专转本高数定积分复习资料(同方)汇总

1、2013 专转本高数定积分复习资料（同方）精品资料第四章定积分本章主要知识点定积分计算特殊类函数的定积分计算 变限积分定积分有关的证明题广义积分敛散性 定积分应用(1)面积(2)旋转体体积一、定积分计算定积分计算主要依据牛顿莱伯尼兹公式：设f(x)dx F(x) C»f(x)dxF(b) F(a) F(x)其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需 要指出的是对于第R类直接交换法，注意积分限的变化：bx 1(b)J" 1(f()t出。例 4.1 .-(Vln x 1)dx1x解：原式=(.In x 1)d In x = (-(ln x)2 In x)

2、 |e - 133例 4.2.dx0 . x 1 1在万菊 t2t212t3 t232 2解：原式 2 i 2tdt=2 dt=(tt)|1xt2 11 t11 t 13例 4302xsin2xdx仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢112解：原式=1271212 xd cos2x = -xcos2x|(2 一022-2cos2xdx012-sin 2x |(2 =44、特殊类函数的定积分计算1 .含绝对值函数利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为 分即可。2例 4.4. J x 11dx0的点，去掉绝对值，直接积1解：原式=(1 x)dx2(x 1)dxx)|220 (21)例 4.5.

3、22(l x 1 | | x1 |)dx解:原式=12(|x1| |x1|)dx11(|x1| x 1|)dx21(|x1| x 1|)dx12(x 1)dx11(x1 x)dx21(x 1x 1)dx12xdx212dx122xdx =121x |2 42 12x |1(14)(41) =10分段函数积分例 4.6. f (x),x1,xf(x)dx0解：原式=I 1f(x)dx 0f (x)dx =01(x 1)dx2x2dx = (- x) |01213 .13x 1。f (u)du这是一个很重要考例 4.10.xcosx(x2 1)(x2 2)x4sin2x xex dx解：原式02

4、xexdx (xex ex)2e2(2 1) e2(I1)2X 1, X 1 4 1例 4.7. f (x)，求 f (x 1)dxx,x 121u x 1解：原式 01 e Xdxe x 1 e e212解：原式 2 f (x 1)dx 1f (u)du 1f (u)du 112n 21udu 1 (2u 1)du 0 (u u)16 2 43.奇函数积分a如果f(x)为定义在 a,a的奇函数，则 f(x)dx 0, a点。2008 一一一_ _32 x arctan x例 4.8.2：4dx 021 x.33321 x sin x x例 4.9.444 . e )dx1 x 1例4.11.

5、 f(x)为-a,a上的连续函数,计算(f (x) f ( x) ln( xx2 1)dxa解：f(x) f( x),ln(x Jx2 1)为奇函数,原式=04 .关于三角函数积分对积分 I n02sinn xdx02 cosn xdx 成立:1 2n2n 12n 3 2n 2(n 2) 1 2n 12n 2(n1)2n 1 2n 1这个结论应牢记，对于某些三角函数积分可以做到快捷。一 2_. 26例 4.12. ° sm xcos xdx解：原式02 (1 cos2 x)cos6 xdx5 3 17 5 3 156 4 2 2 8 6 4 2 2256例 4.13 .2 sin7

6、xcos2 xdx02解：原式 2 sin7 xcos2 xdx 2 17 1905 . 一些特殊的含有特定技巧的积分I 1 O例 4.14. sin ( x)dxII ex解：令t x, 、1 et21 ex2原式=I=fsin tdt -sin xdx J ,1 1et11ex121I J sin xdx 1 ,则 I = 一。1 2例 4.15.041n(1 tanx)dx解：令t 4X,原式=I =0ln(1 tan( t)dt44ln(1部)dt;"dt=ln 24I ,解得 I = ln2。8例 4.16.x-1sin x-dxsin x解：令t原式=I =0（dtsin

