高中数学必修二6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例 (2)

1、1 / 14 6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 基础过关练 题组一 平面几何中的向量方法 1.已知 a,b,c是平面上的三点,其坐标分别为(1,2),(4,1),(0,-1),则abc的形状为( ) a.直角(非等腰)三角形 b.等腰(非等边)三角形 c.等腰直角三角形 d.以上均不正确 2.在直角三角形 abc中,点 d 是斜边 ab的中点,点 p为线段 cd 的中点,则2+p22=( ) a.2 b.4 c.5 d.10 3.已知 o是abc所在平面内的一点,若( + ) =( + ) =( + ) =0,则点 o 是abc的(

2、) a.外心 b.内心 c.重心 d.垂心 2 / 14 4.已知点 p在abc所在的平面内,若 2 +3 +4 =3 , 则pab与pbc的面积的比值为 . 5.已知正方形 abcd 中,e、f分别是 cd、ad 的中点,be、cf交于点 p,连接 ap.用向量法证明: (1)becf; (2)ap=ab. 题组二 向量在物理中的应用举例 6.某人骑自行车的速度是 v1,风速为 v2,则逆风行驶的速度为( ) a.v1-v2 b.v1+v2 3 / 14 c.|v1|-|v2| d.|12| 7.(2020 山东济南高三下模拟)体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运

3、动处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为 60 ,每只胳膊的拉力大小均为 400 n,则该学生的体重约为(参考数据:重力加速度的大小为 g=10 n/kg,31.732)( ) a.63 kg b.69 kg c.75 kg d.81 kg 8.一条渔船距对岸 4 km,以 2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为 8 km,则河水的流速为( ) a.23 km/h b.2 km/h c.3 km/h d.3 km/h 9.一个物体同时受到同一平面内三个力 f1,f2,f3的作用,沿北偏东 45方向移动了 8 m,已知|f1|=2 n,方向为北偏东 30 ,|

4、f2|=4 n,方向为北偏东 60 ,|f3|=6 n,方向为北偏西 30 ,则这三个力的合力所做的功为( ) a.24 j b.242 j c.243 j d.246 j 4 / 14 10.如图所示,在细绳 o 处用水平力 f2缓慢拉起重力为 g 的物体,绳子与铅垂方向的夹角为 ,绳子所受到的拉力为 f1. (1)请说明|f1|、|f2|随角 的变化而变化的情况; (2)当|f1|2|g|时,求角 的取值范围. 能力提升练 题组一 平面几何中的向量方法 1.()已知 p是abc所在平面上一点,且| - |-| + -2 |=0,则abc的形状是( ) a.等腰直角三角形 b.直角三角形 5

5、 / 14 c.等腰三角形 d.等边三角形 2.(2019 湖南岳阳一中高一期末,)过abc内部一点 m任作一条直线 ef,adef于 d,beef于 e,cfef于 f,且 + + =0,则点 m是abc的( ) a.三条高的交点 b.三条中线的交点 c.三边中垂线的交点 d.三个内角平分线的交点 3.(2020 安徽六安第一中学高一下阶段测试,)已知 a=(-12,32), =a-b, =a+b.若oab是以 o 为直角顶点的等腰直角三角形,则aob的面积是 . 4.()如图,已知abc的面积为 14 cm2,d,e 分别为边 ab,bc上的点,且 addb=beec=21,ae,cd 交

6、于点 p,则apc的面积为 cm2. 6 / 14 5.(2020 河南新乡高一上期末,)在平行四边形 abcd中,ab=2,bc=3,b=30 ,点 e,f分别在边 bc,cd 上(不与端点重合),且=,则 的取值范围为 . 6.()如图,在abc中,bac=120 ,ab=ac=3,点 d在线段 bc上,且bd=12dc.求: (1)ad 的长; (2)dac的大小. 题组二 向量在物理中的应用举例 7.(2019 广东惠州高一期中,)一只鹰正以与水平方向成 30 角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度的大小是 40 m/s,则鹰的飞行速率为( ) a.8

7、03 m/s b.4033 m/s 7 / 14 c.8033 m/s d.403 m/s 8.()一条两岸平行的河流,水速为 1 m/s,小船的速度为 2 m/s,为使所走路程最短,小船应朝 的方向行驶. 9.()如图,一个力 f作用于小车 g,使小车 g 发生了 40 米的位移,f的大小为 50 n,且与小车的位移方向的夹角为 60 ,e是与小车位移方向相同的单位向量,则 f在小车位移上的投影向量为 ,力 f做的功为 . 10.()如图所示,一条河的两岸互相平行,河的宽度 d=500 m,一艘船从 a 点出发航行到河对岸,船航行速度的大小为|v1|=10 km/h,水流速度的大小为|v2|

8、=4 km/h,设 v1和 v2的夹角为 (0180). (1)当 cos 多大时,船能垂直到达对岸? (2)当船垂直到达对岸时,航行所需时间是否最短?为什么? 8 / 14 答案全解全析答案全解全析 基础过关练 1.c 由题意,得 =(3,-1), =(-1,-3), =3 (-1)+(-1) (-3)=0,且| |=| |=10,abc 为等腰直角三角形. 2.d 2+p22=| |2+| |2|2= 2+ 2 2 =( + )2+( + )2 2 =2| |2+2 ( + )+| |2| |2=| |2| |2-6=42-6=10. 3.a 由已知得( + )( - )=( + )( -

