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文档简介
1、第二章 线性方程组§2.1 向量的线性相关性一、向量的定义及运算定义 由n个数 构成的n元有序数组称为n元向量,记为(),其中称为该向量的第i个分量。定义 设,。 若s=t且 (i=1, 2, , s),则称向量与相等,记为=。注意:行向量:() 列向量:,也可记为 。定义 (1) 设,是两个n元向量,则称下列向量为向量与的和,记为 + ; (2)设是n元向量,k是数,称下列向量为数k与向量的数量乘积,记为。例 设 是任一n元向量,则0 =(0, 0, , 0) 我们称分量全为零的向量(0, 0, , 0)为零向量,记为;称向量为向量的负向量,记为。性质 设、是任意三个n元向量,k、
2、l是任意两个数,则有(1) + = + (2) ( + ) + = + ( + )(3) + = ( 是n元零向量)(4) + () = (5) 1 = (6) (kl) = k(l)(7) (k + l) = (k + l)(8) k( + ) = k + l另外,若,则或。有惟一解:。二、向量的线性相关性三个基本概念定义 设 是m个n元向量,k1, k2, km是任意m个数,称下列向量是向量组 的一个线性组合。此时,也称向量可由向量组 线性表出。例 一个向量 的线性组合_。 例 向量组 能否线性表出?例 已知向量,问:能否由 线性表出?解 设则有 由此得 (存在 使成立 它们使成立。即 可
3、由 线性表出 线性方程组有解。) 经验证,有解,故 可由 线性表出。结论: 线性表出 非齐次方程组有解 表示法唯一 解唯一定义 设 是m个元向量。若存在m个不全为零的数 ,使得则称向量组 线性相关。不线性相关的向量组称为线性无关。例 设 与是两个2元实向量,则 ,线性相关 与共线。例 设 与是两个n元向量,则 ,线性相关 与对应分量成比例。例2.1.5 一个向量 线性相关 。例2.1.6 证明向量组 线性相关。证明 设 则有 (存在不全为零的 使成立 它们也使成立,即 线性相关 齐次线性方程组有非零解。)经验证,方程组有非零解,故线性相关。线性无关: 不存在不全为零的数 ,使得 对任意不全为零
4、的数 ,均有 由 必可导出结论:线性相关 齐次线性方程组有非零解; 线性无关 齐次线性方程组无非零解。例 指出向量组的线性相关性。解 令,则有 因方程的个数 < 未知数的个数,故上述齐次线性方程组有非零解。于是,, 线性相关。例2.1.7 m个n元向量(m > n)线性相关。例 已知向量组线性无关。令,问:是否线性相关?解 令,则有因 线性无关,故 又上述方程组只有零解: 。由此得 线性无关。例2.1.4 在一个向量组中,如果有一个部分组(即由其中一部分向量构成的向量组)线性相关,则整个向量组也线性相关。例 包含零向量的向量组线性相关。例 已知 是三个4元向量,令证明:若 线性无关
5、,则 也线性无关。证明:令 ,则有 (1) (2)由 式(1)得, (3)已知 线性无关,故由 式(3)得 所以,线性无关。问题:(1) 由 线性相关是否可得出 也线性相关?(2) 由 的线性相关性能对 ,的线性相关性做出那些判断?(3)上述讨论是否可在向量个数、向量元数等方面一般化?定理2.1.1 向量组 线性相关的充分必要条件是:至少存在一个 可由其余向量线性表出。例2.1.9 设 是n个n元向量,称之为n元基本向量组,则 线性无关;对任一n元向量,均有 线性相关,且 可由 线性表出。定理2.1.2 设向量组 线性无关,而向量组 ,线性相关,则 可由 线性表出且表示法唯一。证明 ,线性相关
6、 存在不全为零的数 ,使 若,则且 不全为零。由此得 线性相关,与假设矛盾,故 。于是,即 可由 线性表出。 设则 因 线性无关,故 即所以,表示法唯一。例 已知向量组 线性相关,向量组线性无关。问 能否由 线性表出?法一 因为向量组 线性无关,故其部分组也线性无关。由向量组 线性相关,所以 可由线性表出。 法二 因为向量组 线性相关,故存在不全为零的三个数 ,使 (1)若 ,则 不全为零,并且 由此得 线性相关。这与已知条件“线性无关”相矛盾。所以,。于是由(1)式得即 可由 线性表出。定义 设 与 是两组n元向量,若每个 均可由 线性表出,则称向量组可由向量组线性表出。若向量组与向量组可相互线性表出,则称向量组与向量组等价,记为例2.1.11 讨论下列向量之间的关系:(1) 与 (2) 与 例 一个向量组可线性表出它的任意一个部分组。性质 向量组的等价具有(1)自反性:;(2)对称性:若,则;(3)传递性:若,则定理2.1.3 设 是一组n元
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