高考数学一轮复习第3节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1、1 / 17 第第 3 节节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考试要求 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 知 识 梳 理 1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词. (2)命题 pq，pq，綈 p的真假判断 p q pq pq 綈 p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示. (2)存在量词：

2、短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示. 3.全称命题和特称命题 名称 全称命题 特称命题 结构 对 m 中的任意一个 x，有 p(x)成立 存在 m 中的一个 x0，使 p(x0)成立 简记 xm，p(x) x0m，p(x0) 否定 x0m，綈 p(x0) xm，綈 p(x) 常用结论与微点提醒 1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：pq见真即真，pq见假即假，p与綈 p真假相反. 2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 2 / 17 3.“pq”的否定是“(綈 p)(綈 q)”，“pq”的否定是“(綈 p)(綈 q)”. 4.逻辑联结词“

3、或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)命题“56 或 52”是假命题.( ) (2)命题綈(pq)是假命题，则命题 p，q中至少有一个是真命题.( ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( ) (4)x0m，p(x0)与xm，綈 p(x)的真假性相反.( ) 解析 (1)错误.命题 pq中，p，q 有一真则真. (2)错误.pq是真命题，则 p，q 都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(老教材选修

4、 21p18a1(3)改编)已知 p：2 是偶数，q：2 是质数，则命题綈p，綈 q，pq，pq 中真命题的个数为( ) a.1 b.2 c.3 d.4 解析 p 和 q 显然都是真命题，所以綈 p，綈 q 都是假命题，pq，pq 都是真命题. 答案 b 3.(新教材必修第一册 p29 习题 1.5t3(3)改编)命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是_. 答案 有些表面积相等的三棱锥体积不相等 4.(2020 成都诊断)已知命题 p：x0r，x204x060 c.xr，x24x60 d.xr，x24x60 3 / 17 解析 依据特称命题的否定是全称命题，由此知答案 a是正确的. 答案

5、 a 5.(2020 唐山模拟)已知命题 p：f(x)x3ax 的图象关于原点对称；命题 q：g(x)xcos x 的图象关于 y 轴对称.则下列命题为真命题的是( ) a.綈 p b.q c.pq d.p(綈 q) 解析 根据题意，对于 f(x)x3ax，有 f(x)(x)3a(x)(x3ax)f(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，p为真命题；对于 g(x)xcos x，有 g(x)(x)cos(x)xcos x，为奇函数，其图象关于原点对称，q 为假命题，则綈p 为假命题，q为假命题，pq为假命题，p(綈 q)为真命题. 答案 d 6.(2019 豫南五校联考)若“x4，3，mtan x

6、2”为真命题，则实数 m的最大值为_. 解析 由 x4，3，1tan x22 3. “x4，3，mtan x2”为真命题，则 m1. 实数 m 的最大值为 1. 答案 1 考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 【例 1】 (1)设 a，b，c 是非零向量.已知命题 p: 若 a b0，b c0，则 a c0；命题 q：若 ab，bc，则 ac.则下列命题中真命题是( ) a.pq b.pq c.(綈 p)(綈 q) d.p(綈 q) (2)(2020 广州调研)已知命题 p：若 a|b|，则 a2b2；命题 q：m，n 是直线， 为平面，若 m，n，则 mn.下列命题为真命题的是( ) a.

7、pq b.p(綈 q) 4 / 17 c.(綈 p)q d.(綈 p)(綈 q) 解析 (1)取 ac(1，0)，b(0，1)，显然 a b0，b c0，但 a c10，p 是假命题. 又 a，b，c 是非零向量， 由 ab 知 axb(xr)，由 bc 知 byc(yr)， axyc，ac，q 是真命题. 综上知 pq 是真命题，pq 是假命题. 綈 p 为真命题，綈 q为假命题. (綈 p)(綈 q)，p(綈 q)都是假命题. (2)对于命题 p，由 a|b|两边平方，可得到 a2b2，故命题 p 为真命题.对于命题q，直线 m，但是 m，n 有可能是异面直线，故命题 q 为假命题，綈 q