9、 )=( + )( - )=0,即 2- 2= 2- 2= 2- 2=0,所以| |=| |=| |,所以点 o是abc 的外心.故选 a. 4.答案 45 解析 2 +3 +4 =3 , 2 +3 +4 =3( - ), 5 =-4 , 9 / 14 点 p 在线段 ac 上,且| |=45| |. pab 与pbc 分别以 pa,pc 为底时,高相同, pab 与pbc 的面积的比值为| | |=45. 5.证明 如图,建立平面直角坐标系 xoy, 不妨设 ab=2,则 a(0,0),b(2,0),c(2,2),e(1,2),f(0,1). (1) = - =(1,2)-(2,0)=(-1

10、,2), = - =(0,1)-(2,2)=(-2,-1), =-1 (-2)+2 (-1)=0, ,即 becf. (2)设 p(x,y),则 =(x,y-1), =(x-2,y),由(1)知 =(-2,-1), =(-1,2), ,-x=-2(y-1),即 x=2y-2. 同理,由 ,得 y=-2x+4. 联立,解得 =65, =85,即 p65,85. 2=652+852=4= 2, | |=| |,即 ap=ab. 6.b 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为 v1+v2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量. 7.b 设两只胳膊的拉力分别为 f1,f2,学生的体重为 m kg, 10

11、 / 14 则 mg=|f1+f2| =(1+ 2)2 =4002+ 2 400 400 cos60 + 4002 =4003692.8,可得 m69 kg.故选 b. 8.a 如图,设 a为渔船,bc 所在直线为对岸,ab=4 km,实际航程 ac=8 km,则bca=30 ,又|vab|=2 km/h,|vac|=4 km/h, |vbc|=23 km/h,故选 a. 9.d 如图,以正东方向为 x轴正方向,正北方向为 y 轴正方向,建立平面直角坐标系, 则 f1=(1,3),f2=(23,2),f3=(-3,33), 所以合力 f=f1+f2+f3=(23-2,2+43). 由题意得,位

12、移 s=(42,42), 故合力 f所做的功 w=fs=(23-2) 42+(2+43) 42=63 42=246(j). 故选 d. 10.解析 画出物体的受力分析图,如图. 11 / 14 (1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得,g=-(f1+f2),|f1|=|cos,|f2|=|g|tan . 当角 从 0 趋向于 90 时,|f1|、|f2|都逐渐增大. (2)由|f1|=|cos2|g|,得 cos 12. 0 90,0 60 , 角 的取值范围是 0 60 . 能力提升练 1.b p 是abc 所在平面上一点,且| - |-| + -2 |=0, | |-|( - )+(

13、- )|=0, 即| |=| + |,| - |=| + |, 两边平方并化简得 =0, , a=90 ,即abc 是直角三角形.无法判断abc 是不是等腰三角形.故选 b. 2.b 根据特殊位置法,可以判断,当直线 ef经过 c 点时, + + =0,即 + =0,于是| |=| |,ef即为 ab 边上的中线,同理,当 ef经过 a 点时,ef是bc 边上的中线,当 ef经过 b 点时,ef是 ac 边上的中线,因此,点 m 是abc 的三条中线的交点,故选 b. 3.答案 1 解析 , =(a-b)(a+b)=0,a2-b2=0,|a|=|b|, | |=| |,|a-b|=|a+b|,

14、a2+b2-2ab=a2+b2+2ab,ab=0, 12 / 14 又|a|=1, a、b是互相垂直的单位向量,| |=| |=2,soab=12| | | |=1. 4.答案 4 解析 设 =a, =b,以 a,b 为一组基底,则 = +23 =a+23b, =13 + =13a+b. 点 a,p,e 与点 d,p,c 分别共线, 存在实数 和 ,使 = =a+23b, = =13a+b. 又 = + =(23+13)a+b, =23+13,23 = ,解得 =67, =47, spab=47sabc=1447=8 cm2,spbc=14 (1-67)=2 cm2,sapc=14-8-2=4

15、 cm2. 5.答案 -13,1 解析 以 b 为坐标原点,bc 所在直线为 x轴,bc 的垂线为 y轴建立平面直角坐标系,则 a(3,1). 由=可设 be=tbc=3t,cf=tcd=2t(0t1), 则 e(3t,0),f(3+3t,t), =(3t-3,-1), =(3t,t-1), =3t(3t-3)-(t-1)=3t2-4t+1=3 t-232-13, 13 / 14 0t1, 当 t=23时, 有最小值,为-13;当 t 无限趋近于 0时, 无限趋近于 1. 故 的取值范围为 -13,1 . 6.解析 (1)设 =a, =b,则 = + = +13 = +13( - )=23 +

16、13 =23a+13b. | |2= 2=(23 +13)2=49a2+229ab+19b2=49 9+229 3 3 cos 120 +19 9=3,ad=3(负值舍去). (2)设dac=(0120),则 为 与 的夹角. cos = | | |=(23+13)33=23+13233=2333(-12)+13933=0,=90,即dac=90 . 7.c 如图所示,设鹰的飞行速度为 v1,鹰在地面上的影子的速度为 v2,则|v2|=40 m/s.因为鹰的运动方向与水平方向成 30 角向下,所以|v1|=|2|32=8033 m/s. 8.答案 与水速成 120 角 解析 如图,为使小船所走路程最短,v水+v船应与岸垂直.又|v水|=| |=1,|v船|=| |=2,adc=90 ,所以cad=30 .所以小船应朝与水速成 120 角的方向行驶. 9.答案 25e;1 000 j 14 / 14 解析 |f|=50,且 f与小车的位移方向的夹角为 60 , f在小车位移上的投影向量为|f|cos 60 e=25