高中数学讲义微专题96平面几何

1、- 1 - / 15 微专题 96 平面几何 一、基础知识： 1、相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形的判定 三个角：若两个三角形对应角都相等，则这两个三角形相似 注：由三角形内角和为180可知，三角形只需两个内角对应相等即可 两边及一夹角：若两个三角形的两条边对应成比例，且所夹的角相等，则这两个三角形相似 三边：若两个三角形三边对应成比例，则这两个三角形相似 （直角三角形）若两个直角三角形有两组对应边成比例，则这两个直角三角形相似 （2）相似三角形性质：若两个三角形相似，这它们的对应角相等，对应边成比例即相似比（主要体现出“对应”两字），例如：若abcabc，则有： ,aabbcc= =

2、 = abacbcabacbc= 2、平行线分线段成比例：如图：已知123lll ，且直线,m n与平行线交于, , ,a b c d e f，则以下线段成比例： （1）abdebcef= （上比下） （2）abdeacdf=（上比全） （3）bcefacdf=（下比全） 3、常见线段比例模型： （1）“a”字形：在abc中，平行bc的直线交三角形另两边于,d e， 即 形 成 一 个 “ a ” 字 ， 在 “ a ” 字 形 中 ， 可 得abcade，进而有以下线段成比例： adaedbec= dbceabac= adaedeabacbc= （2）“8”字形：已知abcd，连结,ad b

3、c相交于o，即形成一个“8”字，在“8”fedcbaabcde- 2 - / 15 字形中，有： aobdoc，从而aoboabodcocd= 4、圆的几何性质： （1）与角相关的性质 直径所对的圆周角是直角 弦切角与其夹的弧所对的圆周角相等 同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半 圆内接四边形，其外角等于内对角 （2）与线段相关的性质： 等弧所对的弦长相等 过圆心作圆上一条弦的垂线，则直线垂直平分该弦 若一条直线与圆相切，则圆心与切点的连线与该直线垂直 5、与圆相关的定理 （1）切割线定理：设pa是o的切线，pbc为割线，则有：2papb pc= （2）相交弦定理：设,ab cd是圆内的两

4、条弦，且,ab cd相交于p，则有ap bpcp dp= （3）切线长定理：过圆外一点p可作圆的两条切线，且这两条切线的长度相等 6、射影定理：已知在直角三角形abc中，90bca=，cd为斜边ab上的高（双垂直特点），则以下等式成立： 2bcbd ba= 2acad ab= 2cdbd ad= 注：射影定理结合勾股定理，以及等面积法。在直角三角形abc中的边,ac bc bd da cd这五条线段中，可做到已知两条边的长度，即可求出所有边的长度 7、平面几何中线段长度的求法： （1）观察所求线段是否是某个定理的一部分，从而凑齐该定理的其他条件即可求出该线段 （2）考虑所求线段是否与其它线段存

5、在比例关系 obpcabcadocdab- 3 - / 15 （3）可将此线段放入三角形中，考虑是否能通过正余弦定理解决 （4）若不易找到题目中各线段与所求线段的联系，可考虑将所求线段设为x，通过方程进行求解。 二、典型例题： 例 1 ： 如 图 ， 已 知pa切o于a点 ， 割 线pcd与 弦ab相 交 于e点 ， 且papebe=，若4,21pccd=，则ae的长为_ 思路：由pa是切线，pcd是割线联想到切割线定理，所以有：()2100papc pdpcpccd=+=，解得10pa =，从而10pebe=，求ae可联想到相交弦定理：ae bece de=，即ce deaebe=，其中6c

6、epepc=，15decdce=，代入可得：6 15910ae= 答案：9 例 2：如图，四边形abcd内接于圆o，de与圆o相切于点d，acbdf=，f为ac的中点，obd，10cd =，5bc =，则de = 思 路 ： 由de与 圆o相 切 可 想 到 切 割 线 定 理 ： 即2deea eb=，因为bd是直径，且f为ac的中点，所以bd垂直平分ac，且bad和bcd为对称的直角三角形。所以10adcd=，5abbc=，所以2235bdadab=+=。 在edf中 ， 由 切 线 可 知edbd，且,adbe，所以由射影定理可知227bdbdba bebeba=，则2aebeab=，进