7、 t2- dt1 sin tsin x0 420 1 sin xdx _ln 22.22 1三、变限积分变上限积分是函数的另一种重要形式。求导公式（其中a const）是一工具.更一般的结论是: d个非常重要的公式,它提供了利用导数来研究它的dx 1 x2 Xf t dt例 4.17.xsintln 1 4t dt lim 0x 0x2tan(1 2x 1)解：原式limx 0xsint ln 1 4t 出0sin x ln 1 4x3x2ximox 4x3x2tanx例 4.18.lxmot3(e 2 1)dtsin2x t 2e sin 2t 出0精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站

8、删除 谢谢111解：原式例 4.19.解：f2tan2 xtan3 x e 21 sec xlimx 0 sin xe已知f x-22sin 2x 2sin xcosxxt2e02dt2 x2 x ex22xex22x2x13xlim4x 0 4x42x116的单调性，凹凸性.x2 ex,111,000,111,f xf xf xu拐点拐点u拐点0得x0,f0,x1x3x例4.20 .若P(x)f(x 2t)dt ,x其中f(x)是已知一阶可导函数,dpdx 'd2p dx2u解：p(x)2t5xx f(u)dudp 1(dx 2f(x)5f ( 5x)5xdx2例4.21.已知函数f

9、 x连续。且(u)du1253 f ( x) f吐2。设5x)10fxtdt,x ,并讨论 x的连续性。解：.当x 0时， (x)10 f(xt)dtxt1 , f(u)duxf (u)du ;当x 0时,1(x)0f(0)dt f (0)由l3x 0 x(x)x0 f (u)dux精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢118xf(x)当 x 0,(x)x0 f(u)du-2x(0)him0hf(u)du0 0hhlimh0 f (u)du h2lim 5 h 0 2h(x)xf (x) lim x 0x0 f(u)duxim0f(x)xlxm0xf (u)du 02x(0),2

10、lim 这X 0 2x所以,(x)点点连续。四、有关定积分的证明题有关定积分的证明题，主要的方法有：(1)线性交换，如 t ax b(2)变上限求导公式(3)恒等变形例4.22.如果“*)为a,a上的奇函数,证明aa f (x)dx 0。a证明： a f (x)dx0aaf(x)dx 0令tf (x)dxf( t)dta0 f(x)dx0a f(t)dtaa0 f(x)dxf(t)dta0 f (x)dxa0 f (x)dxa0 f(x)dx例4.23 .证明:02 f (sin x)dx02 f (cosx)dx其中f(x)为已知可积函数。t 一 2 证明：左边0f (sin( t)dt22

11、0_ f (cos( t)dt2:f (cos(t)dt例4.24.已知f(x)是以T 0为周期的连续函数，那么对任何实数a成立证明:a Tf x dx af(x)dxx dxf (x)dxTa Tf x dx f x dx0Tx dxa Tt f u du xf x xf x0 T aa由于T f X dx 0 f t T出0ft出a T所以 f x dxa0f x dxaTf x dx00f x dxaTf x dx0例4.25 .证明:2 2, f cos xn29Y9oi 9， c证明：当0 x 1时，成立一x sin x x ,所以 f 9x ,2.1 x222dxf为任一非零可积函

12、022220fs1nxf cos x 4证明：I原式0 f2 cos2 t2. 222 .2 f sin t f cos tdt22dx- f cos x2 0 T2222. 2 sinf cos x f cos x2cos2I2. 2f sin22f cosdx例4.26 .证明:2910 2 991 sin x ,1-dx 一0 .1 x 10所以，成立2910、.2 9292 99dx10x9dx110例4.27.证明:xx u f u du0x uf x dx du00证明:ddxxx u f u du0ddxu duxuf u du0duxx u f u du0x xf u du d

13、x C00x uf x dx du C00两边同时取x 0 C0,所以原命题成立。五、广义积分的敛散性u定义： f(x)dx lim f (x)dx 存在有限 au a1 收敛.p 1基本结论：a ；dx哈邛'l (其中a 0)a x友故，p 1复习时应着重掌握通过直接计算来研究广义积分的敛散性。例4.28 .研究1-一dx的敛散性 1x(1 x)解：ulim Lx："2ulim2 lim arctan . x u 2 lim (arctan、. u f 2(二-) u1 u42 42所以， 3dx是收敛的。1x(1 x)k.、例 4.29.2d 1,求 k4 x无力八上kx

