对称性在积分计算中的应用

1、 对称性在积分计算中的应用引言 积分在数学分析中是相当重要的一项内容，而在计算积分的过程中，我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型.那么，如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性，并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去，往往可以简化计算过程，达到事倍功半的效果，我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果.在积分计算中利用对称性来解题这种方法，是一种探索性的发现方法，它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能. 因此，掌握和充分利用对称性求积分这一方法，对于活跃和开拓我们学生的创造性思维，提高判断解题能力，探讨解题方法是十分有益的.下面从定积分、积分、线面积分三方面来介绍一下对

2、称性在积分计算中的应用. 一、相关的定义 设平面区域为,若点 ,则关于直线对称，称点与是关于的对称点.若点 ，则关于直线对称，称点与是关于的对称（显然当,对关于,轴对称）。二、对称性在定积分中的应用（一） 定积分的概念 1. 概念 设函数在上有界，(1) 在内插入若干个分点把区间分成个小区间各个小区间长度依次为(2) 在每个小区间上任取一点与小区间长度的乘积,并作出和 (3) 记如果不论对怎样划分，也不论在小区间上点怎样选取，只要当时，和总趋于确定的极限，那么这个极限称为函数的在区间上的定积分，记为即记为 其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间

3、. 2. 几何意义 几何上,表示曲线轴，所围曲边梯形面积的代数和.（二） 对称性在定积分中的性质性质 1 若则在上也可积，则性质 2 性质 3 性质 4 规定 1 . 规定 2 .性质 5 推论（积分不等式性）性质 6 （三） 对称性在定积分中的定理定理1 若在(a>0)上连续且为偶函数,则.证明 因为 对积分作代换,则得 所以 (1) 若为偶函数，则所以(2) 若为奇函数，则所以.注 定理1可简化计算偶函数，奇函数在对称于原点的区间上的定积分为0. （四） 对称性在定积分中的应用举例例 1 解 = 因为积分区间关于原点对称，而是偶函数，是奇函数，故 设 = 原式=例 2 计算 因为积分

4、区间关于原点对称，但既不是奇函数也不是偶函数，我们可利用. 其中为偶函数，为奇函数，把它分解为一个偶函数和一个奇函数之和.解 令，则，例3 计算 分析 由于是一个奇函数, 是一个偶函数,并且积分区域关于原点对称,因此可用定理1来计算.解 由定理1得 原式 =其中=2= ，= 同理得：原式 . 利用函数关于直线对称以及区间关于直线对称,应用定理得出积分为0，使上述复杂积分简单化,易得出结论.三、对称性在二重积分中的应用（一）二重积分的概念1 概念设是有界闭区域上的有界函数，(1) 将闭区域D任意分成个小闭域其中表示第个小闭区域，也表示它的面积.(2) 在每个上任取一点 作乘积 并作和(3) 如果

5、当个小闭区域的直S径的最大值时，这和的极限总存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分,记作 其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，叫做积分变量，叫做积分区域，叫做积分和.2 几何意义 当为闭区域上的连续函数，且则二重积分表示以曲面为顶，侧面以的边界曲面为准线，母线平行于轴的曲顶柱体的体积.一般地，表示曲顶柱体体积的代数和.（三） 二重积分的性质性质 7 性质 8 性质 9 若 在和上都可积，且与无公共内点，则在上可积，且性质 10 性质 11 性质 12 （三） 对称性在二重积分中的定理定理2 设有界闭区域,与关于或轴对称.设函数在有界闭区域上连续，那么（）若是关于（或）的奇函数，

6、则（）若是关于（或）的偶函数，则=2 注 设函数在有界闭区域上连续(i) 若D关于x轴对称，则其中是的上半部分 = y 0 图1证明 (1)若区域对称于轴图，对任意，其对称点，令 ，则变换为坐标面上的，且雅可比行列式 故 ，于是，代入（1）式得 (ii) 若关于轴对称，则其中是的右半部分:= 0 图2 证明 若区域对称于轴图2，对任意，对称点，类似 (i) 的证明可得定理 3 设有界闭区域D关于x轴和y轴均对称，函数在D上连续（1）若关和均为偶函数，则其中是的第一象限的部分关和均为奇函数，则定理 4 设有界闭区域D关于原点对称，函数在上连续，则其中=，= 0 图3证明 若区域对称于原点图3，对

7、任意，对称点，, ,令，则区域变换为坐标平面内区域，雅可比行列式 ，所以，代入，得 定理 5 设有界闭区域D关于对称, 函数在上连续，则=（四） 对称性在二重积分中的应用举例例 4 计算二重积分，其中是由，所围成的区域.解 积分区域关于轴对称（见图），且为关于的奇函数，故由定理2xx11-10图4y例 5 设 围成 求 xyxy=10x图5解 因为关于轴对称，所以由定理2知所以 原式 例 6 计算二重积分 解 见下图 关于都对称，而分别关于变量和变量为奇数 所以由定理3 设 ，所以 原式 yD x 图6例 7 计算 其中解 即有= 由定理3，有，其中的第一象限部分，由对称性知 故 有对称性部分

