高考数学一轮复习1 第1讲　相等关系与不等关系

1、1 / 15 第 1讲 相等关系与不等关系 最新考纲 考向预测 1通过具体情境，感受生活中大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景 2理解不等式的概念，掌握不等式的性质 命题 趋势 以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、解析几何、实际问题等相结合进行综合命题. 核心 素养 逻辑推理 1实数大小与运算性质之间的关系 ab0ab；ab0ab；ab0ac. (3)可加性：abacbc； ab，cdacbd. 2 / 15 (4)可乘性：ab，c0acbc； ab，c0acbn(nn，n1) (6)可开方性：ab0nanb(nn，n2) 常用结论 1倒数性质 (1)ab，ab0

2、1a1b； (2)a0b1ab0，dc0acbd. 2有关分数的性质 若 ab0，m0，则 (1)babmam(bm0)； (2)abambm；ab0) 常见误区 1在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变； 2求范围乱用不等式的加法原理致错 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)两个实数 a，b 之间，有且只有 ab，ab，a1，则 ab.( ) 3 / 15 (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小( ) (5)ab0，cd0adbc.( ) (6)若 ab0，则 ab1a1b.

3、( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2设 a，b0，)，a a b，b ab，则 a，b 的大小关系是( ) aab bab cab 解析：选 b.由题意得，b2a22 ab0，且 a0，b0，可得 ab. 3(易错题)若 ab0，cd0 b.acbdbc d.adbc 解析：选 d.因为 cd0，所以 0dc， 又 0ba， 所以bdac， 又因为 cd0，所以bdcdaccd，即bcad. 4已知 1a4，2b8，则ab的取值范围为_ 解析：因为 1a4，2b8， 又因为181b12， 所以18ab422，即18ab2. 答案：18，2 4 / 15 比较两个数(

4、式)的大小 题组练透 1若 a0，b0，则 pb2aa2b与 qab的大小关系为( ) apq dpq 解析：选 b.(作差法)pqb2aa2bab b2a2aa2b2b(b2a2)1a1b （b2a2）（ba）ab（ba）2（ba）ab， 因为 a0，b0， 所以 ab0. 若 ab，则 pq0，故 pq； 若 ab，则 pq0，故 pb0，m0，则( ) a.babmam b.babmam c.bab0，m0. 5 / 15 所以 ba0， 所以m（ba）a（am）0. 即babmam0. 所以bab0，则 ac2bc2 b若 ababb2 c若 ab0 且 ccb2 d若 ab且1a1b

5、，则 ab0 【解析】 (1)a中，只有 b0时正确，故 a错误； b中，当 c0时，ab，故 b错误； c中，若 a3b3，ab0，则 a0b，所以1a1b，故 c正确； d中，当 a0，b0 时，1a1b不成立，故 d错误 综上所述，故选 c. (2)当 c0 时，不等式不成立，所以 a 命题是假命题；ab，aab，ab，bb2，所以 a2abb2，所以 b 命题是真命题；ab0a2b2001a21b2，因为 ccb2，所以 c 命题是真命题；1a1b1a1b0baab0，因为 ab，所以 ba0，ab0b，则下列不等式一定成立的是( ) aa2ab b|a|1b d.12a12b 解析：

6、选 c.通解：当 a1，b1时，满足 a0b，此时 a2ab，|a|b|，12a0b，所以 ba0，ab0，所以1a1b一定成立，故选 c. 优解：因为 a0b，所以1a01b，所以1a1b一定成立故选 c. 2已知 abc 且 abc0，则下列不等式恒成立的是( ) aa2b2c2 ba|b|c|b| cbaca dcacb 解析：选 d.因为 abc 且 abc0，所以 a0，b的符号不确定，对于 ba，两边同时乘以正数 c，不等号方向不变 不等式性质的应用 已知1x4，2y3，则 xy 的取值范围是_，3x2y 的取值范围是_ 【解析】 因为1x4，2y3， 所以3y2， 所以4xy2.

7、 由1x4，2y3，得33x12， 42y6， 所以 13x2y18. 8 / 15 【答案】 (4，2) (1，18) 【引申探究】 1(变条件)若将本例条件改为“1xy3”，求 xy 的取值范围 解：因为1x3，1y3， 所以3y1，所以4xy4. 又因为 xy，所以 xy0， 所以4xy0， 故 xy 的取值范围为(4，0) 2(变问法)若本例的条件不变，求 2x3y 的取值范围 解：因为1x4，2y3. 所以22x8，93y6. 即112x3y2. 故 2x3y 的取值范围为(11，2) 利用待定系数法求代数式的取值范围 已知 m1f1(a，b)n1，m2f2(a，b)n2，求 g(a

8、，b)的取值范围 (1)设 g(a，b)pf1(a，b)qf2(a，b)； (2)根据恒等变形求得待定系数 p，q； (3)再根据不等式的同向可加性即可求得 g(a，b)的取值范围 1若 6a10，a2b2a，cab，则 c 的取值范围是( ) a9，18 b(15，30) c9，30 d(9，30) 9 / 15 解析：选 d.因为a2b2a，所以3a2ab3a，即3a2c3a，因为6a10，所以 9c30.故选 d. 2若22，则 的取值范围是_ 解析：由22，22， 得bc，则 abc”说法不正确的一组整数 a，b，c 的值依次为_ 解析：因为 abc，所以 ac，bc，则 ab2c.2

