高考数学一轮复习第4章 第4节 三角函数的图象与性质

1、1 / 17 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 考试要求 1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间2，2内的单调性 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数 ysin x，x0,2图象的五个关键点是：(0,0)，2，1 ，(，0)，32，1 ，(2，0) 余弦函数 ycos x，x0,2图象的五个关键点是：(0,1)，2，0 ，(，1)，32，0 ，(2，1) 2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 ysin x

2、 ycos x ytan x 图象 定义域 r r x xk2，kz 值域 1,1 1,1 r 单调性 递增区间： 2k2，2k2， kz， 递减区间： 2k2，2k32， 递增区间： 2k，2k， kz， 递减区间： 2k，2k， kz 递增区间 k2，k2， kz 2 / 17 kz 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心 (k，0)，kz 对称中心 k2，0 ，kz 对称中心 k2，0 ，kz 对称轴 xk2(kz) 对称轴 xk(kz) 周期性 2 2 提醒：(1)正弦、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，ytan x无单调递减区间，ytan x 在整个定义域内不单调

3、 (2)求 yasin(x)的单调区间时，要注意 a 和 的符号尽量化成 0 的形式，避免出现增减区间的混淆 常用结论 1对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期 2函数具有奇、偶性的充要条件 (1)函数 yasin(x)(xr)是奇函数k(kz)； (2)函数 yasin(x)(xr)是偶函数k2(kz)； (3)函数 yacos(x)(xr)是奇函数k2(kz)； (4)函数 yacos(x)(xr)是偶函数k(kz) 一、易错易误辨析(正确的打“”，

4、错误的打“”) (1)正切函数 ytan x在定义域内是增函数( ) (2)已知 yksin x1，xr，则 y 的最大值为 k1.( ) (3)函数 ysin x 的图象关于点(k，0)(kz)中心对称( ) 3 / 17 (4)ysin|x|与 y|sin x|都是周期函数( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1若函数 y2sin 2x1 的最小正周期为 t，最大值为 a，则( ) at，a1 bt2，a1 ct，a2 dt2，a2 a t22，a211，故选 a. 2函数 ytan 2x 的定义域是( ) a.x xk4，kz b.x xk28，kz c.x x

5、k8，kz d.x xk24，kz d 由 2xk2，kz， 得 xk24，kz， ytan 2x的定义域为x xk24，kz. 3ysin2x4的单调递减区间是_ 38k，78k (kz) 由22k2x4322k，kz 得，38kx78k，kz. 4函数 y32cosx4的最大值为_，此时 x_. 5 342k(kz) 函数 y32cosx4的最大值为 325，此时 x42k，kz，即 x342k(kz) 4 / 17 考点一 三角函数的定义域 三角函数定义域的求法 (1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组) (2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图象或三角函数线 (3)对于函数

6、yatan(x)的定义域可令 xk2，kz 求解 1函数 y1tan x1的定义域为_ x x4k，且x2k，kz 要使函数有意义，必须有 tan x10，x2k，kz， 即 x4k，kz，x2k，kz. 故函数的定义域为x x4k，且x2k，kz. 2函数 ylg(sin x)cos x12的定义域为_ x 2kx32k，kz 函数有意义，则 sin x0，cos x120， 即 sin x0，cos x12， 解得 2kx2k(kz)，32kx32k(kz)， 所以 2kx32k(kz)， 5 / 17 所以函数的定义域为x 2kx32k，kz. 3函数 y sin xcos x的定义域为

7、_ x 2k4x2k54，kz 方法一：要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上 ysin x 和 ycos x 的图象，如图所示在0,2内，满足 sin xcos x 的 x 为4，54，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以原函数的定义域为x 2k4x2k54，kz. 方法二：sin xcos x 2sinx40，将 x4视为一个整体，由正弦函数 ysin x的图象和性质可知 2kx42k(kz)，解得 2k4x2k54(kz)，所以定义域为x 2k4x2k54，kz. 点评：若定义域中含 k 或 2k 应注明 kz. 考点二 三角函数的值域(最

8、值) 求三角函数的值域(最值)的三种类型及解法思路 (1)形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yasin(x)k的形式，再求值域(最值)； (2)形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如 yasin xcos xb(sin x cos x)c 的三角函数，可先设 tsin x cos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值) 典例 1 (1)已知函数 f(x)2 3sin2x2sin xcos x 3，则函数 f(x)在区间4，34上的值域是_ (2)(2019 全国卷)函数 f(x)sin2x