8、 为真命题.所以 p(綈 q)为真命题. 答案 (1)a (2)b 规律方法 1.“pq”、“pq”、“綈 p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题 p，q 的真假；(3)确定“pq”“pq”“綈 p”形式命题的真假. 2.pq 形式是“一假必假，全真才真”，pq 形式是“一真必真，全假才假”，綈 p 则是“与 p的真假相反”. 【训练 1】 (1)若命题“pq”与命题“綈 p”都是真命题，则( ) a.命题 p与命题 q都是真命题 b.命题 p与命题 q 都是假命题 c.命题 p是真命题，命题 q 是假命题

9、d.命题 p是假命题，命题 q是真命题 (2)(2020 衡水中学检测)命题 p：若向量 a b0，则 a 与 b 的夹角为钝角；命题q：若 cos cos 1，则 sin()0.下列命题为真命题的是( ) a.p b.綈 q c.pq d.pq 5 / 17 解析 (1)因为綈 p 为真命题，所以 p 为假命题，又 pq 为真命题，所以 q 为真命题. (2)当 a，b方向相反时，a b0，但夹角是 180 ，不是钝角，命题 p是假命题； 若 cos cos 1，则 cos cos 1或 cos cos 1， 所以 sin sin 0，从而 sin()0，命题 q是真命题， 所以 pq 是真

10、命题. 答案 (1)d (2)d 考点二 全称量词与存在量词 多维探究 角度 1 含有量词命题的否定 【例 21】 (2020 河南八所重点高中联考)已知集合 a 是奇函数集，b 是偶函数集.若命题 p：f(x)a，|f(x)|b，则綈 p为( ) a.f(x)a，|f(x)|b b.f(x)a，|f(x)|b c.f(x)a，|f(x)|b d.f(x)a，|f(x)|b 解析 全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论. 綈 p：f(x)a，|f(x)|b. 答案 c 角度 2 全称(特称)命题的真假判断 【例 22】 (1)已知定义域为 r 的函数 f(x)不是偶函数，则下列命题一定为

11、真命题的是( ) a.xr，f(x)f(x) b.xr，f(x)f(x) c.x0r，f(x0)f(x0) d.x0r，f(x0)f(x0) (2)(2020 衡水检测)已知命题 p：xn*，12x13x，命题 q：xr，2x21x2 2，则下列命题中是真命题的是( ) a.pq b.(綈 p)q c.p(綈 q) d.(綈 p)(綈 q) 6 / 17 解析 (1)定义域为 r 的函数 f(x)不是偶函数，xr，f(x)f(x)为假命题，x0r，f(x0)f(x0)为真命题. (2)因为 yxn(nn*)在(0，)上递增. xn*，12x13x成立，p 为真命题. 又 2x21x2 2x 2

12、1x2 2， 当且仅当 2x21x，即 x12时，上式取等号， 则 q 为真命题.因此 pq为真命题. 答案 (1)c (2)a 规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论. 2.判定全称命题“xm，p(x)”是真命题，需要对集合 m 中的每一个元素 x，证明 p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个 xx0，使 p(x0)成立即可. 【训练 2】 (1)(角度 1)命题“x0r，1f(x0)2”的否定形式是( )

13、 a.xr，1f(x)2 b.x0r，12 d.xr，f(x)1或 f(x)2 (2)(角度 2)(2020 株洲模拟)已知命题 p：x0，exx1，命题 q：x(0，)，ln xx，则下列命题正确的是( ) a.pq b.(綈 p)q c.p(綈 q) d.(綈 p)(綈 q) 解析 (1)特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“xr，f(x)1或 f(x)2”. (2)令 f(x)exx1，则 f(x)ex1，当 x0时， f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增， f(x)f(0)0，即 exx1，命题 p真； 7 / 17 令 g(x)ln xx，x0，则 g(x)1x11

