2022版高考数学一轮总复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用（精编版）

1、1 平面向量的数量积与平面向量应用举例考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题1 向量的夹角已知两个非零向量a 和 b，作oaa，obb，则 aob 就是向量a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是：0， 2 平面向量的数量积定义设两个非零向量a， b 的夹角为 ，则数量 |a|b| cos 叫做 a 与 b 的

2、数量积，记作a b投影|a|cos 叫做向量a 在 b 方向上的投影， |b|cos 叫做向量b 在 a方向上的投影几何意义数量积 a b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积3.平面向量数量积的运算律(1)交换律： a b b a；(2)数乘结合律：( a) b (a b)a ( b)；(3)分配律： a (bc)a b a c. 4平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a(x1，y1)， b(x2，y2)， a，b 结论几何表示坐标表示模|a|a a|a|x21y21数量积a b|a|b|cos a bx1x2y1y2夹角cos a b|a|b|c

3、os x1x2y1y2x21y21 x22y222 aba b 0 x1x2y1y20 |a b|与|a|b|的关系|a b|a|b|x1x2y1y2| x21y21 x22y22提醒： a b 与 a b 所满足的坐标关系不同a b? x1y2x2y1；a b? x1x2y1y20. 常用结论 1 平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab) (ab)a2b2；(2)(a b)2a2 2abb2. 2两个向量a，b 的夹角为锐角 ? a b0 且 a，b 不共线；两个向量a， b 的夹角为钝角 ? a b0 且 a，b 不共线3 a 在 b 方向上的投影为，b 在 a 方向上的投影为. 一、易

4、错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量() (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量() (3)由 a b0 可得 a0 或 b0.() (4)(ab)ca(b c)() 答案 (1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1设 a(1， 2)，b(3,4)，c(3,2)，则 (a 2b) c() a(15,12) b0 c 3 d 11 c a 2b(5,6)， (a 2b) c 5 36 2 3.2平面向量a 与 b 的夹角为45 ，a(1,1)，|b| 2，则 |3ab|等于 () a1362 b2 5 c30 d

5、34 d a(1,1)， |a|112. a b|a|b|cos 45 2 222 2. |3ab|9a2b26a b3 18 412 34.故选 d. 3已知向量a(1，m)，b(3， 2)，且 (ab)b，则 m_. 8 a(1， m)，b (3， 2)， ab(4，m2)，由 (ab) b 可得(ab) b122m4162m0，即 m 8. 4已知 |a|2，|b|6，a b 63，则 a 与 b 的夹角 _，a 在 b 方向上的投影为 _563cos a b|a| |b| 6 32 632. 又因为 0 ，所以 56.a 在 b 方向上的投影为a b|b| 6 363. 考点一平面向量

6、数量积的运算平面向量数量积的三种运算方法典例 1(1)已知在矩形abcd 中， ab4，ad2，若 e，f 分别为 ab，bc 的中点，则de df() a8 b10 c12 d14 (2)已知两个单位向量a 与 b 的夹角为60 ，则向量ab 在向量 a 方向上的投影为_(1)b(2)12(1) 法一： (定义法 )根据题意， 得de df(daae) (dccf)da dc4 da cfae dcae cf021cos 024cos 0010. 法二： (坐标法 )以点 a 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系则 a(0,0)，b(4,0)，c(4,2)， d(0,2) e，f 分别为

7、 ab，bc 的中点，e(2,0)，f(4,1) de(2， 2)， df(4， 1)， de df2 4(2)(1) 10. (2)由两个单位向量a 和 b 的夹角为60 ，可得 a b111212，所以 (ab) aa2a b11212，所以向量a b 在向量 a 方向上的投影为ab a|a|12112. 点评： 解决涉及几何图形的向量的数量积运算常有两种思路：一是定义法，二是坐标法定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系跟进训练 1在 abc 中， ab6，o 为 abc 的外