9、323cos x 的最小值为_ 6 / 17 (3)函数 ysin xcos xsin xcos x的值域为_ (1)(1,2 (2)4 (3)12 2，1 (1)f(x)2 3sin2x2sin xcos x 3 3(1cos 2x)sin 2x 3sin 2x 3cos 2x2sin2x3. 4x34， 62x376， 12sin2x31， 12sin2x32， 即函数 f(x)在区间4，34上的值域是(1,2 (2)f(x)sin2x323cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x1， 令 cos xt，则 t1,1 f(t)2t23t12t342178， 易知当 t1时

10、，f(t)min2123114. 故 f(x)的最小值为4. (3)设 tsin xcos x，则 t2sin2xcos2x2sin x cos x，sin xcos x1t22，且 2t 2. yt22t1212(t1)21，t 2， 2 当 t1时，ymax1； 当 t 2时，ymin12 2. 函数的值域为12 2，1 . 点评：对于函数 yasin(x)，令 tx，求出 t的范围，再根据 ysin t 的图象求 sin t 的值域，这是常用的方法 7 / 17 跟进训练 1函数 f(x)3sin2x6在区间0，2上的值域为_ 32，3 当 x0，2时，2x66，56， sin2x612

11、，1 ， 故 3sin2x632，3 ， 函数 f(x)在区间0，2上的值域为32，3 . 2函数 f(x)sin2x 3cos x34x0，2的最大值是_ 1 依题意，f(x)sin2x 3cos x34cos2x 3cos x14cos x3221， 因为 x0，2，所以 cos x0,1， 因此当 cos x32时，f(x)max1. 考点三 三角函数的单调性 求三角函数的单调区间 三角函数单调区间的求法 (1)将函数化为 yasin(x)或 yacos(x)的形式，若 0，借助诱导公式将 化为正数 (2)根据 ysin x 和 ycos x 的单调区间及 a的正负，列不等式求解 典例

12、21 (1)函数 f(x)3sin232x 的一个单调递减区间是( ) a.712，1312 b12，712 c.2，2 d56，6 (2)函数 y12sin x32cos xx0，2的单调递增区间是_ 8 / 17 (1)b (2)0，6 (1)f(x)3sin232x 3sin2x23. 由22k2x2322k，kz 得， 12kx712k，kz， k0时，12x712， k1时，1312x1912， k1时，1112x512， 12，712是 f(x)的一个单调递减区间，故选 b. (2)y12sin x32cos xsinx3， 由 2k2x32k2(kz)， 解得 2k56x2k6(

13、kz) 函数的单调递增区间为2k56，2k6(kz)， 又 x0，2，函数的单调递增区间为0，6. 点评：本例(2) 在整体求得函数 y12sin x32cos x 的增区间后，采用对 k赋值的方式求得 x0，2上的区间 已知三角函数的单调性求参数 已知单调区间求参数范围的三种方法 子集法 求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解 反子 集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解 周期 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列9 / 17 性法 不等式(组)求解 典例 22 (1)

14、(2020 西安模拟)已知 0，函数 f(x)sinx4在2，上单调递减，则 的取值范围是( ) a(0,2 b0，12 c12，34 d12，54 (2)(2018 全国卷)若 f(x)cos xsin x 在a，a是减函数，则 a的最大值是 ( ) a4 b2 c34 d (1)d (2)a (1)方法一(反子集法)：x2， ，x424，4. f(x)在2， 上单调递减， 2422k，kz，4322k，kz， 解得 4k12，kz，2k54，kz. 又 0，kz， k0，此时1254，故选 d. 方法二(子集法) ：由 2k2x42k32，得2k4x2k54，kz， 10 / 17 因为

15、f(x)sinx4在2， 上单调递减， 所以 2k42，2k54，解得 4k12，2k54.因为 kz，0，所以 k0， 所以1254，即 的取值范围为12，54.故选 d. (2)f(x)cos xsin x 2cosx4， 由 0 x4 得4x34. 4，34 是 f(x)的一个单调递减区间 由题意知a，a4，34， 0a4，则 a的最大值为4，故选 a. 跟进训练 1(2020 湖南省湘东六校联考)函数 f(x)sin2x612，则下列表述正确的是( ) af(x)在3，6上单调递减 bf(x)在6，3上单调递增 cf(x)在6，0 上单调递减 df(x)在0，6上单调递增 d f(x)

16、sin2x612，由 2x622k，22k ，kz，解得 x3k，6k ，kz，当 k0 时，x3，6，所以函数 f(x)在3，6上单调递增，故选 d. 11 / 17 2已知函数 f(x)2sin(2x)(|)，若 f(x)在区间5，58上单调递增，则 的取值范围是( ) a910，310 b25，910 c10，4 d，104， c 函数 f(x)2sin(2x)在区间5，58上单调递增，函数 y2sin(2x)在区间5，58上单调递减， 由22k2x322k，kz，解得4k2x34k2，kz，4k25，5834k2，kz，20k28k，kz，102k42k，kz，|，令 k0，解得104

