选择性必修第一册第一章 1.4.2 第1课时 距离问题

1、1 / 17 14.2 用空间向量研究距离、夹角问题用空间向量研究距离、夹角问题 第第 1 课时课时 距离问题距离问题 学习目标 1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想 知识点一 点 p到直线 l 的距离 已知直线 l的单位方向向量为 u，a 是直线 l上的定点，p 是直线 l外一点，设向量ap在直线l上的投影向量为aqa，则点 p 到直线 l的距离为 a2(a u)2 (如图) 知识点二 点 p到平面 的距离 设平面 的法向量为 n，a 是平面 内的定点，p 是平面 外一点，则点 p 到平面

2、的距离为|ap n|n|(如图) 思考 怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？ 答案 两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离 1空间内有三点 a(2,1,3)，b(0,2,5)，c(3,7,0)，则点 b 到 ac 的中点 p的距离为( ) a.102 b5 c.3 102 d3 5 答案 c 2已知直线 l过点 a(1，1,2)，和 l垂直的一个向量为 n(3,0,4

3、)，则 p(3,5,0)到 l的距离为( ) 2 / 17 a5 b14 c.145 d.45 答案 c 解析 pa(2，6,2)，pa n(2，6,2) (3,0,4)14 ，|n|5， 点 p到直线 l的距离为 d|pa n|n|145 . 3已知直线 l与平面 相交于点 o，al，b 为线段 oa 的中点，若点 a 到平面 的距离为10，则点 b到平面 的距离为_ 答案 5 4已知平面 的一个法向量为 n(2，2,1)，点 a(1,3,0)在平面 内，则点 p(2,1,4)到平面 的距离为_ 答案 103 解析 点 p到平面 的距离 d|pa n|n|244|441103. 一、点到直线

4、的距离 例 1 如图，在空间直角坐标系中有长方体 abcdabcd，ab1，bc2，aa3，求点 b到直线 ac的距离 解 因为 ab1，bc2，aa3，所以 a(0,0,3)，c(1,2,0)，b(1,0,0)， 所以直线 ac的方向向量 ac(1,2, 3) 又bc(0,2,0)， 所以bc在 ac上的投影长为|bcac| ac|414 . 所以点 b 到直线 ac的距离 3 / 17 d|bc|2bcac| ac|2416142 357. 反思感悟 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量 (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度 (

5、3)利用勾股定理求解另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化 跟踪训练 1 已知在正方体 abcda1b1c1d1中，e，f 分别是 c1c，d1a1的中点，求点 a到 ef的距离 解 以 d 点为原点，da，dc，dd1所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示， 设 da2，则 a(2,0,0)，e(0,2,1)，f(1,0,2)，则ef(1，2,1)，fa(1，0，2) |ef| 12(2)212 6，fa ef110(2)(2)11， fa在ef上的投影长为|fa ef|ef|16 . 所以点 a 到 ef 的距离 d|fa|21622961746. 二

6、、点到平面的距离与直线到平面的距离 例 2 如图，已知正方形 abcd 的边长为 1，pd平面 abcd，且 pd1，e，f 分别为ab，bc的中点 (1)求点 d到平面 pef 的距离； (2)求直线 ac到平面 pef的距离 解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 4 / 17 则 d(0,0,0)，p(0,0,1)，a(1,0,0)，c(0,1,0)，e1，12，0 ，f12，1，0 . 设 dh平面 pef，垂足为 h，则 dhxdeydfzdpx12y，12xy，z ， xyz1， pe1，12，1 ，pf12，1，1 ， 所以dh pex12y1212xy z 54xyz0. 同

7、理，dh pfx54yz0， 又 xyz1，解得 xy417，z917. 所以dh317(2,2,3)，所以|dh|31717. 因此，点 d到平面 pef 的距离为31717. (2)连接 ac，则 acef，直线 ac 到平面 pef的距离即为点 a到平面 pef 的距离， 平面 pef的一个法向量为 n(2,2,3)， 所求距离为|ae n|n|1171717. 反思感悟 用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系 (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标 (3)求向量：求出相关向量的坐标(ap，内两不共线向量，平面 的法向量 n) (4)求距离 d|ap n|n|.