8、心，则 ao ab等于 () a6 b6 c12 d18 d如图，过点o 作 od ab 于 d，可知 ad12ab3，则ao ab (ad do) ab ad abdo ab 36018. 2 (2020 成都模拟 )在?abcd 中， |ab|8，|ad|6，n 为 dc 的中点， bm2mc，则am nm_. 24法一： (定义法 )am nm(abbm) (nc cm) ab23ad12ab13ad12ab229ad21282296224. 5 法二： (特例图形 )：若 ?abcd 为矩形，建立如图所示坐标系，则 n(4,6)，m(8,4)所以 am(8,4)，nm(4， 2)，所以

9、 am nm(8,4) (4， 2)32824. 考点二平面向量数量积的应用平面向量的模求向量模的方法(1)a2a a|a|2或|a|a a. (2)|a b|a b2a2 2a bb2. (3)若 a(x，y)，则 |a|x2y2. 典例 2 1(1)已知平面向量a，b 的夹角为6，且|a|3，|b| 2，在 abc 中，ab2a 2b，ac 2a6b，d 为 bc 中点，则 |ad|等于 () a2 b4 c6 d8 (2)已知在直角梯形abcd 中， adbc，adc90 ，ad2，bc1，p 是腰 dc 上的动点，则 |pa3pb|的最小值为 _(1)a(2)5(1) 因为 ad12(

10、abac)12(2a2b2a6b)2a2b，所以 |ad|24(ab)24(a22b ab2)4 3223 cos 64 4，则 |ad|2. (2)建立平面直角坐标系如图所示，则 a(2,0)， 设 p(0， y)， c(0，b)，则 b(1， b)，则 pa3pb(2， y)3(1，by)(5,3b4y)所以 |pa3pb| 25 3b4y2(0yb)当 y34b 时， |pa3pb|min5. 点评： 求向量模的最值(范围 )的方法6 (1)代数法，先把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法 (数形结合法 )，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解平

11、面向量的夹角求向量夹角问题的方法典例 2 2(1)(2019全国卷 )已知非零向量a，b 满足 |a|2|b|，且 (ab)b，则 a与 b 的夹角为 () a.6b.3c.23d.56(2)若向量 a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知 2a3b 与 c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是 _(1)b(2)，92 92，3(1)法一： 因为 (ab) b，所以 (ab) ba b|b|20，又因为 |a|2|b|，所以 2|b|2cosa，b |b|20，即 cosa， b12，又知 a，b0， ，所以 a，b3，故选 b. 法二： 如图，令 oaa，obb，则 baoaob ab，因

12、为 (ab) b，所以oba90 ，又|a|2|b|，所以aob3，即 a，b3.故选 b. (2)因为 2a3b 与 c 的夹角为钝角，所以 (2a3b) c0，即 (2k3， 6) (2,1)0，7 所以 4k660，所以 k3.若 2a3b 与 c 反向共线，则2k 32 6，解得 k92，此时夹角不是钝角，综上所述，k 的取值范围是，9292，3 . 点评： 数量积大于0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0 说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0 说明不共线的两向量的夹角为钝角两个向量垂直问题1 利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条

13、件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0 即可2 已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数典例 2 3(1)(2020全国卷 )已知单位向量a，b 的夹角为60 ，则在下列向量中，与 b 垂直的是 () aa2bb2abca 2bd2ab(2)已知向量 ab与ac的夹角为120 ，且|ab|3，|ac|2.若ap abac，且ap bc，则实数 的值为 _(1)d(2)712(1) 法一： 由题意，得a b |a| |b|cos 60 12.对于 a，(a2b) bab2b212252 0，故

14、 a 不符合题意；对于b，(2ab) b2a bb21120，故 b 不符合题意；对于c，(a2b)ba b2b2122320，故 c 不符合题意；对于d，(2ab) b2a b b2110，所以 (2ab)b.故选 d. 法二： 不妨设 a12，32，b(1,0)，则 a2b52，32，2ab(2，3)，a2b32，32，2ab(0，3)，易知，只有(2ab) b0，即 (2ab)b，故选 d. (2)因为 ap bc，所以 ap bc0. 又ap ab ac，bcac ab，8 所以 ( ab ac) (acab)0，即( 1)ac ab ab2ac20，所以 ( 1)|ac|ab|cos