14、xx， 当 x(0，1)时，g(x)0；当 x(1，)时，g(x)0， 即当 x1时，g(x)取得极大值，也是最大值， 所以 g(x)maxg(1)10， g(x)0 在(0，)上恒成立，则命题 q假， 因此綈 q 为真，故 p(綈 q)为真. 答案 (1)d (2)c 考点三 由命题的真假求参数 典例迁移 【例 3】 (1)已知命题 p：“x0，1，aex”；命题 q：“x0r，使得 x204x0 a 0”. 若 命 题 “pq” 是 真 命 题 ， 则 实 数a 的 取 值 范 围 为_. (2)(经典母题)已知 f(x)ln(x21)，g(x)12xm，若对x10，3，x21，2，使得

15、f(x1)g(x2)，则实数 m 的取值范围是_. 解析 (1)若命题“pq”是真命题，那么命题 p，q 都是真命题.由x0，1，aex，得 ae；由x0r，使 x204x0a0，得 164a0，则 a4，因此 ea4.则实数 a的取值范围为e，4. (2)当 x0，3时，f(x)minf(0)0， 当 x1，2时，g(x)ming(2)14m， 由 f(x)ming(x)min， 得 014m，所以 m14. 答案 (1)e，4 (2)14， 【迁移】 本例(2)中，若将“x21，2”改为“x21，2”，其他条件不变，则实数m的取值范围是_. 解析 当 x1，2时，g(x)maxg(1)12

16、m， 8 / 17 对x10，3，x21，2使得 f(x1)g(x2)等价于 f(x)ming(x)max，得 012m，m12. 答案 12， 规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围. 2.全称命题可转化为恒成立问题. 3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决. 【训练 3】 已知命题 p：xr，2x3x，命题 q：xr，x22x，若命题(綈p)q 为真命题，则 x 的值为( ) a.1 b.1 c.2 d.2 解析 因为綈 p：xr，2x3x，要使

17、(綈 p)q为真，所以綈 p 与 q同时为真. 由 2x3x，得23x1，所以 x0. 由 x22x，得 x1或 x2. 由知 x2. 答案 d 逻辑推理突破双变量“存在性或任意性”问题 逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质. 类型 1 形如“对任意 x1a，都存在 x2b，使得 g(x2)f(x1)成立”的问题 【例 1】 已知函数 f(x)x3(1a)x2a(a2)x，g(x)196x

18、13，若对任意x11，1，总存在 x20，2，使得 f(x1)2ax1g(x2)成立，求实数 a的取值范围. 9 / 17 解 由题意知，g(x)在0，2上的值域为13，6 . 令 h(x)f(x)2ax3x22xa(a2)， 则 h(x)6x2，由 h(x)0得 x13. 当 x1，13时，h(x)0，所以h(x)minh13a22a13. 又由题意可知，h(x)的值域是13，6 的子集， 所以h（1）6，a22a1313，h（1）6， 解得实数 a 的取值范围是2，0. 思维升华 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数 f(x)的值域是 g

19、(x)的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于 a 的不等式组，求得参数的取值范围. 类型 2 形如“存在 x1a及 x2b，使得 f(x1)g(x2)成立”的问题 【例 2】 已知函数 f(x)2x3x1，x12，1 ，13x16，x0，12，函数 g(x)ksinx62k2(k0)，若存在 x10，1及 x20，1，使得 f(x1)g(x2)成立，求实数 k 的取值范围. 解 由题意，易得函数 f(x)的值域为0，1，g(x)的值域为22k，23k2，并且两个值域有公共部分. 先求没有公共部分的情况，即 22k1 或 232k0，解得 k43，所以，要使两个值域有公共部分，k 的取值范围是

20、12，43. 思维升华 本类问题的实质是“两函数 f(x)与 g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为10 / 17 “任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和 g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围. 类型 3 形如“对任意 x1a，都存在 x2b，使得 f(x1)1，x210”，则綈 p为( ) a.x1，x210 b.x1，x210 c.x01，x2010 d.x01，x2010 解析 命题 p：“x1，x210”，则綈 p为：x01，x2010. 11 / 17 答案 c 2.第 32 届夏季奥林匹克运动会将于

