高中数学必修二期中学业水平检测 (2)

1、1 / 15 期中学业水平检测 山东省烟台市 20192020 学年度 第二学期高一期中测试 一、选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设复数 z=(1-2i)i(i为虚数单位),则在复平面内 z对应的点位于( ) a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限 2.若向量 a=(1,2),b=(0,1),ka-b与 a+2b 共线,则实数 k的值为( ) a.-1 b.-12 c.1 d.2 3.已知正abc的边长为2,那么abc的直观图abc的面积为( ) a.62 b.34 c.3 d.68 4.在abc

2、中,角 a,b,c的对边分别为 a,b,c,若 c=43,b=12,c=6,则此三角形( ) a.无解 b.有两解 c.有一解 d.解的个数不确定 2 / 15 5.已知圆柱的高为 2,它的两个底面的圆周在直径为 26的同一个球的球面上,则圆柱的表面积为( ) a.45 b.(8+63) c.103 d.(10+45) 6.在平行四边形 abcd 中,n 为对角线 ac上靠近 a 点的三等分点,连接 bn 并延长,交 ad 于 m,则 =( ) a.-13 +16 b.14 -13 c.13 -16 d.34 -14 7.算数书竹简于 20 世纪 80 年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现

3、存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长 l 与高 h 计算其体积 v 的近似公式 v136l2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么,近似公式v7264l2h 相当于将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为( ) a.227 b.258 c.15750 d.355113 8.在三角形 abc中,内角 a,b,c的对边分别为 a,b,c,若 a=33b,且 b=2a,则 cos 2a等于( ) 3 / 15 a.12 b.-12 c.32 d.-32 二、选择题(本题共 4 小题,每小题 5

4、分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0分,部分选对的得 3 分) 9.在复平面内,下列说法正确的是( ) a.若复数 z=1+i1i(i 为虚数单位),则 z30=-1 b.若复数 z满足 z2r,则 zr c.若复数 z=a+bi(a,br),则 z为纯虚数的充要条件是 a=0 d.若复数 z满足|z|=1,则复数 z对应点的集合是以原点 o 为圆心,1 为半径的圆 10.下列叙述错误的是( ) a.已知直线 l 和平面 ,若点 al,点 bl 且 a,b,则 l b.若三条直线两两相交,则三条直线确定一个平面 c.若直线 l 不平行

5、于平面 ,且 l,则 内的所有直线与 l都不相交 d.若直线 l1和 l2不平行,且 l1,l2,=l,则 l 至少与 l1,l2中的一条相交 11.下列结论正确的是( ) a.若 ab,则 sin asin b 4 / 15 b.在锐角abc中,不等式 b2+c2-a20恒成立 c.在abc中,若 c=4,a2-c2=bc,则abc为等腰直角三角形 d.在abc中,若 b=3,a=60 ,sabc=33,则abc的外接圆半径为33 12.在abc中,d、e、f分别是边 bc、ac、ab的中点,则下列说法正确的是( ) a. + - =0 b. + + =0 c.若 | |+ | |=3 |

6、|,则 是 在 上的投影向量 d.若 p是线段 ad上的动点,且满足 = + ,则 的最大值为18 三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知复数 z=3i1+i(i 为虚数单位),则|= . 14.已知向量 a,b 的夹角为 30 ,|a|=2,|b|=23,则|2a+b|= . 15.在abc中,角 a,b,c所对的边分别为 a,b,c.若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且 a2=bc,则sin的值为 . 16.已知一个高为3的三棱锥,各侧棱长都相等,底面是边长为 23的等边三角形,则三棱锥的表面积为 ,若三棱锥内有一个体积为v 的球,则 v的最大值为

7、. 5 / 15 四、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)如图,在几何体 abcdef中,四边形 abcd 为平行四边形,g为 fc的中点,平面 abfe平面 cdef=ef. (1)证明:af平面 bdg; (2)证明:abef. 18.(12分)已知复数 z0=lg(a2-4a+4)+(a2-3a+2)i(i 为虚数单位,ar)为纯虚数,z0和 b 是关于 x 的方程 x2-(3+2i)x+6i=0 的两个根. 6 / 15 (1)求 a,b的值; (2)若复数 z满足 1|z|a+bi|,则在复平面内 z对应的点 z 的集合是

8、什么图形?并求该图形的面积. 19.(12分)已知abc中,三个内角 a,b,c所对的边分别为 a,b,c. (1)证明:acos b+bcos a=c; (2)在2-cos=cos;ccos a=2bcos a-acos c;2a-coscos=coscos这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并解答. 若 a=7,b=5, ,求abc的周长. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 7 / 15 20.(12 分)如图,在三棱锥 s-abc 中,sc 是高,sc=3,acbc,ac=bc=2. (1)求三棱锥 s-abc的体积; (2)求三棱锥 s-abc的表面积. 21.(1