15、 1209 40. 所以 ( 1)32 12 9 40.解得 712. 点评： 解答本例 (2)的关键是 bc的转化，考虑到 ap abac， 且ab与 ac的夹角为120 ，故bcac ab.从而 ap bc可转化为 ap bc0，即 ( abac) (acab) 0. 跟进训练 1(2021 全国统一考试模拟演练)已知单位向量a，b 满足 ab0，若向量 c7a2b，则 sina，c () a.73b.23c.79d.29b设 a(1,0)，b(0,1)，则 c(7，2)，所以 cosa，ca c|a| |c|73， sina，c23. 2(2020 福州模拟 )已知向量 |oa| 3，|

16、ob|2，ocmoa nob，若 oa与 ob的夹角为 60 ，且 ocab，则实数mn的值为 () a16b14c6 d4 a因为向量 |oa|3，|ob|2，ocmoanob，oa与ob夹角为 60 ，所以 oa ob32cos 60 3，所以 ab oc(oboa) (moanob) (mn)oa obm|oa|2n|ob|23(mn)9m4n 6m n0，所以mn16，故选 a. 3 (2020 全国卷 )设 a，b 为单位向量，且|ab| 1，则 |ab|_. 9 3 a，b 为单位向量，且|ab|1， (a b)21， 112a b1， a b12，|ab|2 a2 b22a b1

17、12 123， |ab|3. 考点三平面向量的应用平面向量常与平面几何、三角函数、解三角形、不等式、解析几何的问题综合起来考查， 还会与一些物理知识相结合考查解决此类问题的关键是把向量作为载体，将题干关系转化为向量的运算，进一步转化为实数运算来求解典例 3(1)设 p 是 abc 所在平面内一点，若ab (cb ca) 2ab cp，且 ab2ac22bc ap，则点 p 是 abc 的() a外心b内心c重心d垂心(2)在 abc 中， ab(3sin x，sin x)，ac(sin x，cos x)设 f(x)ab ac，若 f(a)0，求角 a 的值；若对任意的实数t，恒有 |abtac

18、|bc|，求 abc 面积的最大值(1)a由ab (cb ca) 2ab cp， 得ab (cbca 2cp)0， 即 ab (cbcp)(cacp)0，所以 ab (pbpa)0. 设 d 为 ab 的中点，则 ab 2pd0，故 ab pd0. 由ab2ac22bc ap，得(abac) (abac) 2bc ap，即(abac 2ap) bc0. 设 e 为 bc 的中点，则 (2ae2ap) bc0，则 2pe bc0，故bc pe0. 所以 p 为 ab 与 bc 的垂直平分线的交点，所以 p 是 abc 的外心故选a. 1 0(2)解f(x)ab ac3sin2xsin xcos

19、x31cos 2x2sin 2x2sin 2x332. f(a)0， sin 2a332. 又 a(0，) ， 2a33，2 3， 2a323， a6. 如图，设 adtac，则 ab tac db，即|db|bc|恒成立，ac bc. |ab|4sin2x22cos 2x2， |ac|1， |bc|ab|2|ac|23， abc 的面积 s12bc ac32，当且仅当 cos 2x 0，即 x4k ，k z 时等号成立， abc 面积的最大值为32. 点评： 运用向量表示三角形的外心、重心、垂心及内心(1)|oa|ob| |oc|(或oa2ob2oc2)? o 是 abc 的内心；(2)oa