21、 2020 年 7 月 24 日在日本东京隆重开幕.在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题 p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( ) a.(綈 p)(綈 q) b.p(綈 q) c.(綈 p)(綈 q) d.pq 解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈 p)(綈 q).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“pq”的否定，选 a. 答案 a 3.命题“nn*，f(n)n*且

22、f(n)n”的否定形式是( ) a.nn*，f(n)n*且 f(n)n b.nn*，f(n)n*或 f(n)n c.n0n*，f(n0)n*且 f(n0)n0 d.n0n*，f(n0)n*或 f(n0)n0 解析 全称命题的否定为特称命题， 该命题的否定是：n0n*，f(n0)n*或 f(n0)n0. 答案 d 4.已知命题 p：xr，x2x10；命题 q：若 a2b2，则 a0 恒成立，所以 p 为真命题，则綈 p 为假命题；当 a1，b2 时，满足 a2b2，但不满足 ax2，q：“ab4”是“a2，b2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) a.pq b.(綈 p)q c.p(

23、綈 q) d.(綈 p)(綈 q) 解析 当 x2 时，2xx2，所以 p是假命题；由 a2，b2可以推出 ab4；反之不成立，例如 a2，b4，所以“ab4”是“a2，b2”的必要不充分条件，故q 是假命题；所以(綈 p)(綈 q)是真命题. 答案 d 6.已知命题“xr，4x2(a2)x140”是假命题，则实数 a 的取值范围为( ) a.(，0) b.0，4 c.4，) d.(0，4) 解析 因为命题“xr，4x2(a2)x140”是假命题，所以其否定命题“xr，4x2(a2)x140”是真命题. 则 (a2)24414a24a0，解得 0a0，得 3x11，所以 013x11， 所以函

24、数 y13x1的值域为(0，1)，故命题 q为真命题. 所以 pq 为假命题，pq为真命题，p(綈 q)为假命题，綈 q为假命题. 13 / 17 答案 b 8.已知函数 f(x)a2x2a1.若命题“x(0，1)，f(x)0”是假命题，则实数 a的取值范围是( ) a.12，1 b.(1，) c.12， d.12，1 (1，) 解析 函数 f(x)a2x2a1， 命题“x(0，1)，f(x)0”是假命题， 原命题的否定：“x0(0，1)，使 f(x0)0”是真命题， f(1)f(0)0，即(a22a1)(2a1)0，解得 a12，且 a1， 实数 a 的取值范围是12，1 (1，). 答案

25、d 二、填空题 9.若“x0，4，tan xm”是真命题，则实数 m的最小值为_. 解析 函数 ytan x 在0，4上是增函数，ymaxtan 41，依题意，mymax，即 m1.m的最小值为 1. 答案 1 10.命题 p 的否定是“对所有正数 x ，xx1”，则命题 p 可写为_. 解析 因为 p是綈 p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可. 答案 x0(0，)， x0 x01 11.(2020 湖南百校大联考改编)下列四个命题：p1：任意 xr，2x0；p2：存在xr，x2x10；p3：任意 xr，sin xx2x1.其中是真命题的为_. 解析 xr，2x0 恒成立

26、，p1是真命题. 14 / 17 又 x2x1x122340，p2是假命题. 由 sin32 1232，知 p3是假命题. 取 x12时，cos12cos632， 但 x2x1340 恒成立.若 pq 为假命题，则实数 m 的取值范围为_. 解析 由命题 p：x0r，(m1)(x201)0 可得 m1；由命题 q：xr，x2mx10恒成立，即 m240，可得2m2， 若 pq 为真命题，则21. 答案 (，2(1，) b级 能力提升 13.命题“xr，nn*，使得 nx2”的否定形式是( ) a.xr，nn*，使得 nx2 b.xr，nn*，使得 nx2 c.xr，nn*，使得 nx2 d.x0r，nn*，使得 nx20 解析 改变量词，否定结论. 该命题的否定应为：x0r，nn*，使得 nsin x，则命题 pq为真 c.命题“x0r，x20 x010”的否定是“xr，x2x11，命题 p 是假命题.命题 q：当 x0 时，xsin x，命题 q 是假命题，则命题 pq为假.b选项错误. 选项