高中数学必修一第五章 5.1.2

1、1 / 11 5.1.2 弧度制弧度制 学习目标 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“1 弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数 知识点一 度量角的两种单位制 1角度制： (1)定义：用度作为单位来度量角的单位制 (2)1 度的角：周角的1360. 2弧度制： (1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制 (2)1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 知识点二 弧度数的计算 思考 比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？ 答案 一定大小的圆心角 所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关 知识点三 角度与弧度

2、的互化 角度化弧度 弧度化角度 360 2 rad 2 rad360 180 rad rad180 1 180 rad0.017 45 rad 1 rad180 57.30 度数180弧度数 弧度数180 度数 2 / 11 知识点四 弧度制下的弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为 r，弧长为 l，(02)为其圆心角，则 (1)弧长公式：lr. (2)扇形面积公式：s12lr12r2. 思考 扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？ 答案 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高 预习小测 自我检验 118 _ rad

3、. 答案 10 2.310_. 答案 54 3若 4，则 是第_象限角 答案 一 4圆心角为3弧度，半径为 6的扇形的面积为_ 答案 6 解析 扇形的面积为126236. 一、弧度制的概念 例 1 下列说法正确的是( ) a1 弧度的圆心角所对的弧长等于半径 b大圆中 1弧度的圆心角比小圆中 1 弧度的圆心角大 c所有圆心角为 1 弧度的角所对的弧长都相等 d用弧度表示的角都是正角 考点 弧度制 题点 弧度制定义 答案 a 解析 对于 a，根据弧度的定义知，“1 弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故 a 正确；对于 b，大圆中 1弧度的圆心角与小圆中 1弧度的圆心角相等，故 b错误；对于 c，

4、不在同3 / 11 圆或等圆中，1 弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故 c 错误；对于 d，用弧度表示的角也可以不是正角，故 d错误 反思感悟 对弧度制定义的三点说明 (1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值 (2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如 2 rad 可简写为 2. (3)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的 跟踪训练 1 下列各说法中，错误的是( ) a“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 b1 弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 c根据弧度的定义，180 一定等于 弧度 d不论用角度制还是

5、用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关 答案 d 解析 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以 d 是错误的，其他 a，b，c 正确 二、角度制与弧度制的互化 例 2 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72 ；(2)300 ；(3)2；(4)29. 解 (1)72 7218025； (2)300 30018053； (3)22180 360 ； (4)2929180 40 . 反思感悟 角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 rad180 是关键，由它可以得到：度数180弧度数，弧度数180 度

6、数 跟踪训练 2 已知 15 ，10，1，105 ，712，试比较 ， 的大小 解 . 三、与扇形的弧长、面积有关的计算 例 3 已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的弧度数 4 / 11 解 设扇形圆心角的弧度数为 (02 rad 舍去 当 r4时，l2，此时，2412(rad) 综上可知，扇形圆心角的弧度数为12 rad. 延伸探究 1已知一扇形的圆心角是 72 ，半径为 20，求扇形的面积 解 设扇形弧长为 l，因为圆心角 72 7218025 rad， 所以扇形弧长 l| r25208， 于是，扇形的面积 s12l r1282080. 2已知一扇形的周长为 4

7、，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 解 设扇形圆心角的弧度数为 (02)，弧长为 l，半径为 r，面积为 s， 则 l2r4，所以 l42r21r2， 所以 s12l r12(42r)rr22r(r1)21， 所以当 r1 时，s最大，且 smax1， 因此，lr42112(rad) 反思感悟 扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是 s12lr12r2(其中 l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，是扇形圆心角的弧度数，02) (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用

8、弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解 跟踪训练 3 已知扇形的半径为 10 cm，圆心角为 60 ，求扇形的弧长和面积 解 已知扇形的圆心角 60 3，半径 r10 cm， 5 / 11 则弧长 l r310103(cm)， 于是面积 s12lr1210310503(cm2) 1下列说法中，错误的是( ) a半圆所对的圆心角是 rad b周角的大小等于 2 c1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 d长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1弧度 答案 d 解析 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知 a，b，c 均正确，d 错误 2若 2 rad，则 的终边在( ) a第一象限 b第

9、二象限 c第三象限 d第四象限 答案 c 3时钟的分针在 1 点到 3点 20 分这段时间里转过的弧度为( ) a.143 b143 c.718 d718 答案 b 解析 显然分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为732143. 4在半径为 10 的圆中，43的圆心角所对弧长为( ) a.403 b.203 c.2003 d.4003 答案 a 解析 由于 r10，43，所以弧长 lr 403. 5周长为 9，圆心角为 1 rad 的扇形面积为_ 答案 92 6 / 11 解析 由题意可知 2rl9，lr，所以 r3，l3， 所以 s12lr92. 1知

