高中数学必修一第五章 5.4.3

1、1 / 13 5.4.3 正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象 学习目标 1.掌握正切函数的周期性和奇偶性.2.能借助单位圆画出 ytan x 的图象.3.掌握正切函数的性质 知识点 函数 ytan x 的图象与性质 解析式 ytan x 图象 定义域 x x2k，kz 值域 r 最小正周期 奇偶性 奇函数 单调性 在每个开区间2k，2k (kz)上都是增函数 对称性 对称中心k2，0 (kz) 思考 正切函数 ytan x的图象与 xk2，kz 有公共点吗？ 答案 没有正切曲线是由被互相平行的直线 xk2(kz)隔开的无穷多支曲线组成的 1正切函数的定义域和值域都是 r.( ) 2正切函

2、数图象是中心对称图形，有无数个对称中心( ) 3正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是 xk2，kz.( ) 4正切函数是增函数( ) 2 / 13 一、正切函数的图象的画法 例 1 我们能用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图，类似地你能画出正切函数 ytan x，x2，2的简图吗？ 解 三个关键点：4，1 ，(0,0)，4，1 ， 两条平行线：x2，x2. 反思感悟 “三点两线法”作正切曲线的简图 (1)“三点”分别为k4，1 ，(k，0)，k4，1 ，其中 kz；两线分别为直线 xk2和直线 xk2，其中 kz.(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交) (2)作简图时，只需先

3、作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可 二、正切函数的单调性及其应用 例 2 (1)比较下列两个数的大小(用“”或“”填空)： tan 27_tan 107； tan 65_tan135. 答案 解析 tan 107tan 37，且 027372， 又 ytan x在0，2上单调递增， 所以 tan 27tan 37，即 tan 27tan 107. tan 65tan 5，tan135tan 25， 因为 05252，又 ytan x 在0，2上单调递增， 所以 tan 5tan 25，则 tan 65tan135. 3 / 13

4、 (2)求函数 ytan12x4的单调递增区间 解 令 z12x4，则 ytan z. 由于函数 ytan z在2k，2k (kz)上是增函数，且 z12x4是增函数， 由2k12x42k，kz， 解得322kx22k，kz. 所以函数 ytan12x4的单调递增区间为322k，22k (kz) 延伸探究 求函数 y3tan12x4的单调递减区间 解 y3tan12x4可化为 y3tan12x4， 由 k212x4k2，kz， 得 2k2x0)的单调区间的求法是把 x 看成一个整体，解2kx2k，kz 即可当 0 时，先用诱导公式把 化为正值再求单调区间 跟踪训练 1 求函数 ytan2x3的

5、单调区间 解 ytan x 在2k，2k (kz)上是增函数， 2k2x32k，kz， 即12k2x512k2，kz. 函数 ytan2x3的单调递增区间是12k2，512k2(kz)，无单调递减区间 4 / 13 三、正切函数图象与性质的综合应用 例 3 设函数 f(x)tanx23. (1)求函数 f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式1f(x) 3的解集 解 (1)由x232k(kz)， 得 x532k(kz)， 所以 f(x)的定义域是x x532k，kz. 因为 12，所以最小正周期 t122. 由2kx232k(kz)， 得32kx532k(kz) 所以

6、函数 f(x)的单调递增区间是32k，532k (kz)，无单调递减区间 由x23k2(kz)，得 xk23(kz)， 故函数 f(x)的对称中心是k23，0 ，kz. (2)由1tanx23 3， 得4kx233k(kz)， 解得62kx432k(kz) 所以不等式1f(x) 3的解集是x 62kx432k，kz. 反思感悟 解答正切函数图象与性质问题应注意的两点 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是k2，0 (kz)，不存在对称轴 (2)单调性：正切函数在每个2k，2k (kz)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的 跟踪训练 2 关于 x 的函数 f(x)tan(x)有以下几

7、种说法： 对任意的 ，f(x)都是非奇非偶函数；f(x)的图象关于2，0 对称；f(x)的图象关于(，0)对称；f(x)是以 为最小正周期的周期函数 5 / 13 其中不正确的说法的序号是_ 答案 解析 若取 k(kz)，则 f(x)tan x，此时，f(x)为奇函数，所以错；观察正切函数ytan x的图象，可知 ytan x 关于k2，0 (kz)对称，令 xk2得 xk2，分别令 k1,2 知，正确，显然正确 1函数 ytan2x4的最小正周期为( ) a2 b c.2 d.4 答案 c 解析 根据周期公式计算得 t2，故选 c. 2函数 ytanx4的定义域是( ) a.x x4 b.x

8、 x4 c.x xk4，kz d.x xk34，kz 答案 d 解析 由 x4k2(kz)得 xk34，kz. 3函数 ytanx5的一个对称中心是( ) a(0,0) b.5，0 c.45，0 d(，0) 答案 c 解析 令 x5k2，得 xk25，kz， 所以函数 ytanx5的对称中心是k25，0 ，kz. 令 k2，可得函数的一个对称中心为45，0 . 4函数 ytan(x)，x4，3的值域为_ 答案 ( 3，1) 解析 ytan(x)tan x，在4，3上为减函数，所以值域为( 3，1) 6 / 13 5比较大小：tan 134_tan 175. 答案 解析 因为 tan 134ta

