第一象限，|pf1|pf2|2a， |pf1|2ca，|pf2|2ca， cos pf2f14c2（2ca）2（2ca）24c（2ca）c2a2ca，又点 p(2， 3)在双曲线上， sin p

14、f2f132ca，c2a2ca23（2ca）21，化简得(c2a)23(2ca)2，即 c2a2b21，又4a23b21，a21，双曲线的方程为 x2y21，故选 a. 答案 (1)a (2)a 规律方法 1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在 x 轴还是 y 轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为x2m2y2n2(0)或 mx2ny21(mn0)，再根据条件求解. 8 / 19 2.与双曲线x2a2y2b21 有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x2a2y2b2(0). 【训练 2】 (1)(2019 昆明调

15、研)“0n2”是“方程x2n1y2n31 表示双曲线”的( ) a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 (2)(多填题)已知双曲线 e 与双曲线x24y291 共渐近线且经过点 p(2，3 5)，则双曲线 e的标准方程为_，顶点坐标为_. 解析 (1)若方程x2n1y2n31 表示双曲线，则(n1) (n3)0，解得1n3，则 0n2 的范围小于1n3，所以“0n0，b0)的左、右焦点，p 是双曲线 c 右支上一点，若|pf1|pf2|4a，且f1pf260 ，则双曲线 c的渐近线方程是( ) a. 3x y0 b.2x 7y0 c. 3x 2y0 d.

16、2x 3y0 解析 f1，f2是双曲线的左、右焦点，点 p 在双曲线右支上，由双曲线定9 / 19 义可得|pf1|pf2|2a，又知|pf1|pf2|4a，|pf1|3a，|pf2|a.在pf1f2中，由余弦定理的推论可得 cos 60 |pf1|2|pf2|2|f1f2|22|pf1| |pf2|，即12（3a）2a24c223aa， 3a210a24c2，即 4c27a2，又知 b2a2c2，b2a234，双曲线 c 的渐近线方程为 y32x，即 3x 2y0，故选 c. 答案 c 规律方法 双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线是令x2a2y2b20，即得两渐近线方程xayb0

17、.渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答. 角度 2 求双曲线的离心率 【例 32】 (2019 全国卷)设 f为双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，o 为坐标原点，以 of 为直径的圆与圆 x2y2a2交于 p，q 两点.若|pq|of|，则 c 的离心率为( ) a. 2 b. 3 c.2 d. 5 解析 设双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点 f 的坐标为(c，0).则 ca2b2，如图所示，由圆的对称性及条件|pq|of|可知，pq 是以 of 为直径的圆的直径，且pqof.设垂足为 m，连接 op，则|op|a，|om|mp|c2.在 rt

18、opm 中，|om|2|mp|2|op|2得c22c22a2，故ca 2，即 e 2. 答案 a 规律方法 求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)求 a，b，c 的值，由c2a2a2b2a21b2a2直接求 e. (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2c2a2消去 b，然后转化成关于 e 的方程(或不等式)求解. 10 / 19 角度 3 双曲线几何性质的综合应用 【例 33】 (1)已知 m(x0，y0)是双曲线 c：x22y21 上的一点，f1，f2是 c 的两个焦点，若mf1 mf20，b0)的左、右焦点，过f1的直线 l 与双曲线的左支交于点 a，与右支交于

19、点 b，若|af1|2a，f1af223，则saf1f2sabf2( ) a.1 b.12 c.13 d.23 解析 (1)因为 f1( 3，0)，f2( 3，0)，x202y201，所以mf1 mf2( 3x0，y0) ( 3x0，y0)x20y2030，即 3y2010，解得33y00，b0)的左、右焦点，p 为双曲线右支上任一点，若|pf1|2|pf2|的最小值为 8a，则该双曲线离心率 e 的取值范围是( ) a.(0，2) b.(1，3 c.2，3) d.3，) (3)(角度 3)(2019 长沙统一考试改编)已知 f1，f2分别是双曲线 c：y2x21 的上、下焦点，p 是其一条渐

20、近线上的一点，且以 f1f2为直径的圆经过点 p，则pf1f2的面积为_. 解析 (1)因为 2b2，所以 b1，因为 2c2 3，所以 c 3，所以 ac2b2 2，所以双曲线的渐近线方程为 ybax22x. (2)由双曲线定义可知|pf1|pf2|2a， |pf1|2a|pf2|， |pf1|2|pf2|（2a|pf2|）2|pf2|4a2|pf2|24a|pf2|pf2|4a2|pf2| |pf2| 4a2|pf2|4a2|pf2|4a8a，当且仅当|pf2|4a2|pf2|，即|pf2|2a时，等号成立. 12 / 19 |pf1|2|pf2|的最小值为 8a，|pf2|2a，|pf1

21、|4a. 点 p 在双曲线右支上，|pf1|pf2|f1f2|，当且仅当 p，f1，f2三点共线且点 p 为右顶点时等号成立，即 6a2c，e3，又e1，e(1，3，故选 b. (3)设 p(x0，y0)，不妨设点 p 在双曲线 c 的过一、三象限的渐近线 xy0 上，因此可得 x0y00.f1(0， 2)，f2(0， 2)，所以|f1f2|2 2，以 f1f2为直径的圆的方程为 x2y22，又以 f1f2为直径的圆经过点 p，所以 x20y202.由x0y00，x20y202得|x0|1，于是 spf1f212|f1f2| |x0|122 21 2. 答案 (1)b (2)b (3) 2 a