14、kk2解：左边arctan () 1 , k 。222 222dx例4.30.当k为何值时，厂义积分 k收敛？当k为何值时，这个厂2 x(ln x)k义积分发散？又当k为何值时，广义积分取得最小值？解：当k 1时，有dx2 x(ln x)k(lnx)1k1 k(ln x)1 k1 k,k 1(ln 2)1k,k一1当 k 1 , 9 ln(ln x) 2 发目攵,2 xln x即，当k 1时，广义积分dx以收敛；k 1时，厂义积分发散。1 k设f篝k 1,则f (k)(ln 2)1 k ln ln 2 (k 1) (In 2)1k(k 1)2(ln2)1k (1 k) In In 2 12(k

15、 1)令 f (k)k01oIn In 2但当 k ko时，f (k) 0;当 k ko时，f (k) 0;,1,从而，当k k0 1 时，广义积分取极小值，也就是最小ln ln 2值。注：类似可研究无界函数积分，即瑕积分。假设 a为f(x)的瑕点，f (x)dxblim f(x)dx存在有限。例 5.26.11dx0 x(x 2)11 11斛：原式=lim ( )dx 02 x x 2所以原式发散。lim0 (1ln x)1 (ln x 2) 1 )例 4.27 .dx x)解：原式=Mdx x)lim 2 d x04 xx、1 lim arctan(-) |精品资料六、定积分应用1.面积图

16、示4.1如图所小S阴影f(x)g(x)dx。图示4.2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢120求面积首要问题是画出草图，图形的上下位置，交点一定要做得准确。1 ，一通常曲线，例直线、抛物线、双曲线 y、指数、对数、sinx,cosx的图像x要画得熟练、准确。例4.28. y x2与直线x y 2所围图形面积解:由 x2 2 x ,解得 x 1,x22.x x dx精品资料仅供学习与交流,例 4.29 . y ln2 x , x2e, x e,ox轴yli所围图形面积。解：Se ln2xdxexlne2 ee2ln xdx例 4.30 .解：s、3 14e22e22xln xe21dxe

17、sin x 0 x1,y 2, y图示£所围图形血。arcsinxarcsinx dx y12 arcsinxdx22xarcsin x32.12_2T 1x . dx1 x2图示4.4如有侵权请联系网站删除谢谢1172精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢12132(2 31)2 62.1 x,3 12_3 23 = . 3 16例 4.31 .求由过抛物线y= <x上点1,1的切线与抛物线本身及x轴所围图形的面积。解：切线l的方程:2y1 1 3= (3yy)y12 x0 = 3°例4.32 .过0,0作抛物线y图示1两切线，求两切线4触物线本身所围图

18、形的面积.0解；设切点为2 xo,xok y Xo2%,切线方程为又切点位于其上,2 xo切线方程为2x dx1 o2x0221 dx图示4.62.旋转体体积绕x轴旋转所得图形的体积（图4.7）b 2Vxf x dxa4.7绕y轴旋转所得图形的体积（图 4.7） bV 2 xf x dx ya绕y轴旋转所得图形的体积（图 4.8）Vy2 y dyc绕x轴旋转所得图形的体积（图 4.8）图示4.8y dyVx2例 4.33. yx所围部分,(1)绕x轴旋转所得图形的体积;(2)绕y轴旋转所得图形的体积解：Vidx215V2dy例4.34 .抛物线4x(D抛物线上哪一点处切线平行于图示4.9x轴？