7、而14deea eb= 答案：14 fbcdeao- 4 - / 15 例 3：如图，pa与圆o相切于a，pcb为圆o的割线，并且不过圆心o，已知30bpa=，2 3pa=，1pc =，则圆o的半径等于_ 思路：由pa与圆o相切于a可知2papc pb=，可得212papbpc=， 从 而11bcpbpc=， 在pad中 ， 可 由30bpa=，2 3pa=， 可 得 ：2,4dapd=，从而3,5cdbd=，观察圆内的弦，延长ao交圆于e，从而有ad decd db=，与半径进行联系可得：()2adradcd db=，代入数值可得7r = 答案：7r = 例 4：如图，p是半圆o的直径bc延

8、长线上一点，pt切半圆于点t，thbc于h，若1,2ptpbpca=+=，则ph =（ ） a. 2a b. 1a c. 2a d. 3a 思路：因为pt切半圆于点t，所以考虑连结圆心与切点，可得：otpt，在rt pto中具有双垂直的特点，所以只需已知两条边即可求出ph，由切割线定理可得：2ptpc pb=，222111pbpcapcaapb pcpbaa+=+，所以 221bcpcpba=，即21ra=，从而21,otrapopcra=+=，由射影定理可得：221ptptph pophpoa= 答案：b 例 5：如图，pb为abc外接圆o的切线，bd平分pbc，交圆o于d，,c d p共线

9、若,1abbd pcpb pd=，则圆o的半径是 c co oa ap pb bd dc co oa ap pb be e- 5 - / 15 思路：由abbd可知ad为圆o的直径，由弦切角性质可得baddbp= ，且在圆中badbcd= （ 对 同 弧bd） ， 由bd平 分pbc可 得dbpdbc= ， 进 而badbcddbcdbp= = = ， 在rt bpd中，可知：3090bcddbcdbpbcddbcdbpbcddbcdbp= = = = =+=， 所 以 由1pd =可 得 ：22bdpd=， 在rt abd中 ，30bad=， 可 得24adbd=，从而122rad= 答案：

10、2 例 6：如图，abc内接于o，过bc中点d作平行于ac的直线l，l交ab于点e，交o于g、f，交o在点a切线于点p，若3, 2, 3=efedpe，则pa的长为 思路：由pa为切线可想到切割线定理，所以2papg pf=，8pfpeedef=+=，只需求出pg即可。因为pa为切线，所以弦切角paec= ，因为pfac，所以bdec= ，从而bdepae= ，进而 可 证peaepaebdeae bepe debede=， 由 相 交 弦 定 理 可 知 ：ae bege ef=，所以2pe depe dege efgeef=，所以1pgpege=，代入2papg pf=可得：6pa = 答

11、案：6 例 7：如图，已知ab和ac是圆的两条弦，过点b作圆的切线与ac的延长线相交于d，过点c作bd的平行线与圆交于点e,与ab相交于点f,6=af,2=fb,3=ef,则线段cd的长为_ 思路：由bd是切线且dca是割线可想到切割线定理，所以2cd adbd=，分别计算各线段长度。由6=af,2=fb,3=ef可使用相交弦定理得：4af fbcfef=，再由cfbd可得：34cfafbdbf=，所以163bd =，同时- 6 - / 15 44adabadcdcdfb=，代入可得：2218423cdbdcdbd= 答案：83 例 8：如图，已知pa与o相切，a为切点，过点p的割线交o于,b

12、 c两点，弦/ /cdap，,ad bc相 交 于 点e， 点f为ce上 一 点 ， 且pedf= ， 若:3:2ce be =，3de =，2ef =，则pa = . 思 路 ： 由pa与o相 切 可 想 到 切 割 线 定 理 ， 即2papb pc=，只需求出,pb pc即可。从题目条件中很难直接求出这两个量，考虑寻找题目中的相似三角形。由pedfaepfed= = 可 得 ：aepfed， 所 以aeepae edep effeed=。由切割线定理可知ae edbe ec=。因为/ /cdap，所以cp= ，进而cedf= ，所以cedfceddefcedced= = ，则2ceded