20、ob oc0? o 是 abc 的重心；(3)oa obob oc oc oa? o 是 abc 的垂心；(4)oaab|ab|ac|ac|obba|ba|bc|bc|occa|ca|cb|cb|? o 是 abc 的内心跟进训练 1 (多选 )在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包假设行李包所受重力为g，作用在行李包上的两个拉力分别为f1，f2，且 |f1|f2|，f1与 f2的夹角为 .给出以下结论，其中正确的是() a 越大越费力，越小越省力b的范围为 0，1 1c当 2时， |f1| |g| d当 23时， |f1|g| ad对于 a，由 |g|f1f2|为定值，

21、所以|g|2|f1|2|f2|22|f1| |f2|cos 2|f1|2(1cos )，解得 |f1|2|g|22 1cos .由题意知 0，) 时，ycos 单调递减，所以|f1|2单调递增，即越大越费力， 越小越省力， a 正确；对于b，由题意知， 的取值范围是0，)，故 b 错误；对于c，当 2时， |f1|2|g|22，所以 |f1|22|g|，故 c 错误；对于d，当 23时， |f1|2|g|2，所以 |f1|g|，故 d 正确故答案为ad. 2 在 abc 中， ab bc3， 其面积 s32，3 32， 则ab与bc夹角的取值范围为() a.6，4b.4，3c.6，3d.23，

22、34c设ab与bc的 夹角为 ， ab bc3， |ab|bc|cos 3，即|ab|bc|3cos . 又 s32，332，故3212|ab|bc|sin( )3 32，所以3232tan 3 32，即33tan 3. 又 0， ，6 3.故选 c. 备考技法4平面向量中的最值(范围 )问题平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种：一是 “形化 ”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面

23、图形的特征直接进行判断；二是 “数化 ”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值1 2与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决 . 数量积的最值 (范围 )问题技法展示 1已知 abc 是边长为2 的等边三角形，p为平面 abc 内一点， 则pa (pbpc)的最小值是 () a 2 b32c43d 1 b法一： (极化恒等式 )结合题意画出图形，如图所示，设bc 的中点为d， ad 的中点为 e，连接 ad，pe，pd，则有 pbpc2pd，图则pa (pb pc) 2pa pd 2(peea) (peea)2(pe2ea2)而 ea

24、232234，当点 p 与点 e 重合时， pe2有最小值0，故此时 pa (pbpc)取得最小值，最小值为2ea2 23432. 法二： (坐标法 )如图，以等边三角形abc 的底边 bc 所在直线为x 轴，以边 bc 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则a(0，3)，b(1,0)，c(1,0)，设 p(x，y)，则 pa(x，3y)，pb(1 x，y)，pc(1x， y)，所以 p a (pbpc)(x，3y) (2x， 2y)2x22 y32232，当 x0，y32时， pa (pbpc)取得最小值，最小值为1 332. 图评析 设 a，b 是平面内的两个向量，则有 a b14(a

25、b)2(ab)2；极化恒等式的几何意义是在 abc 中，若 ad 是 bc 边上的中线，则ab acad2bd2. 具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀 ” 向量成为另一种可能； 我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量 )之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合技法应用 1 (2020 新高考全国卷)已知 p 是边长为 2的正六边形abcdef 内的一点，则 ap a b的取值范围是 () a(2,6) b(6,2) c(2,4) d(4,6) aap ab |ap| |ab| cos pab

26、2|ap|cos pab，又 |ap|cos pab 表示 ap在ab方向上的投影， 所以结合图形 (图略 )可知， 当 p 与 c 重合时投影最大，当 p 与 f 重合时投影最小又ac ab2 32 cos 30 6， af ab 22cos 120 2， 故当点 p 在正六边形abcdef内部运动时， ap ab ( 2,6)，故选 a. 2在半径为1 的扇形 aob 中，若 aob 60 ，c 为弧 ab 上的动点， ab 与 oc 交于点 p，则 op bp的最小值是 _116方法一： (极化恒等式 )如图，取ob 的中点 d，连接 pd，则 op bppd2od2pd214，即求 pd 的最小值1 4图由图可