19、写出切线方程?(2)求由抛物线与其水平切线及 y轴所围平面图形的面积。(3)求该平面图绕x轴旋转所成的旋转体的体积。解：(1) y 4 2x 0 ,得 x 2,y 4切点为2,4 ,切线方程为y 4，一22. S 0 4 4x x dx22x 2 dx0精品资料2 cc 23 3) V424x x2dx022432132 x 8x 16x dxo3225 o5o3 225图示4.10328321522415例 4.35 .计算由 y sin x(0 x)和x轴所围成的平面图形绕 x轴，y轴分别旋转而得到的旋转体的体积。2解：(1) Vx 0 sin2 xdx 2(2) Vy2 0 xsin x

20、dx 23.应用综合例4.36.由直线y 0,x 8及抛物线y x2围成一个曲边三角形，在曲边y x2上求一点，使曲线在该点处的切线与直线y 0,x 8的围成的三角形面积最大。解：如图，设所求切点为 P (x0,yO)切线PT交x轴于A,交直线x 8于B,切线PT的方程为y y0 2x°(x x°)，又P点在y x2上，因此，y0 x02 ,令y 0得，x 1x°,A点坐标为A( ,0),22令 x 8得，y 16x0 x02,2B点的坐标为(8, 16xo Xo ),于是三角形ABC的面积为c1-1、2、八八S abc(8-Xo )( 16XoXo ), 0Xo

21、822仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢122精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢131122令 S'（3x064x0 16 ） 0,4得：X。 一,16（舍去）， 316164096 4目一土因为S''（一）8 0,所以 S（） 为最小值,3327故s（16）”96为所有三角形中面积之最小值。327图示4.11单元练习4x21 .设 0 f t dt In x 1 ,则 f 2 C1 5 .4 ,2 . x sin x dx o八d1 . 2 .3.2sin t dtodx x4.dxx In x1 x5 .ex e dxo06 .设f x为区

22、间a,b上的连续函数，则曲线 y f x与直线x a,x b,y 0所围成的封闭的图形的面积为（）b(A)f x dxabb(B) a I f x dx (C) a f x dx（D）不能确定7,下列命题正确的有（1 1（A）1 dx 01 x5(C)sin x dx 0)2(B) x sin xdx 0(D) x3dx 0c d b8.arcsin xdx dx a(A) arcsinbarcsina(B)1,1 x2(C) arcsinx (D). 09.下列关系中正确的有( 11 2(A) exdxex dx0011 2(C)e dxe dx00) 11 2(B)exdxex dx00(

23、D)以上都不正确10.二dx在p满足条件（）时收敛2 x 1 p(A) P 1(B) P(C) P 1(D) P 111.求下列极限lim x 0.2 .cost dt0xlimx 0sin x .tantdt0tan x ., sin tdt0呵x tte sin tdt03 xx elimxsin t dt12.计算(1)ln2 x.e 1dx0(2)dxx v x2 1(3)3arcsin0(4)x . 2e sin xdx(5)1 arcsin x dx0、x(6)x-dxx x 1(7)x31 xdx1(8)x15、, 1 3x8dx(9)1 ln 1 xdxx,(10)0,3f x

24、 dx0(11)20exdx ,x表示对x取整(12)dx9 3/24 x(13)1 x31 1 x4x .1x4.1 x2dx(14)cosxdx(15). 4 x .sin - dx(16)d n1 x-1: dx02(17)041n 1 tanxdx(18)dx121 x x(19)dxx ； x 1(20)x(x)dx (为常数）(21)1/eIn xdx/2(22)cosp xppsin x cos xdx (p0)(23)(24)2max213.设函数在14.求2,x 0x2, 0，求dx1 dxt2u du dt0一2sin xx 0其中为连续函数，试讨论0,0处的连续性与可导性

25、。2t 1 t 2 dt的极值与拐点。a15 .设f x是连续的偶函数，且 fx 0。设Fx xtftdt a a x a ,(1)证明F x是单调递增函数。(2)当x为何值时,F x取最小值。16 .求f x 2 "t出在e,e2上的最大值。 e t2 2t 117 .已知抛物线y2 8x,求(1)抛物线在点 2,4处的法线方程。(2)抛物线y 0的部分及其在 2,4处的法线和x轴所围成图形绕y轴旋转 所成旋转体的体积。18 .将抛物线y x x a的横坐标。与C c a 0之间弧段与直线 PC(C为点c,0 , PC垂直于横轴，p在抛物线上)及x轴所围成图形绕x轴旋转，问c为何值

