函数的极限与连续性实用教案

1、 考考 点点 搜搜 索索函数极限的有关概念及其符号表示和函数极限的有关概念及其符号表示和相互关系相互关系函数极限的四则运算法则函数极限的四则运算法则函数的连续性概念，连续函数的图象函数的连续性概念，连续函数的图象特征及最大值和最小值定理高特征及最大值和最小值定理高高高 考考猜猜 想想1.求函数的极限求函数的极限.2.已知函数的极限求相关参数的值已知函数的极限求相关参数的值.3.函数的连续性分析与讨论函数的连续性分析与讨论.第1页/共29页第一页，共30页。 1.当自变量x取正值并且无限增大(zn d)时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于 时，函数f(x)的极限是a，记作 .

2、 2.当自变量x取负值并且绝对值无限增大(zn d)时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于 时，函数f(x)的极限是a，记作 .正无穷大 负无穷大 lim xfxa lim xfxa 第2页/共29页第二页，共30页。 3.如果 且 ，那么(n me)就说当x趋向于 时，函数f(x)的极限是a，记作 . 4. 当自变量x无限趋近于常数x0(但不等于x0)时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 时，函数f(x)的极限是a，记作 .无穷大 趋近(q jn)于x0 limxfxa limxfxa limxfxa 0limxxfxa 第3页/共29页第三页，共30页。 5

3、. 如果(rgu)当x从点x=x0左侧(即xx0)无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的 ，记作 . 6. 如果(rgu)当x从点x=x0右侧(即xx0)无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的 ，记作 . 7. 的充要条件 是 .左极限(jxin) 右极限(jxin) 0limxxfxa 0limxxfxa 0limxxfxa 00limlim xxxxfxfxa第4页/共29页第四页，共30页。 8. 如果(rgu) 那么 = ; = ; = (b0).ab ab 00limlimxxxxfxag xb，0l

4、im( )( )xxf xg x 0lim( )( )xxf xg x 0lim( )xxfx g xab第5页/共29页第五页，共30页。 9. 如果函数y=f(x)在点x=x0处及其附近有定义，且 ，就说函数f(x)在点x0处连续.如果函数f(x)在某个区间(q jin)内 都连续，就说函数f(x)在这个区间(q jin)内连续. 10. 如果f(x)是闭区间(q jin)a，b上的连续函数，那么f(x)在闭区间(q jin)a，b上有.最大值和最小值 每一点(y din)处 00lim xxfxfx 第6页/共29页第六页，共30页。 1.已知函数(hnsh)f(x)是偶函数(hnsh)

5、,且 则下列结论一定正确的是( ) 解：因为f(x)是偶函数(hnsh),所以f(-x)= f(x). 又 所以 又f(x)= f(-x),所以B lim, xfxa A. limB. limC. limD. lim|xxxxfxafxafxafxa limxfxa lim.xfxa limlim.xxfxfxa第7页/共29页第七页，共30页。 2. 等于(dngy)( ) 解:因为 所以A 2212lim45xxxxx1 21A. B. 1C.D. 254 221222,45155xxxxxxxxxx2211221limlim.4552xxxxxxxx第8页/共29页第八页，共30页。 3

6、.若 在点x=0处连续， 则f(0)= . 解:因为(yn wi)f(x)在点x=0处连续， 所以 31111xfxx 32 00lim.xffx 300233011limlim11(1)113lim.211xxxxfxxxxx 第9页/共29页第九页，共30页。题型1 求函数的极限(jxin)1. 求下列(xili)各极限： 22024411 lim()22 lim()cos3 lim4 lim.|cossin22xxxxxxxaxbxxxxxx ；第10页/共29页第十页，共30页。解：(1)原式 (2)原式 2224211limlim.424xxxxx limlim.2111xxab x

7、abxaxbxabababxabxx 第11页/共29页第十一页，共30页。 (3)因为(yn wi) 所以 所以 不存在. (4)原式00lim1,lim1xxxxxx 而而，00limlim,|xxxxxx 0lim|xxx2222cossin22limlim(cossin)2.22cossin22xxxxxxxx 第12页/共29页第十二页，共30页。 点评：若f(x)在x0处连续，则应有 故求f(x)在连续点x0处的极限时，只需求f(x0)即可；若f(x)在x0处不连续，可通过(tnggu)变形，消去因式x- x0 ，转化成可直接求f(x0)的式子.求分式型函数的极限，一般是先通分、约

8、分，然后再求.若分式中含有根式的，注意分母有理化、分子有理化在变形中的应用. 00lim,xxfxfx 第13页/共29页第十三页，共30页。 求下列(xili)极限:(1) 解：(1)原式231321lim;9xxxx 3222 lim.2121xxxxx 23331341lim9 (1321)33lim33 (1321)31lim.163 (1321)xxxxxxxxxxxxxxxx 第14页/共29页第十四页，共30页。 (2)原式 322232222121lim21 (21)21lim(21)111lim.11422xxxxxxxxxxxxxxxx 第15页/共29页第十五页，共30页

