高等数学课件：10-5 幂级数

1、第五节 幂级数10-5 10-5 幂级数幂级数定义定义: : 幂级数是一类特殊的，十分重要的函数项级数。0(0,1, 2,),kakx若均为常数,则函数项级数001000nnnnnaxxaaxxaxx0 x称为以为中心的幂级数，简称幂级数。(0,1, 2,),kak 其中称为幂级数的系数。 幂级数是多项式的推广，它的敛散性具有特别的性质。00100nnnnnxa xaa xa x当时， 级数为。证明：证明：, 0lim0 nnnxa00(1),nnna x收敛1 1，幂级数的收敛半径与收敛域，幂级数的收敛半径与收敛域引理:(Abel 引理), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得,M

2、nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 ,10时时当当 xx,00收收敛敛等等比比级级数数nnxxM 00nnna xxx当时收敛。（如果数列的极限存在，则该数列有界）（如果数列的极限存在，则该数列有界）00nnna xxx即级数当时绝对收敛。,)2(0时时发发散散假假设设当当xx 而而有有一一点点1x适适合合01xx 使使级级数数收收敛敛, ,则则级级数数当当0 xx 时时应应收收敛敛,这与所设矛盾这与所设矛盾.由由(1)结论结论,xo R R几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域由由Abel 引理，可得定理1：0,nnna xR R对于幂级数

3、，存在非负数可为使得定义定义: : 具有如上性质的具有如上性质的正数正数 R 称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径。收敛区间连同可能收敛的端点称为幂级数的收敛区间连同可能收敛的端点称为幂级数的收敛域收敛域。0,R 则收敛半径收敛区间仅为原点。规定规定问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?开区间开区间 (-R, R) (-R, R) 称为幂级数的称为幂级数的收敛区间收敛区间。,R 则收敛半径收敛区间为全直线。证明：证明：0nnna x对级数应用达朗贝尔判别法nnnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x 1(1)lim0,nnnaa如果存在由比值审敛法由比值审敛法,

4、1|时时当当 x,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa,1|时时当当 x,|0发发散散级级数数 nnnxa开始开始并且从某个并且从某个 n|,|11nnnnxaxa 0|nnxa.0 nnnxa发发散散从从而而级级数数;1 R收敛半径收敛半径, 0)2( 如如果果, 0 x),(011 nxaxannnn有有,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa; R收敛半径收敛半径,)3( 如如果果, 0 x.0 nnnxa必必发发散散级级数数)|01(0收收敛敛使使知知将将有有点点否否则则由由定定理理 nnnxax.

5、0 R收敛半径收敛半径定理证毕定理证毕.例例2 2：求下列幂级数的收敛半径，：求下列幂级数的收敛半径，收敛收敛区间及收敛域。区间及收敛域。解：解：1limnnnaalim1nnn1 1R收敛半径。1,x 当时1,x 当时1( 1),nnn级数为11,nn级数为该级数收敛。该级数收敛。该级数发散。该级数发散。1(1);nnxn1,nan(1) 令则1,1 ;收敛区间为收敛域为 1， 1 。例例 3 3 求求幂幂级级数数 1122nnnx的的收收敛敛区区间间.解：解： 3523222xxx级数为级数为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法)()(lim1xuxunnn n

6、nnnnxx22lim12112 ,212x 级数收敛级数收敛, 1212 x当当,2时时即即 x,1212 x当当,2时时即即 x级数发散级数发散,2时时当当 x,211 n级级数数为为,2时时当当 x,211 n级级数数为为级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛区间与收敛域均为原级数的收敛区间与收敛域均为).2,2( 注意：在求注意：在求缺少偶次幂或奇次幂项的幂级数的收缺少偶次幂或奇次幂项的幂级数的收敛半径时，不能直接用敛半径时，不能直接用幂级数的系数的幂级数的系数的比值或根比值或根值，而应从常数项正项级数的比值判定法出发求值，而应从常数项正项级数的比值判定法出发求收敛半径。收敛

7、半径。2 2，幂级数的性质，幂级数的性质(1) 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中12min,RR R记，)nnnbac RRx, 1200,nnnnnna xb xRR设幂级数和的收敛半径各为 和则幂级数的代数性质为(2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘积积321xxx定理定理4:4: 利用幂级数的内闭一致收敛性幂级数的内闭一致收敛性 ，即可

8、导出幂级数和函数的连续性，可积性及可微性。证明：00001(, ),2xR RxRbxRxbR 取则,nnb ba x幂级数在闭区间上一致收敛，且各项连续，00( ),(, )s xb bxxR R 和函数在上连续，故在连续，由( ),s xR R任意，在上连续。端点处的讨论类似。000( )()xxnnns x dxa xdx 00nxnndxxa.110 nnnxna注：逐项积分后的幂级数收敛半径不改变。注：逐项积分后的幂级数收敛半径不改变。定理定理7:7: （逐项求导数）（逐项求导数） 证明：证明：,1111111111nnnnnnnnxaxnqxaxxxnxna 由比值审敛法可知级数由

9、比值审敛法可知级数 11nnnq收敛，收敛，),(01 nnqn于是于是故数列故数列1 nnq有界，必有有界，必有0 M，使得，使得), 2 , 1(111 nMxnqn又又Rx 10，级数，级数 11nnnxa收敛，收敛，由由比比较较审审敛敛法法即即得得级级数数 11nnnxna收收敛敛,RR 由由 ba ,在在),(RR 内内 的的 任任 意意 性性 ， 将将此此幂幂级级数数 11nnnxna在在x, 0)(Rx 上上逐逐项项积积分分即即得得,1 nnnxa因因逐逐项项积积分分所所得得级级数数的的收收敛敛半半径径不不会会缩缩小小，,RR 所以所以.RR 于是于是解解:, 0)0( s显显然然两边积分得两边积分得)1ln()(0 xdttsx ,11x )11( x11,) 1()(nnnnxxs设1211.1) 1()(nnnxxxxS,1时时又又 x.1)1(11收敛收敛 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即111( 1)ln2nnn特别的，。思考题思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的幂级数逐项求导后，收敛