高中数学必修一专题强化训练（一）二次函数在给定区间上最值问题期末复习重点知识点

1、1 / 10 二次函数在闭区间上最值的求法二次函数在闭区间上最值的求法 二次函数的单调性与对称轴和开口方向有关，往往来讲，二次函二次函数的单调性与对称轴和开口方向有关，往往来讲，二次函数的开口方向一般是给定的，在此情况下，二次函数的单调性就和数的开口方向一般是给定的，在此情况下，二次函数的单调性就和对称轴与闭区间的位置关系有关。因而在求最值时，往往需要讨论对称轴与闭区间的位置关系有关。因而在求最值时，往往需要讨论对称轴和区间的位置关系，这类题目在后续学习中经常遇见。对称轴和区间的位置关系，这类题目在后续学习中经常遇见。 例题精讲例题精讲: 一选择题（共一选择题（共 7 小题）小题） 1若函数2

2、()5fx x m x=+ +在区间 1，5 上单调递增，则m的取值范围为( ) a2，)+ b(，2 c 10，)+ d(，10 2已知函数22 4 7y x a x= + +在区间3，1 上是单调函数，则实数a的取值范围是( ) a(，1 b 6，)+ c(，26，)+ d(，13，)+ 3若二次函数2()2 1fx a x a x= + +在区间2，3 上的最大值为 6，则(a= ) a13 b13或 5 c13或5 d13 4若函数2()4 3fx x x= 在区间 n，m上的值域为7，2 ，则mn的取值范围是( ) a 1，5 b 2，7 c 3，6 d 4，7 5已知2( )2af

3、 xxax=+在区间 0，1 上的最大值为g（a），则g（a）的最小值为( ) 2 / 10 a0 b12 c1 d2 6已知函数2( )2 ( 2 )1fxa x ax=+， 1x，3 是单调函数，则a的取值范围是( ) a 0，1 b1，0 c1，1 d1，2 7函数2()2fxxx= 在 a，b上的值域是3，1 ，若1b=，则ab+的取值集合为( ) a3，1 b2，0 c4，0 d2，1 二解答题（共二解答题（共 5 小题）小题） 8已知函数2()f x x a x= （1）若在区间 1，)+上是增函数，求实数a的取值范围； （2）求函数( )f x在区间 1，2 上的最小值 3 /

4、10 9已知函数2() 41fx x mx= +，m r （1）若关于x的不等式( ) 0f x 解集为空集，求m的取值范围； （2）若函数( )f x在区间2，)+上是单调增函数，求f（1）的最小值 10山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略，也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略济南新旧动能转换先行区肩负着山东新旧动能转换先行先试的重任，某制造企业落户济南先行区，该企业对市场进行了调查分析，每年固定成本 1000 万元，每生产产品x（百件），需另投入成本( )r x万元，且21 03 0 0,06 0()1 0 0 06 1 03 0 0 0 , 6

5、 0 xxxrxxxx+ =+，由市场调研知，每件产品售价 6 万元，且全年内生产的产品当年能全部销售完 （1）求年利润( )w x（万元）关于年产量x（百件）的函数解析式（利润=销售额成本） （2）年产量x为多少（百件）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 4 / 10 11已知函数2()3fx x a x= + （1）若不等式()4f x 的解集为r，求实数a的取值范围； （2）若不等式()2 6fx a x 对任意1x，3 恒成立，求实数a的取值范围 12已知函数2()1fx x a x= + （1）求( )f x在 0，1 上的最大值； （2）当1a=时，求( )f x在闭区间 t，

6、1 ()tt r+ 上的最小值 5 / 10 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 7 小题）小题） 1【解答】解：2()5fxxmx=+在区间 1，5 上单调递增， 12m ， 故2m 故选：a 2【解答】解：函数的对称轴是x a= ， 若函数在区间3，1 上是单调函数， 则3a 或1a ，解得：3a或1a， 故选：d 3【解答】解：显然0a，有2() ( 1 )1fxa xa= + +， 当0a时，( )f x在2，3 上的最大值为f（3）1 5 1a=+， 由1 5 16a +=，解得13a=，符合题意； 当0a时，( )f x在3，2 上的最大值为(1 ) 1fa=， 由16a