10、识清单： (1)弧度制的概念 (2)弧度与角度的相互转化 (3)扇形的弧长与面积的计算 2方法归纳：消元法解方程组 3常见误区：弧度与角度混用 1120 化为弧度为( ) a56 b2 c23 d34 答案 c 解析 由于 1 180 rad， 所以120 12018023，故选 c. 2若圆的半径变为原来的 2倍，而弧长也增加到原来的 2倍，则( ) a扇形的面积不变 b扇形的圆心角不变 c扇形的面积增大到原来的 2倍 d扇形的圆心角增大到原来的 2倍 答案 b 解析 l|r，|lr. 当 r，l均变为原来的 2 倍时，|不变 而 s12|r2中，不变，s变为原来的 4倍 3用弧度制表示终边

11、与 150 角相同的角的集合为( ) a. 562k，kz 7 / 11 b. 56k 360 ，kz c. 232k，kz d. 562k，kz 答案 d 解析 150 15018056，故终边与角 150 相同的角的集合为 562k，kz.故选 d. 4圆的半径为 r，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是( ) a.23 rad b.32 rad c.23 d.32 答案 b 解析 由弧度数公式 lr，得 32rr32， 因此圆弧所对的圆心角是32 rad. 5集合 k4k2，kz中角所表示的范围(阴影部分)是( ) 答案 c 解析 k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线 yx 左上

12、部分(包含边界)，k 为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线 yx 的右下部分(包含边界)故选 c. 6.12 rad_度，_ rad480 . 答案 15 83 解析 121801215 ，480 48018083. 7把角690 化为 2k(02，kz)的形式为_ 答案 46 解析 方法一 690 690180236. 8 / 11 因为23646，所以690 46. 方法二 690 2360 30 ， 则690 46. 8在扇形中，已知半径为 8，弧长为 12，则圆心角是_弧度，扇形面积是_ 答案 32 48 解析 |lr12832， s12l r1212848. 9将下列各角化成弧度制

13、下的角，并指出是第几象限角 (1)1 725 ；(2)60 360 k(kz) 解 (1)1 725 75 5360 52512 11512，是第一象限角 (2)60 360 k180602k 32k(kz)，是第四象限角 10已知半径为 10 的圆 o中，弦 ab的长为 10. (1)求弦 ab 所对的圆心角 的大小； (2)求 所在的扇形的弧长 l及弧所在的弓形的面积 s. 解 (1)由o的半径 r10ab， 知aob是等边三角形， aob60 3. (2)由(1)可知 3，r10， 弧长 l r310103， s扇形12lr1210310503， 而 saob12 ab32ab12105

14、 325 3， s弓形s扇形saob2523 3 . 9 / 11 11下列表示中不正确的是( ) a终边在 x轴上角的集合是|k，kz b终边在 y轴上角的集合是 2k，kz c终边在坐标轴上角的集合是 k2，kz d终边在直线 yx上角的集合是 42k，kz 答案 d 解析 对于 a，终边在 x轴上角的集合是|k，kz，故 a正确； 对于 b，终边在 y轴上的角的集合是 2k，kz，故 b 正确； 对于 c，终边在 x 轴上的角的集合为|k，kz，终边在 y 轴上的角的集合为 2k，kz，其并集为 k2，kz，故 c 正确； 对于 d，终边在直线 yx上的角的集合是 4k，kz，故 d 不

15、正确 12圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为( ) a1 b.12 c.6或56 d.3或53 答案 c 解析 设该弦所对的圆周角为 ， 则其圆心角为 2 或 22， 由于弦长等于半径， 所以可得 23或 223，解得 6或 56. 13设集合 m k23，kz，n|，则 mn_. 答案 56，3，6，23 解析 由k23，得43k83. 因为 kz，所以 k1,0,1,2，所以 mn56，3，6，23. 14已知一扇形的弧长为29，面积为29，则其半径 r_，圆心角为_ 答案 2 9 10 / 11 解析 设圆心角度数为 ，因为扇形的弧长为29，面积为291229r， 解得 r2，由于扇形的弧长为29r2，解得 9. 15扇形圆心角为3，半径为 a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为_ 答案 23 解析 如图，设内切圆半径为 r， 则 r