13、ece efedef=，代入3de =，2ef =可 得92ce =， 所 以233bece=， 由 可 算 得274ep =， 所 以154bpepbe=，454pcpece=+=。则15 34papb pc= 答案：15 34 例 9：如图，pa切圆o于点a，割线pbc经过圆心o，若1pbob=，od平分aoc交圆o于点d，连结pd交圆o于点e，则pe的长等于_ 思路：由图可知若要求得pe，可想到切割线定理模型2pe pdpa=，只需求得,pa pd即可。由割线pbc与切线pa可想到切割线定理，从而可计算出3pa =，考虑计算pd，可将其放 入dop中 计 算 ， 已 知 的 边 有eob

14、pcad- 7 - / 15 1,2odop=，需要求解dop，在rt aop中，通过边的关系可判定3aop=，进而23aoc=，由角平分线可知3aod=，所以23dop=。从而可用余弦定理计算出pd，即可算出pe 解：pa切圆o于点a 2papb pc= 由1pbob=可得：1r = 123pcpbbc=+= += 3papb pc= 在aop中，,1.2,3oaap oaopap= 3aop= 23aoc= od平分aoc 123aodaoc= 23podaodaop= += 在pod中，由余弦定理可得：2222cos7dpopodop odpod=+= 7dp= 由切割线定理可得：2pe

15、 pdpa= 233 777papepd= 答案：3 77 例 10：如图，,ab cd是圆o的两条平行弦，afbd交cd于点e，交圆o于点f，过b点的切线交cd延长线 于 点p， 若1,5pdcepb=， 则bc的 长 为_ 思路：由切割线定理可得225pbpbpd pcpcpd= 从而3depcpdce=，由两组平行关系可得四边形abde为平行四边形，从而edoapcbf- 8 - / 15 aebd=， 由afbd可 得 ：14cmcecbcd=， 若 设bc为x， 则13,44cmx bmx=，可想到相交弦定理，am fmcm bm=，所以只需用x表示出,am fm即可得到关于x的方程

16、。因为bp与圆相切，所以cdbp= ，结合p可得：bcpdbp，所以有155bccpbdxdbbp=，即15aex=，结合比例可知：331,44 54 5amaex emx=，由相交弦定理可得：3 5ce edae efce edefaex= ，代入可得：313 513444 54 5xxxxx+=，解得：x =15 答案：15bc = 三、历年好题精选 1、（、（2015，天津）如图，在圆，天津）如图，在圆o中中，,m n是弦是弦ab的三等分点的三等分点，弦弦,cd ce分别经过点分别经过点,m n，若若2,4,3cmmdcn=，则线则线段段ne的长为的长为（ ） a. 83 b. 3 c.

17、 103 d. 52 2、（、（2015，广东）如图，已知，广东）如图，已知ab是圆是圆o的直径的直径，4ab =，ec是圆是圆o的切线的切线，切点为切点为,1c bc =，过圆心过圆心o作作bc的平行线的平行线，分别交分别交,ec ac于于点点d和点和点p，则则od =_ edoabmnc图1poecdab- 9 - / 15 3、（、（2014，重庆）过圆外一点，重庆）过圆外一点p作圆的切线作圆的切线pa（a为切为切点点），），再作割线再作割线pbc依次交圆于依次交圆于,b c，若若6,8,9paacbc=，则则ab =_ 4、（2015，新课标，新课标 ii）如图，）如图，o为等腰三角形

18、为等腰三角形abc内一点内一点，o与与abc的底边的底边bc交于交于,m n两点两点，与底边上的高与底边上的高ad交于点交于点g，且与且与,ab ac分别相切于分别相切于,e f两点两点 （1）证明：）证明：efbc （2）若）若ag等于等于o的半径的半径，且且2 3aemn=，求四求四边形边形ebcf的面积的面积 5、（、（2014，湖北）如图，湖北）如图，p为为o外一点外一点，过过p点作点作o的的两条切线两条切线，切点分别为切点分别为,a b，过过pa的中点的中点q作割线交作割线交o于于,c d两点两点，若若1,3qccd=，则则pb =_ 6、（2014，新课标全国卷 i）如图，四边形a