8、5 / 17 跟踪训练 2 如图所示，已知四棱柱 abcda1b1c1d1是底面边长为 1 的正四棱柱若点 c到平面 ab1d1的距离为43，求正四棱柱 abcda1b1c1d1的高 解 设正四棱柱的高为 h(h0)，建立如图所示的空间直角坐标系， 有 a(0,0，h)，b1(1,0,0)，d1(0,1,0)，c(1,1，h)， 则ab1(1,0，h)，ad1(0,1，h)，ac(1,1,0)， 设平面 ab1d1的法向量为 n(x，y，z)， 则 n ab10，n ad10，即 xhz0，yhz0， 取 z1，得 n(h，h，1)，所以点 c到平面 ab1d1的距离为 d|n ac|n|hh

9、0h2h2143， 解得 h2. 故正四棱柱 abcda1b1c1d1的高为 2. 1已知 a(0, 0, 2) ，b(1, 0, 2) ，c(0, 2, 0) ，则点 a到直线 bc 的距离为( ) a.2 23 b1 c. 2 d. 2 2 答案 a 解析 a(0, 0,2)，b(1, 0,2)，c(0, 2,0)， ab(1, 0,0) ，bc(1, 2，2) ， 点 a到直线 bc的距离为 d|ab|2ab bc|bc|21132 2 23 . 6 / 17 2若三棱锥 pabc 的三条侧棱两两垂直，且满足 papbpc1，则点 p 到平面 abc的距离是( ) a.66 b.63 c

10、.36 d.33 答案 d 解析 分别以 pa，pb，pc所在直线为 x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则 a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1) 可以求得平面 abc的一个法向量为 n(1,1,1)， 则 d|pa n|n|33. 3已知棱长为 1 的正方体 abcda1b1c1d1，则平面 ab1c 与平面 a1c1d 之间的距离为( ) a.36 b.33 c.2 33 d.32 答案 b 解析 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 a1(1,0,0) , c1(0,1,0) , d(0,0,1) , a(1,0,1) ， 所以 da1(1,0，1) ，dc1(0,1

11、，1) , ad(1,0,0) ， 设平面 a1c1d 的一个法向量为 m(x，y，1) ， 则 mda1，mdc1， 即 x10，y10， 解得 x1，y1，故 m(1,1,1)， 7 / 17 显然平面 ab1c平面 a1c1d， 所以平面 ab1c与平面 a1c1d之间的距离 d|ad m|m|1333 . 4已知直线 l经过点 a(2,3,1)，且向量 n(1,0，1)所在直线与 l垂直，则点 p(4,3,2)到 l的距离为_ 答案 22 解析 因为pa(2,0，1)，又 n与 l垂直， 所以点 p 到 l的距离为|pa n|n|21|222. 5已知正方体 abcda1b1c1d1的

12、棱长为 2，e，f，g 分别是 c1c，d1a1，ab 的中点，则点 a 到平面 efg的距离为_ 答案 33 解析 建系如图， 则 a(2,0,0)，e(0,2,1)，f(1,0,2)，g(2,1,0)，所以ag(0,1,0)， ge(2,1,1)，gf(1，1,2) 设 n(x，y，z)是平面 efg的法向量， 点 a 到平面 efg的距离为 d， 则 n ge0，n gf0，所以 2xyz0，xy2z0， 所以 xz，yz，令 z1， 此时 n(1,1,1)， 所以 d|ag n|n|1333. 即点 a到平面 efg 的距离为33. 8 / 17 1知识清单： (1)点到直线的距离 (

13、2)点到平面的距离与直线到平面的距离 2方法归纳：数形结合、转化法 3常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用对公式推导过程的理解是应用的基础 1已知平面 的一个法向量 n(2，2,1)，点 a(1,3,0)在 内，则平面外一点 p(2,1,4)到 的距离为( ) a10 b3 c.83 d.103 答案 d 解析 pa(1,2，4)， 则点 p到 的距离 d|pa n|n|244|441103. 2正方体 abcda1b1c1d1的棱长为 a，则点 c1到平面 a1bd的距离是( ) a.22a b.33a c. 3a d.2 33a 答案 d 解析 以 a 为原点，ab，ad，aa