9、c 与 c 的大小关系不确定，当 c0时，2cc；当 c0 时，2cc；当 c0时，2cc 不一定正确 答案：1，2，3(答案不唯一) a级 基础练 1若 f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则 f(x)，g(x)的大小关系是( ) af(x)g(x) bf(x)g(x) cf(x)0f(x)g(x) 2已知 a，br，若 ab，1a0 bab0 dab0 解析：选 a.因为1a1b，所以1a1bbaabb，所以 ba0. 3若 a，br，且 a|b|，则( ) aab ca21b 解析：选 b.由 a|b|可知，当 b0 时，ab；当 bb，则 a0b.综上可知，当 a|b|时，ab恒成

10、立，故选 b. 4已知 a，b，c 满足 cba，且 acac bc(ba)0 ccb20 解析：选 a.由 cba 且 ac0，知 c0. 由 bc，得 abac 一定成立 5已知 a，b，c，d 为实数，则“ab 且 cd”是“acbdbcad”的( ) a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件 解析：选 a.因为 cd，所以 cd0. 又 ab，所以两边同时乘(cd)，得 a(cd)b(cd)，即 acbdbcad. 若 acbdbcad，则 a(cd)b(cd)， 也可能 ab且 cb且 cd”是“acbdbcad”的充分不必要条件 6(多选)若 a，b，

11、cr，给出下列命题中，正确的有( ) a若 ab，cd，则 acbd b若 ab，cd，则 bcad c若 ab，cd，则 acbd d若 ab，c0，则 acbc 解析：选 ad.因为 ab，cd，由不等式的同向可加性得 acbd，故 a正确；由 a 正确，可知 b 不正确；取 42，13，则 4(1)b，c0，所以 acbc.故 d正确综上可知，只有 ad正确故选 ad. 7(多选)下列命题中，不正确的是( ) 12 / 15 a若 ab，cd，则 acbd b若 acbc，则 ab c若1a1b0，则|a|bb，cd，则 acbd 解析：选 abd.取 a2，b1，c1，d2，可知 a

12、错误；当 cbcab，所以 b 错误；由1a1b0，可知 baa0，故b|a|，即|a|ba0，cr，则下列不等式中正确的是( ) aa121bc c.a2b2ab dac2bc2 解析：选 abc.因为 yx12在(0，)上是增函数，所以 a121bc.因为a2b2ab2（ba）（b2）b0，所以a2b2ab.当 c0时，ac2bc2，所以 d不成立故选 abc. 9若 a1a2，b1b2，则 a1b1a2b2与 a1b2a2b1的大小关系是_ 解析：作差可得(a1b1a2b2)(a1b2a2b1)(a1a2) (b1b2)， 因为 a1a2，b10， 即 a1b1a2b2a1b2a2b1.

13、 答案：a1b1a2b2a1b2a2b1 10若 13，42，则 |的取值范围是_ 解析：因为42，所以 0|4，所以4|0.所以3|b，有下列不等式：ac2bc2；1a|b|；a|c|b|c|，其中一定成立的有_(填序号) 解析：对于，1c20，故成立； 对于，a0，baab，则实数 b的取值范围是_ 解析：因为 ab2aab，所以 a0， 当 a0时，b21b， 即b21，b1，解得 b1； 当 a0时，b21b，即b21无解 综上可得 b1. 答案：(，1) b级 综合练 13已知 2ab5，0ab1，某同学得出了如下结论： 1a3；1b2；12b52；4a2b0.其中正确的结论是( )

14、 a b c d 解析：选 d.因为 a12(ab)12(ab)，且 2ab5，0ab1，则 112(ab)52，012(ab)12，所以 1a3，正确；因为 b12(ab)12(ab)，且14 / 15 1212(ab)0，所以12b52，错误，正确；因为 a2b12(ab)32(ab)，且5212(ab)1，032(ab)32，所以52a2b12，错误 14(多选)(2021 浙江温州七校期中测试)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，这种符号逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若 a，b，cr，则下列命题正确的是( ) a若 ab0且 a1b b若 0a1，则 a3b0，则b1a1ba d若 cba 且 ac0，则 cb21b不成立，故 a 项错误对于 b项，若 0a1，则 a3aa(a21)0，所以 a3b0，则 a(b1)b(a1)ab0，所以 a(b1)b(a1)，所以b1a1ba，故 c 项正确对于 d 项，若 cba 且 ac0，c0.而 b 可能为 0，因此 cb2b，abb，ab，a，ab.若 mn2，pq2，则( ) amn4 且 pq4 bmn4 且 pq4 cmn4 且 pq4 15 / 15 dmn4且 pq4 解析：选 a.结合定义及 mn2 可得m2，mn