19、bcd是o的内接四边形的内接四边形，ab的延长线与的延长线与dc的延长线交于点的延长线交于点e，且且cbce= （1）证明：）证明：de= （ 2 ） 设） 设ad不 是不 是o的 直 径的 直 径 ，ad的 中 点 为的 中 点 为m， 且且mbmc=， gnmfbcaed- 10 - / 15 7、（、（2014，新课标，新课标 ii）如图，）如图，p是是o外一点外一点，pa是切线是切线，a为切为切点点，割线割线pbc与与o相交于点相交于点, ,2b c pcpa=，d是是pc的中点的中点，ad的延长线交的延长线交o于点于点e，证明证明： （1）beec= （2）22ad depb= 8、

20、（、（2014，天津）如图所示：，天津）如图所示：abc是圆的内接三角形是圆的内接三角形，bac的平分线交圆于点的平分线交圆于点d，交交bc于点于点e，过点过点b的圆的切的圆的切线与线与ad的延长线交于点的延长线交于点f，在上述条件下在上述条件下，给出以下四个结给出以下四个结论论： bd平分平分cbf；2fbfd fa=；ae cebe de=； af bdab bf=，则所有正确结论的序号是则所有正确结论的序号是（ ） a. a. b. b. c. c. d. d. 9、如图，在、如图，在abc中中，3,4,5abbcca=，点点d是是bc的的中点中点，beac于于e，be的延长线交的延长线

21、交dec的外接圆于点的外接圆于点f ，则则ef的长为的长为_ 1010、如图如图，ab是圆是圆o的直径的直径，点点c在圆在圆o上上，延长延长bc到到d使使dcbaefo oc cd db ba ae e- 11 - / 15 cdbc =，过过c作圆作圆o的切线交的切线交ad于于e. .若若8=ab，4=dc，则则de = . . 习题答案：习题答案： 1、答案：a 解析：由,m n三等分ab，不妨设ammnnbx=，则由切割线定理可得：222 4am mbcm dmx=，解得2x =， 再 由 切 割 线 定 理 可 得 ：an nbcn ne=， 所 以4 2833an nbnecn= 2

22、、答案：8 解析：连结oc，由24abr=可得2ocr=，因为ec且圆o于c，所以ocec；另一方面，由ab是直径可得bcac，所以cb的平行线opac，且由o是ab中 点 可 得op为abc的 一 条 中 位 线 ， 所 以1122opbc=，则在ocd中，由双垂直（,opac occd）可用射影定理2ocop od=，从而28ocodop= 3、答案：4 解析：设pbx=，则由切割线定理()2papb pcpbpbbc=+可得：()269x x=+，解得：3x =，12pc =，因为pa是切线，所以cpab= ，再利用公共角p可得：pabpca，所以papcabac=，即6 8412pa

23、acabpc= edoabmnc图1poecdab- 12 - / 15 4、解析：（1）证明：abc是等腰三角形，且adbc ad是cab的平分线 ,ae af为o的切线 aeaf=，adef efbc （2）由（1）可知ad是ef的垂直平分线，又因为ef是o的弦 o在ad上 连结,oe om，则由ae是切线可得oeae 设o的半径为r，则agr= 22aoroe= 可得：3060eaoeaf= = aeaf= ,abcaef均为等边三角形 2 3ae = 4,2aooer= 12,32omrdmmn= 1od=，从而5adaood=+= 10 33ab = ()22110 331316 32 3232223abcaefebcfsss=四边形 5、答案：4 解析：由切割线定理可知：()24qaqc qdqcqccd=+=，从而4qa =，由q是pa中 点 可 得24paqa=， 再 由 切 线 长 相 等 可 得4pbpa= 6、解析：（1）证明：, , ,a b c d四点共圆 dcbe= cbce= cbee= gnmfbcaed- 13 - / 15 de= （2）证明：设bc中点为n，连结mn mbmc= mnbc o在直线mn上 m为ad中点，且ad不是o的直径