9、。 题型2 求函数极限(jxin)式中的参数值 2. 已知 求a、b的值. 解：因为 存在， 所以x=-2是方程(fngchng)x2+ax+2=0的一个根， 所以(-2)2-2a+2=0，解得a=3. 所以222lim2xxaxbx ，222lim2xxaxx 2222limlim11.2xxxaxbxx 第16页/共29页第十六页，共30页。 点评：根据分式型极限求解过程的逆向思维，当遇到求 型式子的极限时，一般(ybn)是分子中含有分母为零值的那个因式，因此，按待定系数法或方程的思想进行求解.00第17页/共29页第十七页，共30页。 则a+b= . 解： 所以(suy)有a=2，且4a

10、+b=0，则b=-8， 所以(suy)a+b= -6 .221lim242xabxx， 22222222limlim24424lim2 (2)41limlim2222xxxxxa xbabxxxa xabxxaabxxx ，-6 第18页/共29页第十八页，共30页。 3. 设函数f(x)= ，g(x)= 试确定函数F(x)= f(x)+ g(x)的连续(linx)区间. 解：由题设， F(x)=题型3 函数(hnsh)的连续性 x (x0) 0 (x0)x+1 (x1) x (x1)， x+1 (x0) 2x+1 (0 x1) 2x (x1). 第19页/共29页第十九页，共30页。 因为

11、所以(suy)F(x)在x=0处连续. 因为 所以(suy)F(x)在点x=1处不连续， 而F(x)在其余各点都连续. 故F(x)的连续区间是(-，1)，(1，+). 00lim1 lim101,xxF xF xF， 11lim2 lim3xxF xF x，第20页/共29页第二十页，共30页。 点评：函数的连续(linx)性，一是可以根据图象来观察；二是根据函数在某点x0处连续(linx)的充要条件： 来转化，得到相应的等式. 000limlim()xxxxfxfxf x第21页/共29页第二十一页，共30页。 已知函数 (1)试求f(x)的定义域，并画出f(x)的图象(t xin)； (2

12、)求 并指出 是否存在. 解：(1)当|x|2时， 当|x|2时， 2lim.2nnnnxxfxx 22lim, lim( )xxfxf x，2lim( )xf x1122limlim1;22nnnnnnxxxxxx 1122limlim1;22nnnnnnxxxxxx 第22页/共29页第二十二页，共30页。 当x=2时， 当x=-2时， 不存在(cnzi)，f(x)不存在(cnzi). 所以 f(x)=2lim02nnnnxxx 2lim2nnnnxxx -1 (x2或x-2) 0 (x=2) 1 (-2x2). 第23页/共29页第二十三页，共30页。 所以f(x)的定义域是x|xR且x

13、-2. 图象如下(rxi)图. (2)因为 所以 不存在. 22lim1, lim1,xxfxfx 2lim( )xf x第24页/共29页第二十四页，共30页。 1. 函数f(x)在点x=x0处有极限，不要求f(x)在x=x0时有意义，即x0可以不在函数f(x)的定义域内.即使f(x)在x=x0处有定义， 也不一定等于f(x0).若 存在，且 则 2. 遇到求 型，或 型或-型函数极限时，则应对函数表达式进行( jnxng)恒等变形，变形手段主要有：因式分解，通分与分解，分子或分母有理化等.0lim( )xxf x 0lim( )xxfx g x 0lim0 xxg x ， 0lim0.xx

14、fx 00 第25页/共29页第二十五页，共30页。 3. 基本初等函数在其定义域内每一点都连续.如果函数f(x)在闭区间a，b内连续，且f(a)f(b)0，则必存在x0(a，b)，使得(sh de)f(x0)=0. 4. 函数f(x)在点x0处连续，反映在函数的图象上是在点x= x0处是不间断的，这是“连续”的直观理解. 5. 如果函数f(x)在点x0处不连续，则称x0是f(x)的间断点.如果函数f(x)在x0间断，则可能有下列三种情况：第26页/共29页第二十六页，共30页。 (1)f(x)在点x0没有定义(dngy)； (2) f(x)在点x0有定义(dngy)， 但是极限 不存在； (

15、3) f(x)在点x0处有定义(dngy)，且极限 存在，但是 6. 由连续函数的定义(dngy)及函数极限的运算法则，我们可以得到连续函数的下列运算性质： 0limxxfx 0limxxfx 00lim.xxfxfx 第27页/共29页第二十七页，共30页。 如果函数f(x)、g(x)在某一点x=x0处连续(linx)，那么函数f(x) g(x)， f(x) g(x)， 在点x=x0处都连续(linx). 7. 由连续(linx)函数的定义，我们可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f(x)在其定义区间内是连续(linx)的，点x0是定义区间内的一点，那么求xx0时函数f(x)的极限，只要求出f(x)