14、1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图 则ac1(a，a，a)，bc1(0，a，a)， 由于 ac1平面 a1bd，所以点 c1到平面 a1bd的距离 d|ac1 bc1|ac1|2a23a2 33a. 3已知正方体 abcda1b1c1d1的棱长为 2，点 e 是 a1b1的中点，则点 a 到直线 be 的距离是( ) 9 / 17 a.6 55 b.4 55 c.2 55 d.55 答案 b 解析 建立空间直角坐标系如图所示， 则ba(0,2,0)，be(0,1,2)， 设abe，则 cos |ba be|ba|be|22 555， sin 1cos22 55.

15、故 a 到直线 be 的距离 d|ab|sin 22 554 55. 4.如图，已知长方体 abcda1b1c1d1，a1a5，ab12，则直线 b1c1到平面 a1bcd1的距离是( ) a5 b8 c.6013 d.133 答案 c 解析 以 d 为坐标原点，da，dc，dd1的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则 c(0,12,0)，d1(0,0,5) 设 b(x，12,0)，b1(x，12,5)(x0) 设平面 a1bcd1的法向量为 n(a，b，c)， 由 nbc，ncd1， 得 n bc(a，b，c) (x，0,0)ax0， 10 / 17 n cd

16、1(a，b，c) (0，12,5)12b5c0， 所以 a0，b512c，所以可取 n(0,5,12) 又b1b(0,0，5)，所以点 b1到平面 a1bcd1的距离为|b1b n|n|6013. 因为 b1c1平面 a1bcd1，所以 b1c1到平面 a1bcd1的距离为6013. 5正方体 abcda1b1c1d1的棱长为 1，o 是 a1c1的中点，则 o 到平面 abc1d1的距离为( ) a.32 b.24 c.12 d.33 答案 b 解析 以da，dc，dd1为正交基底建立空间直角坐标系， 则 a1(1,0,1)，c1(0,1,1)，c1o12c1a112，12，0 ， 平面 a

17、bc1d1的一个法向量为da1(1,0,1)，点 o 到平面 abc1d1的距离 d|da1 c1o|da1|12224.故选 b. 6在空间直角坐标系 oxyz 中，平面 oab 的一个法向量为 n(2，2,1)已知点 p(1,3,2)，则点 p到平面 oab 的距离 d_. 答案 2 解析 d|n op|n|262|4412. 7.如图，在长方体 abcda1b1c1d1中，aa1ab2，ad1，点 f，g 分别是 ab，cc1的中点，则点 d1到直线 gf的距离为_ 答案 423 11 / 17 解析 如图，以 d 为坐标原点，分别以 da，dc，dd1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空

18、间直角坐标系， 则 d1(0,0,2)，f(1,1,0)，g(0,2,1)，于是有gf(1，1，1)，gd1(0，2,1)， 所以|gf gd1|gf|21313，|gd1| 5， 所以点 d1到直线 gf 的距离为513423. 8如图所示，在直二面角 dabe 中，四边形 abcd 是边长为 2 的正方形，aeb 是等腰直角三角形，其中aeb90 ，则点 d到平面 ace 的距离为_ 答案 2 33 解析 以 ab 的中点 o 为坐标原点，分别以 oe，ob 所在的直线为 x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 a(0，1,0)，e(1,0,0)，d(0，1,2)，c(0,1,

19、2).ad(0,0,2)，ae(1,1,0)，ac(0,2,2)， 设平面 ace 的法向量 n(x，y，z)，则 n ae0，n ac0. 即 xy0，2y2z0. 令 y1，n(1,1，1) 故点 d到平面 ace的距离 12 / 17 d|ad n|n|232 33. 9在直三棱柱 abca1b1c1中，abacaa12，bac90 ，m 为 bb1的中点，n 为bc 的中点 (1)求点 m 到直线 ac1的距离； (2)求点 n到平面 ma1c1的距离 解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则 a(0,0,0)，a1(0,0,2)，m(2,0,1)，c1(0,2,2)， 直线 ac