7、=，解得5a = ， 所以，a的值为13或5 故选：c 4【解答】解：2()43fxx x=， 6 / 10 f（2）7=，( 1 )ff =（5）2=， ( )f x在区间 n，m上的值域为7，2 ， 当1n= ，2m =或2n=，5m =时mn的最小值 3， 当1n= ，5m =时，mn取得最大值 6， 故mn的范围 3，6 故选：c 5【解答】解：因为2( )2af xxax=+的开口向上，对称轴2ax =， 122a即1a时，此时函数取得最大值g（a）f=（1）12a=， 当122a即1a时，此时函数取得最大值g（a）(0)2af=， 故g（a）1,12,12aaaa=， 故当1a=时

8、，g（a）取得最小值12 故选：b 6【解答】解：当0a=时，函数() 4 1fx x= +，为增函数，符合题意； 当0a时，函数2( )2 ( 2 )1fxa x ax=+的对称轴为2axa=，且函数在区间1，3 是单调函数， 21aa，或23aa，解得01a或10a 综上，实数a的取值范围是1，1 故选：c 7 / 10 7【解答】解：22( )2(1)1fxxxx= = + +， 1x= 时，( )f x取到最大值 1， 方程22 3x x = 的根是3x= 或 1 若1b=，则31a， a b+的取值集合围是：2，0 故选：b 二解答题（共二解答题（共 5 小题）小题） 8【解答】解：

9、（1）函数( )f x的对称轴是2ax =， 若在区间 1，)+上是增函数， 则12a，解得：2a； （2）12a即2a时，( )f x在 1，2 递增， 故()m inf xf=（1）1 a= ， 122a即24a 时，( )f x在 1，)2a递减，在(2a，2 递增， 故2( )( )24m inaaf xf=， 22a即4a时，( )f x在 1，2 递减， 故()m inf xf=（2）42 a= 9【解答】解：（1）() 0fx解集为空集， 判别式21 60m m=，解得01 6m 8 / 10 （2）2() 41fx x mx= +，图象开口向上，对称轴8mx =， 因为函数(

10、)f x在区间2，)+上是单调增函数， 所以28m，解得1 6m ， f（1）4 m= 是关于m的减函数， 所以当1 6m = 时，f（1）取最小值为 20 10【解答】解：（1）当06 0 x时，22( ) 600(10 300) 100010 3001000wx x x x x x= + = + ； 当6 0 x时，1 0 0 01 0 0 0( )6 0 0( 6 1 03 0 0 0 )1 0 0 01 02 0 0 0wx x xxxx= + = + 21 0 3 0 0 1 0 0 0 , 06 0()1 0 0 01 02 0 0 0 , 6 0 xxxw xxxx + = +；

11、 （2）当06 0 x时，22( ) 10 300 1000 10( 15) 1250wxxxx= + = +， 当1 5x=时，()1 2 5 0m a xw x =万元； 当6 0 x时，( )w x单调递减，4 1 5 0( )(6 0 )3m a xwxw= 年产量x为 60（百件）时，企业所获利润最大，最大利润是4 1 5 03万元 11【解答】解：（1）由不等式()4f x 的解集为r， 234xa x + 解集为r， 即210 xa x+ 解集为r， 可得0，即240a， 解得22a， 9 / 10 故a的取值范围是( 2,2) （2）由不等式()2 6fx a x 对任意1x，

12、3 恒成立， ()2 6fx a x，即23 2 6xa x a x+ 对任意1x，3 恒成立， 即23 0 xa x+对任意1x，3 恒成立， 3()minaxx+，1x，3 ； 33223xxxx+=； 当且仅当3xx=，即3x=时取等号 2 3a 故a的取值范围是(，23 12【解答】解：（1）2()1fx x a x= +的开口向上，对称轴2ax =， 所以在区间 0，1 的哪个端点离对称轴远，则在哪个端点处取得最大值， 当122a即1a时，( )f x取得最大值f（1）2 a= ， 当122a即1a时，( )f x的最大值(0 ) 1f=， （2）当1a=时，2()1fx x x= +的对称轴12x =， 当12t时，( )f x在 t，1t +上单调递增， 所以2( )( )1mi nfx ft t t= = +， 当112t