9、2分)如图,四边形 abcd 中, =2 . (1)用 , 表示 ; (2)若a=90 ,点 e在 ab上, =2 ,点 p在 de上, =2 ,| |=| |=1,求 coscpd. 8 / 15 22.(12分)如图,在平面四边形 abcd 中,adcd,abac,ab=23. (1)若abc=30 ,cd=3ad,求 bd 的长; (2)若 ac=2,adb=30 ,求 sincad. 9 / 15 10 / 15 答案全解全析答案全解全析 1.a 由已知得 z=(1-2i)i=2+i,所以在复平面内 z 对应的点为(2,1),位于第一象限. 2.b 由已知得 ka-b=(k,2k-1)

10、,a+2b=(1,4),因为 ka-b 与 a+2b 共线,所以 4k=2k-1,解得 k=-12. 3.d 由已知得abc 的面积 s=34 (2)2=32,所以直观图abc的面积为3224=68. 4.b 由正弦定理可得sin=sin,所以 sin b=sin=12sin 643=32,因此 b=3或 b=23,故此三角形有两解. 5.d 设圆柱的底面半径为 r,依题意有 r2+(22)2=(262)2,所以 r=5,于是圆柱的表面积s=252+2(5)2=(10+45). 6.c 依题意,anmcnb,所以=12,所以 am=12bc,nm=12bn,因此 =-13 =-13( - )=

11、-13(12 - )=13 -16 . 7.a 设圆锥底面圆的半径为 r,则圆锥底面圆周长 l=2r,r=2,v=13r2h=2h12.令2h12=7264l2h,得 =227. 8.a 因为 a=33b,所以 sin a=33sin b,即 sin a=33sin 2a=233sin acos a,于是 cos a=32,故 cos 2a=2cos 2a-1=12. 9.ad 对于选项 a,z=1+i1i=i,所以 z30=i30=(i2)15=(-1)15=-1,故正确;对于选项 b,当 z2r 时不一定有zr,例如 z=i,故错误;对于选项 c,复数 z=a+bi(a,br)为纯虚数的充

12、要条件应是 a=0 且 b0,故错误;对于选项 d,设复数 z=x+yi(x,yr),由|z|=1 得 x2+y2=1,故复数 z 对应点的集合是以原点 o 为圆心,1 为半径的圆,故正确. 10.bc 若一条直线上有两点在一个平面内,那么这条直线在平面内,故 a 选项正确;若三条直线两两相交,则三条直线可确定 1 个平面或 3 个平面,故 b 选项错误;若直线 l 不平行于平面 ,且 l,则 l 与 相交,因此 内存在直线与 l 相交,故 c 选项错误;若直线 l1和 l2不平行,且l1,l2,=l,则 l 至少与 l1,l2中的一条相交,故 d 选项正确. 11 / 15 11.bc ab

13、sin asin b,只有在三角形中才成立,故 a 选项错误;在锐角abc 中,每个内角都是锐角,所以 a 是锐角,于是 cos a=2+2-220,因此 b2+c2-a20 恒成立,故 b 选项正确;由余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcos c,因为 c=4,所以 c2=a2+b2-2ab,又 a2-c2=bc,所以2ab-b2=bc,即2a-b=c,则a=+2,所以(+2)2-c2=bc,整理可得 b=c,于是 b=4,a=2,故abc 为等腰直角三角形,即 c 选项正确;由 b=3,a=60 ,sabc=33,得 33=12 3c sin 60 ,所以 c=4,于是a=2+ 2-2

14、bccos=32+ 42-23412=13,所以abc 的外接圆直径 2r=sin=1332=2393,所以abc 的外接圆半径为393,故 d 选项错误. 12.bcd 由题意得 + - = 0,故 a 选项错误; + + =-12( + )-12( + )-12( + )=0,故 b 选项正确;设 | |= , | |= ,则| |=| |=1,令 | |+ | |= ,则四边形amqn 为菱形,又因为 | |+ | |=3 | |,所以 d 在bac 的平分线上,于是 ab=ac,从而 adbc,所以 是 在 上的投影向量,故 c 选项正确;由于 = + = +2 ,而 p 在线段 ad

15、上,所以 +2=1,故 =12212(+22)2=18,当且仅当 =14,=12时, 取得最大值,为18,故 d 选项正确. 13.答案 5 解析 由已知得 z=3i1+i=(3-i)(1-i)(1+i)(1-i)=24i2=1-2i,于是=1+2i,故|=5. 14.答案 213 解析 |2a+b|=(2 + )2=4|2+ 4 + |2=4 22+ 4 2 23 32+ (23)2=213. 15.答案 233 解析 由(a+b+c)(a+b-c)=3ab 得 a2+b2-c2=ab,所以 cos c=12,于是 c=60 ,又因为 a2=bc,所以sin2a=sin bsin c,于是s