9、n 4， tan 175tan 25， 又 04252， ytan x在0，2内单调递增， 所以 tan 4tan 25， 即 tan 134tan 175. 1知识清单： (1)正切函数图象的画法； (2)正切函数的性质 2方法归纳：三点两线法，整体代换，换元 3常见误区：最小正周期 t|，在定义域内不单调，对称中心为k2，0 (kz) 1函数 f(x)2tan(x)是( ) a奇函数 b偶函数 c既是奇函数，也是偶函数 d非奇非偶函数 答案 a 解析 f(x)2tan xf(x)，为奇函数 2f(x)tanx4的单调减区间是( ) a.k2，k2，kz b(k，(k1)，kz c.k34，

10、k4，kz 7 / 13 d.k4，k34，kz 答案 c 解析 令2kx42k，kz， 解得34kx0)的图象上的相邻两支曲线截直线 y1 所得的线段长为4.则 的值是( ) a1 b2 c4 d8 答案 c 解析 由题意可得 f(x)的最小正周期为4，则4，4. 4若 f(x)tanx4，则( ) af(0)f(1)f(1) bf(0)f(1)f(1) cf(1)f(0)f(1) df(1)f(0)f(1) 答案 a 解析 f(x)在 k2x4k2，kz， 即 k34xk4，kz 上是增函数，且周期为 ， f(1)f(1)，341104， f(1)f(1)f(1)f(1) 5下列关于函数

11、ytanx3的说法正确的是( ) a在区间6，56上单调递增 b最小正周期是 c图象关于点4，0 成中心对称 d图象关于直线 x6成轴对称 考点 正切函数周期性与对称性 题点 正切函数周期性与对称性 8 / 13 答案 b 解析 令 k2x3k2，kz，解得 k56xk6，kz，显然6，56不满足上述关系式，故 a 错误；易知该函数的最小正周期为 ，故 b 正确；令 x3k2，kz，解得 xk23，kz，任取 k 值不能得到 x4，故 c 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数 ytanx3的图象也没有对称轴，故 d错误故选 b. 6函数 y3tanx6的最小正周期是2，则 _. 答案 2 解

12、析 t|2， 2. 7函数 y 1tan x的定义域为_ 答案 k2，k4(kz) 8函数 y2tan3x45的单调递增区间是_ 答案 k34，k312，kz 解析 令 k23x4k2(kz)，得 k34xk312(kz) 9设函数 f(x)tanx33. (1)求函数 f(x)的最小正周期、对称中心； (2)作出函数 f(x)在一个周期内的简图 解 (1)13， 最小正周期 t133. 令x33k2(kz)，得 x3k2(kz)， f(x)的对称中心是3k2，0 (kz) (2)令x330，则 x； 令x332，则 x52； 9 / 13 令x332，则 x2. 函数 ytanx33的图象与

13、 x 轴的一个交点坐标是(，0)，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 x2，x52，从而得到函数 yf(x)在一个周期2，52内的简图(如图). 10已知函数 f(x)3tan6x4. (1)求 f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较 f()与 f 32的大小 解 (1)因为 f(x)3tan6x43tanx46， 所以 t144. 由 k2x46k2(kz)， 得 4k43x4k83(kz) 因为 y3tanx46在4k43，4k83(kz)内单调递增， 所以 f(x)3tanx46在4k43，4k83(kz)内单调递减 故原函数的最小正周期为 4. 单调递减区间为4

14、k43，4k83(kz) (2)f()3tan643tan123tan 12， f 323tan6383tan5243tan524， 因为 0125242， 且 ytan x 在0，2上单调递增， 10 / 13 所以 tan 12f 32. 11若 f(n)tan n3(nn*)，则 f(1)f(2)f(2 019)等于( ) a 3 b. 3 c0 d2 3 答案 c 解析 由题意可知，t33， f(1) 3，f(2) 3， f(3)0f(1)f(2)f(3)0， 故 f(1)f(2)f(2 019)67300. 12已知函数 ytan x 在区间2，2内是减函数，则( ) a01 b10

15、 c1 d1 答案 b 解析 ytan x 在2，2内是减函数， 0且 t， 10，0，|2的图象与 x 轴相交的两相邻点的坐标为6，0 和56，0 ，且过点(0，3)，则 f(x)_，f(x) 3的 x 的取值范围为_ 11 / 13 答案 3tan32x4 2k3518，2k32(kz) 解析 由题意可得 f(x)的周期为 t56623，所以 32， 得 f(x)atan32x ，它的图象过点6，0 ， 所以 tan326 0，即 tan4 0， 所以4k(kz)，得 k4，kz， 又|2，所以 4， 于是 f(x)atan32x4， 它的图象过点(0，3)， 所以 atan43，得 a3. 所以 f(x)3tan32x4. 由 3tan32x4 3， 所以 tan32x433， 得 k632x4k2，kz， 解得2k3518x2k32，kz， 所以满足 f(x) 3的 x的取值范围是2k3518，2k32(kz) 15函数 ytan xsin x|tan xsin x|在区间2，32内的图象是( ) 12 / 13 答案 d 解析 当2x，tan xsin x，y2tan x0； 当 x时，y0； 当 xsin x，y2sin x故选 d. 16设函数 f(x)tan(x)0，00，所以 2， 从而 f(x)tan(2x)