22、级 基础巩固 一、选择题 1.(2018 浙江卷)双曲线x23y21的焦点坐标是( ) a.( 2，0)，( 2，0) b.(2，0)，(2，0) c.(0， 2)，(0， 2) d.(0，2)，(0，2) 解析 由题可知双曲线的焦点在 x 轴上，又 c2a2b2314，所以 c2，故焦点坐标为(2，0)，(2，0). 答案 b 2.(2018 全国卷)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 3，则其渐近线方程为( ) a.y 2x b.y 3x c.y22x d.y32x 解析 由题意知，eca 3，所以 c 3a，所以 bc2a2 2a，即ba2，所以该双曲线的渐近线方程为 yb

23、ax 2x. 答案 a 13 / 19 3.(2019 全国卷)双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130 ，则 c 的离心率为( ) a.2sin 40 b.2cos 40 c.1sin 50 d.1cos 50 解析 由题意可得batan 130 ， 所以 e1b2a2 1tan2130 1sin2130cos21301|cos 130 |1cos 50.故选 d. 答案 d 4.(一题多解)(2018 全国卷)已知双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为2，则点(4，0)到 c的渐近线的距离为( ) a. 2 b.2 c.3 22 d.2 2

24、解析 法一 由离心率 eca 2，得 c 2a，又 b2c2a2，得 ba，所以双曲线 c 的渐近线方程为 y x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到 c 的渐近线的距离为4112 2. 法二 离心率 e 2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 y x，点(4，0)到 c的渐近线的距离为4112 2. 答案 d 5.已知方程x2m2ny23m2n1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( ) a.(1，3) b.(1， 3) c.(0，3) d.(0， 3) 解析 方程x2m2ny23m2n1 表示双曲线， (m2n) (3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线

25、性质，知 c2(m2n)(3m2n)4m2(其中 c 是半焦距)， 14 / 19 焦距 2c22|m|4，解得|m|1， 1n0，b0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_. 解析 由题意得一个焦点为 f(5，0)，c5，ba2， 又 a2b2c2，所以 a25，b220， 所以双曲线方程为x25y2201. 答案 x25y2201 10.(多填题)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线为 2xy0，一个焦点为( 5，0)，则 a_；b_. 解析 由 2xy0，得 y2x，所以ba2. 又 c 5，a2b2c2，解得 a1，b2. 答案 1 2 11.设椭圆 c1的

26、离心率为513，焦点在 x 轴上且长轴长为 26，若曲线 c2上的点到椭圆 c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 c2的标准方程为_. 解析 由题意知椭圆 c1的焦点坐标为 f1(5，0)，f2(5，0)，设曲线 c2上的一点 p，则|pf1|pf2|8. 由双曲线的定义知，a4，b3. 故曲线 c2的标准方程为x242y2321. 即x216y291. 16 / 19 答案 x216y291 12.设双曲线x29y2161 的右顶点为 a，右焦点为 f.过点 f 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 b，则afb 的面积为_. 解析 a29，b216，故 c5. a(3

27、，0)，f(5，0)，不妨设直线 bf的方程为 y43(x5)， 代入双曲线方程解得 b175，3215. safb12|af| |yb|12 232153215. 答案 3215 b级 能力提升 13.(2020 长沙雅礼中学模拟)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点为f1，f2，在双曲线上存在点 p 满足 2|pf1pf2|f1f2|，则此双曲线的离心率 e的取值范围是( ) a.(1，2 b.2，) c.(1， 2 d. 2，) 解析 当 p 不是双曲线与 x 轴的交点时，连接 op，因为 op 为pf1f2的边f1f2上的中线，所以po12(pf1pf2)；当 p是双

28、曲线与 x轴的交点时，同样满足上述等式.因为双曲线上存在点 p 满足 2|pf1pf2|f1f2|，所以 4|po|2c，由|po|a，可知 4a2c，则 e2，选 b. 答案 b 14.(2020 德州模拟改编)已知双曲线 c：x216y2b21(b0)，f1，f2分别为 c 的左、右焦点，过 f2的直线 l 分别交 c的左、右支于点 a，b，且|af1|bf1|，则|ab|的值为_. 解析 由双曲线定义知|af2|af1|2a，|bf1|bf2|2a，由于|af1|bf1|，所以两式相加可得|af2|bf2|4a，而|ab|af2|bf2|，|ab|4a，由双曲17 / 19 线方程知 a

29、4，|ab|16. 答案 16 15.(2020 南昌联考)点 p 是椭圆x2a21y2b211(a1b10)和双曲线x2a22y2b221(a20，b20)的一个交点，f1，f2是椭圆和双曲线的公共焦点，f1pf23，则b1b2的值是_. 解析 不妨设 p是第一象限内的交点， |pf1|m，|pf2|n， 由椭圆的定义可知 mn2a1， 由双曲线定义可知 mn2a2， 由得 ma1a2，na1a2. 在f1pf2中，由余弦定理的推论可得， cos f1pf2m2n2（2c）22mn12， 即 m2n2mn4c2， (a1a2)2(a1a2)2(a1a2)(a1a2)4c2， 即 a213a224c2，又知 a21b21c2，a22b22c2， b21c23(c2b22)4c2，b213b22， 又知 b10，b20，b1b2 3. 答案 3 16.(2019 全国卷)已知双曲线 c：x2a2y2b21(