16、in=sinsin2a=sinsinsin=1sin60=233. 16.答案 93;4327 12 / 15 解析 如图,依题意 pd=3,dc=33ab=33 23=2,dm=36ab=36 23=1,于是侧棱长pa=22+ (3)2=7,斜高 pm=12+ (3)2=2,所以三棱锥的表面积s=34 (23)2+312 23 2=93.当球与三棱锥相切时,其体积最大,设内切球球心为 o,半径为 r,作onpm 于点 n,则ponpmd,则有=,即1=3-r2,解得 r=33,于是 v=43(33)3=4327. 17.证明 (1)在平行四边形 abcd 中,连接 ac 交 bd 于点 o,

17、则 o 为 ac 的中点,连接 og.(1 分) 因为点 g 为 cf 的中点,所以 og 为afc 的中位线,所以 ogaf.(3 分) 又 af平面 bdg,og平面 bdg,所以 af平面 bdg.(5 分) (2)因为 abcd,ab平面 cdef,cd平面 cdef, 所以 ab平面 cdef.(7 分) 因为 ab平面 abfe,平面 abfe平面 cdef=ef,所以 abef.(10 分) 18.解析 (1)因为 z0=lg(a2-4a+4)+(a2-3a+2)i 为纯虚数, 所以lg(2-4a + 4) = 0,2-3a + 2 0,即2-4a + 4 = 1,2-3a +

18、2 0,解得 a=3,(3 分) 此时 z0=2i,由根与系数的关系得0+ b = 3 + 2i,0b = 6i,解得 b=3.(6 分) (2)复数 z 满足 1|z|a+bi|,即 1|z|32,(7 分) 故所求点 z 的集合是以原点为圆心,1 和 32为半径的两个圆所夹的圆环,包括边界.(10 分) 其面积 s=(32)2-12=17.(12 分) 19.解析 (1)证明:acos b+bcos a =a2+2-22+b2+2-22=2+2-22+2+2-22=222=c=右边,所以等式成立.(4 分) (2)选择. 13 / 15 由2-cos=cos可得 2ccos a-bcos

19、a=acos b,即 2ccos a=bcos a+acos b. 所以 2ccos a=c,(6 分) 所以 cos a=12,所以 a=60 .(7 分) 又因为 a=7,b=5,所以由正弦定理得7sin60=5sin,于是 sin b=5314, 而 ab,所以 ab,于是 cos b=1114,(9 分) 从而 sin c=sin(a+b)=sin(b+60 )=531412+111432=437,(10 分) 由正弦定理可得7sin60=437,于是 c=8,故abc 的周长为 7+5+8=20.(12 分) 选择.由 ccos a=2bcos a-acos c 可得 2bcos a

20、=acos c+ccos a=a2+2-22+c2+2-22=222=b,(6 分) 所以 cos a=12,所以 a=60 .(7 分) 又因为 a=7,b=5,所以由正弦定理得7sin60=5sin,于是 sin b=5314, 而 ab,所以 ab,于是 cos b=1114,(9 分) 从而 sin c=sin(a+b)=sin(b+60 )=531412+111432=437,(10 分) 由正弦定理可得7sin60=437,于是 c=8,故abc 的周长为 7+5+8=20.(12 分) 选择.由 2a-coscos=coscos可得 2a=coscos+coscos=cos+co

21、scos, 又 bcos c+ccos b=b2+2-22+c2+2-22=222=a,所以 2a=cos,(6 分) 所以 cos a=12,所以 a=60 .(7 分) 又因为 a=7,b=5,所以由正弦定理得7sin60=5sin,于是 sin b=5314, 14 / 15 而 ab,所以 ab,于是 cos b=1114,(9 分) 从而 sin c=sin(a+b)=sin(b+60 )=531412+111432=437,(10 分) 由正弦定理可得7sin60=437,于是 c=8, 故abc 的周长为 7+5+8=20.(12 分) 20.解析 (1)因为 acbc,ac=b

22、c=2,所以 sabc=12ac bc=12 2 2=2.(2 分) 又因为 sc 是高,且 sc=3,所以 vs-abc=13sabcsc=13 2 3=2.(4 分) (2)因为 sc 是高,sc=3,ac=bc=2, 所以 ssac=ssbc=12acsc=12 2 3=3,(6 分) sa=sb=32+ 22=13,ab=22,所以sab 是等腰三角形,且 ab 边上的高为(13)2-(222)2=11,(8 分) 所以 ssab=12 22 11=22,(10 分) 由(1)知 sabc=2,所以三棱锥 s-abc 的表面积为 3+3+2+22=8+22.(12 分) 21.解析 (1