17、， 的取值范围是10，4.故选 c. 3函数 g(x)cos2x3 x2，2的单调递增区间为_ 2，3，6，2 g(x)cos2x3cos2x3， 欲求函数 g(x)的单调递增区间， 只需求函数 ycos2x3的单调递减区间 由 2k2x32k(kz)， 得 k6xk23(kz) 故函数 g(x)的单调递增区间为k6，k23(kz) 因为 x2，2， 所以函数 g(x)的单调递增区间为2，3，6，2. 4若函数 f(x)sin(x)0，且|2在区间6，23上单调递减，且12 / 17 函数值从 1减少到1，则 f 4_. 32 由题意知t22362，故 t， 所以 2t2， 又因为 f 61，

18、所以 sin3 1. 因为|2，所以 6， 即 f(x)sin2x6. 故 f 4sin26cos 632. 考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 三角函数的周期性 求三角函数周期的常用方法 (1)公式法求周期 函数 f(x)asin(x)b与 f(x)acos(x)b的周期为 t2|； 函数 f(x)atan(x)b的周期 t|. (2)利用正弦、余弦函数的对称性求最值 两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于t2； 对称中心到对称轴距离的最小值等于t4； 两个最大(小)值点之差的最小值等于 t. 典例 31 (1)(2019 全国卷)下列函数中，以2为周期且在区间4，2单调递

19、增的是( ) af(x)|cos 2x| bf(x)|sin 2x| cf(x)cos|x| df(x)sin|x| (2)(2018 全国卷)已知函数 f(x)2cos2xsin2x2，则( ) af(x)的最小正周期为 ，最大值为 3 13 / 17 bf(x)的最小正周期为 ，最大值为 4 cf(x)的最小正周期为 2，最大值为 3 df(x)的最小正周期为 2，最大值为 4 (1)a (2)b (1)对于选项 a，作出 y|cos 2x|的部分图象，如图所示，则 f(x)在4，2上单调递增，且最小正周期 t2，故 a正确 对于选项 b，作出 f(x)|sin 2x|的部分图象，如图所示

20、，则 f(x)在4，2上单调递减，且最小正周期 t2，故 b不正确 对于选项 c，f(x)cos|x|cos x， 最小正周期 t2，故 c不正确 对于选项 d，作出 f(x)sin|x|的部分图象，如图所示显然 f(x)不是周期函数，故 d不正确故选 a. 图 图 图 (2)f(x)2cos2xsin2x22cos2xsin2x2sin2x2cos2x 4cos2xsin2x3cos2x132(1cos 2x)1 32cos 2x52， 因此函数 f(x)的最小正周期为 ，最大值为32524，故选 b. 点评：带绝对值的三角函数求周期时，一般画出函数的图象，结合图象求14 / 17 周期 三

21、角函数的奇偶性 1.三角函数是奇、偶函数的充要条件 (1)函数 yasin(x)(xr)是奇函数k(kz)；是偶函数k2(kz)； (2)函数 yacos(x)(xr)是奇函数k2(kz)；是偶函数k(kz) 2若 yf(x)为奇函数，则当 x0时，y0； 若 yf(x)为偶函数，则当 x0时，y 取最大值或最小值 典例 32 已知函数 f(x)3sin2x3 ，(0，) (1)若 f(x)为偶函数，则 _； (2)若 f(x)为奇函数，则 _. (1)56 (2)3 (1)因为 f(x)3sin2x3 为偶函数， 所以3k2，kz， 又因为 (0，)，所以 56. (2)因为 f(x)3si

22、n2x3 为奇函数， 所以3k，kz， 又 (0，)， 所以 3. 三角函数的对称性 求对称轴方程(对称中心坐标)的方法 (1)求 f(x)asin(x)图象的对称轴方程，只需对 x2k(kz)整理，对称中心横坐标只需令 xk(kz)，求 x. (2)求 f(x)acos(x)的对称轴方程，只需对 xk(kz)整理，对15 / 17 称中心横坐标为 x2k(kz)，求 x 即可 (3)求 f(x)atan(x)的对称中心的横坐标，只需对 xk2(kz)，求 x. 典例 33 (1)已知函数 f(x)2sinx6(0)的最小正周期为 4，则该函数的图象( ) a关于点3，0 对称 b关于点53，0 对称 c关于直线 x3对称 d关于直线 x53对称 (2)已知函数 ysin(2x)22的图象关于直线 x3对称，则 的值为_ (1)b (2)