20、1的一个单位方向向量为 s00，22，22，am(2,0,1)， 故点 m 到直线 ac1的距离 d|am|2|am s0|2 5123 22. (2)设平面 ma1c1的法向量为 n(x，y，z)， 则 n a1c10，n a1m0， 即 2y0，2xz0， 取 x1，得 z2，故 n(1,0,2)为平面 ma1c1的一个法向量， 因为 n(1,1,0)，所以mn(1,1，1)， 故 n 到平面 ma1c1的距离 d|mn n|n|353 55. 10四棱锥 pabcd 中，底面 abcd 为矩形，pa平面 abcd，ad2ab4，且 pd 与底面 abcd所成的角为 45 .求点 b到直线

21、 pd的距离 解 pa平面 abcd，pda即为 pd与平面 abcd 所成的角， pda45 ，paad4，ab2. 以 a 为原点，ab，ad，ap 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示 13 / 17 a(0,0,0)，b(2,0,0)，p(0,0,4)，d(0,4,0)，dp(0，4,4) 方法一 设存在点 e，使dedp，且 bedp， 设 e(x，y，z)，(x，y4，z)(0，4,4)， x0，y44，z4， 点 e(0,44，4)，be(2,44，4) bedp， be dp4(44)440，解得 12. be(2,2,2)，|be| 4442 3

22、， 故点 b到直线 pd的距离为 2 3. 方法二 bp(2,0,4)，dp(0，4,4)， bp dp16， bp在dp上的投影的长度为|bp dp|dp|1616162 2. 所以点 b 到直线 pd 的距离为 d|bp|2(2 2)2 2082 3. 11.如图，abcdefgh 是棱长为 1的正方体，若 p在正方体内部且满足ap34ab12ad23ae，则 p到 ab的距离为( ) a.34 b.45 c.56 d.35 答案 c 14 / 17 解析 如图，分别以 ab，ad，ae 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，ab，ad，ae可作为 x，y，z轴方向上的单位向量，

23、因为ap34ab12ad23ae， 所以ap34，12，23，ab(1,0,0)，ap ab|ab|34， 所以 p点到 ab 的距离 d|ap|2ap ab|ab|218114491656. 12在正四棱柱 abcda1b1c1d1中，底面边长为 2，侧棱长为 4，则点 b1到平面 ad1c 的距离为( ) a.83 b.2 23 c.4 23 d.43 答案 a 解析 如图，以 d 为原点，da，dc，dd1分别为 x轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 a(2,0,0)，c(0,2,0)，d1(0,0,4)，b1(2,2,4)， ac(2,2,0)，ad1(2,0,4)，b1d1

24、(2，2,0) 设平面 ad1c 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n ac0，n ad10，即 2x2y0，2x4z0，取 z1，则 xy2，所以 n(2,2,1)， 所以点 b1到平面 ad1c的距离为|n b1d1|n|83，故选 a. 13在底面是直角梯形的四棱锥 pabcd 中，侧棱 pa底面 abcd，bcad，abc90 ，paabbc2，ad1，则 ad到平面 pbc的距离为_ 15 / 17 答案 2 解析 ad 到平面 pbc 的距离等于点 a 到平面 pbc 的距离由已知可得 ab，ad，ap 两两垂直以 a 为坐标原点，ab，ad，ap的方向为 x轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)， 则 a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(2,2,0)，p(0,0,2)， 则pb(2,0，2)，bc(0,2,0) 设平面 pbc 的法向量为 n(a，b，c)， 则 npb0，nbc0，即 2a2c0，b0， 取 a1，得 n(1,0,1)，又ab(2,0,0)， 所以 d|ab n|n| 2. 14.如图，在三棱柱 abca1b1c1中，所有棱长均为 1，且 aa1底面 abc，则点 b1到平面abc1的距离为_ 答案 217 解析 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 a32，12，0 ，b(0,1,0)，b1(0,1,1)，c1(0,0,1