8、 = 重积分，例 8 计算 其中是由所围城的闭区域 图7 解 如图， ，、关于原点对称，但被积函数不满足,也不满足,故不能直接用定理来计算，所以令， 对和分别应用定理4，则 ， ，故 例 9 设为恒正的连续函数，计算积分 解 由于积分区域关于对称，所以由定理5 ，可得 ，于是故 四、对称性在三重积分中的应用根据被积函数的奇偶性及积分区域的对称性可以简化三重积分的计算,三重积分的计算中也有相应的对称性定理.（一） 对称性在三重积分中的定理定理6 设由表示,若将和的位置交换后,仍然表示,则=,这种位置的对称,也称变量可轮换性.定理7 设三维实空间有界闭区域,且与关于面对称,函数在上可积,则 定理8

9、 设三维实空间有界闭区域,且与关于轴对称,函数在上可积,则:（二） 对称性在三重积分中的应用举例 例10 计算,其中：R,（）. 解 本题具有变量位置的对称,因此有 =设D:,则原式为 3=3=可见,类似的题目都只需计算其中任意一元数值,及对应系数,即可求得结果.例11 计算,其中：1.分析 很显然,关于面对称,可以直接运用定理7.解 因为关于面对称,且被积函数在上连续并为关于的奇函数,故 =0.例12 计算,其中为与两曲面所围区域.解 显然,积分区域关于z轴对称,且为关于x、y的偶函数,又因为0,所以同号.因而分布在一、四象限内,从而由定理8得到= .小结 用对称性定理来简化二重积分和三重积

10、分的计算,有时候可以起到事半功倍的效果.对于一般的对称性定理,若加以适当拓广,还可以用来巧妙地求解一些重积分的计算和证明问题.五、对称性在曲线积分中的应用（一） 对称性在曲线积分中的定理 设函数定义在二维光滑曲线上 1.若满足关系式=或=,则称为偶函数. 2.若满足关系式=或=,则称为奇函数.定理9 设分段光滑的平面曲线关于轴对称,记L在上半平面的部分为,下半平面部分为,则定理10 设分段光滑的平面曲线关于轴对称,记在右半平面的部分为,左半平面部分为,则推论1 设分段光滑的平面曲线关于原点对称,则 定理11 设分段光滑的平面曲线关于轴对称,则(1)= (2)=定理12 设分段光滑的平面曲线关于

11、轴对称,则 (1)= (2)=推论2 设分段光滑的有向平面曲线关于轴对称,（在上半平面部分记为,在下半平面部分记为）,与方向相反,则 (1) (2) 推论3 设分段光滑的有向平面曲线关于轴对称,（L在右半平面部分记为,在左半平面部分记为）,与方向相反,则 （1） （2）（二） 对称性在曲线积分中的应用举例例13 计算解 因为积分曲线关于原点对称,被积函数为关于的奇函数,由推论1,得=0例14 计算,其中关于轴对称,取逆时针方向, 所围成的闭区域D的面积为. 分析 显然,题目已知关于轴对称,又是分段曲线积分,可直接运用定理求得结果 解 由定理11,有 =.例15 计算,其中 ,取逆时针方向.解

12、因为=+而关于轴、轴对称且对称两部分方向相反,函数=既为关于的偶函数,又为关于的偶函数,由推论2、推论3,原式=0.六、对称性在曲面积分的对称性 （一） 对称性在曲面积分中的定理 设函数定义在三维光滑曲面上 1.若满足关系式)或,则称为偶函数. 2.若满足关系式或,则称为奇函数.定理13 设分段光滑的空间曲线关于(或或)坐标面对称,记为位于对称坐标面一侧的部分, 则 定理14 设曲面是由关于（或平面）对称的和组成,设的对称点为,则:证明 以曲面关于平面对称为例,不妨设曲面是关于对称的曲面和组成,设的坐标为,则其对称点的坐标为,设、在平面上的射影区域为,则=(1)当时,=(2)当-时,=0.（二

13、） 对称性在曲面积分中的应用举例例16 计算,其中为锥面=被曲面所截下的部分.分析 由于曲面关于面对称,而被积函数中与都是的奇函数解 根据定理,知 =4=.例17 计算曲面积分,其中为曲面介于平面和之间的部分.解 因曲面关于平面和对称,而,由定理知,其中是在第一象限的部分,.故I=···=.由此可见，上述关于积分（定积分，重积分，线面积分）对称性的定理性质对于在特殊情况下简化积分的计算是非常有效的，它可以避免很多干扰，所以在解题中注意积分区间是否具有某种对称性是简化题目的关键，若对称性不明显则可以通过一定的方法，根据题目的特点构造对称性，可以减少一些繁琐的计算，提高解题效率.参考文献1 华东师范大学数学系， 数学分析（上册，下册），高等教育出版社2 同济大学，高等数学（上册，下册），高等教育出版社3 王莉，海天2013年考研数学基础班高数辅导讲义4 薛春荣,王芳，对称性在定积分及二重积分计算中的应用J，科学技术与工程，2010，(1)5 赵达夫.高等数学的辅导讲义M.新华出版社.6 孙钦福.二重积分的对称性定理及其应用.曲阜师范大学学报,2008.7 张仁华.二重积分计算中的若干技巧.湖南冶金职业技术学院学报,2008.8 温田丁