26、时，旋转体体积 V等于以三角形OPC绕X轴旋转所成的锥 体的面积。19 .求 y ln x , y 0, x 0.1, x 10所围面积。20 . y x, y x sin2 x 0 x所围图形面积。21 .设有曲线y 夕7过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积。22 .若1kg的力能使弹簧伸长1cm,现要使弹簧伸长10cm,问需要多大的功？23 .设一半球形水池直径为 6m,水面离开地面1m深，现将水池内的水抽尽，至少要作多少功？历年真考题1.(2001)、2定积分0x 1 dx (A. 0B.2 C. - 1 D.2.(2001)f（x）为连

27、续函数，则12 32f(x) f( x) xx dx3.(2001)/dx 1,求常数1 x224.(2001)x t2x e dt计算lim x 0 x sin x5.(2001)过P（1,0）作抛物线yX 2的切线,求（1)切线方程；（2）由抛物线、切线、以及 x轴所围平面图形的面积;3）该平面分别绕x6.7.8.9.轴、y轴旋转一周的体积。(2002)A. 0(2002)A. 0(2002)1 x4n4=dx,则I的范围是0 .1 x1 C. I 0若广义积分p 1 B. p21 xtan x1-21 1 xdx1dx收敛, xpC. p 1p应满足（D. p 0(2002)设 f (x

28、)11 x1x1 e20 f (x 1)dx ox10. (2002)求极限 lim 又一x 0 t(t02 .tanxsint)dt11. （2002）从原点作抛物线f(x) x22x 4的两条切线，由这两条切线与抛物线所围成的图形记为 一周所得的立体体积。S。求（1） S的面积；（2）图形S绕x轴旋转精品资料1_12. ( 2003) X 距 sinx)dx 。s sin13. (2003)2 d21 cos214. (2003)抛物线 y 4x x2(1)抛物线上哪一点处切线平行于x轴？写出切线方程。(2)求抛物线与水平切线及y轴所围平面图形的面积。(3)求该平面图形绕x轴旋转所成的旋转

29、体的体积。15. (2004)设圆周x2 y2 8R2所围成的面积为 S,则：2Rj8R2 x2dx的值 为()A. S B. 1S C. 1s D. 2S42x(tant sint)dt16. (2004)求极限 lim0ix 0(ex 1)ln(1 3x2)17. (2004)计算广义积分dx=2 x、x 118. (2004)证明：°xf(sinx)dx ° f (sin x)dx ,并利用此等式求sin x xdx0 1 cos x1 x 119. (2005)rdx.1 1 x220. (2005)计算 ° arctan xdx21. (2005)已知曲

30、边三角形由抛物线y2 2x及直线x 0, y 1所围成，求(1)曲边三角形的面积；(2)该曲边三角形绕x轴旋转一周，所形成的旋转体体积。1f (x)dx01,f (x)dx1本章测试题/x x 0 1. f(x)则x x 0仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢132精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢1372.-1-dxo1 x21,lim xndxn3.下列广义积分收敛的是-14dx1 xdx1 3 xdx x1 dx0旅14.01 一一-q-dx收敛,qx则有(5- yx(t01)(t2)dt 。则 y (0)6.f (x)0 f(x)dx,且a是不等于1的常数,求证

31、:f (x)dx3(a 1)7.f(t)dt1_f (- x )dx x8.,2sin t dt3x9.11x2 xdx10.求 f(x)x012t 2 2t 2dt在0, 1上的最大值和最小值。11.lim x 0(1 t21 t2)dt3xY512 .设 f (2x 1) xex,求 f (t)dt32ln2 113 . d dt 一，求 aa t .6，.e 1614 .设曲线y 沟(1)求过曲线上 2,2点的切线方程，(2)求此切线与曲线y 3 及直线y 0所围成的平面图形面积。15 .曲线xy a(a 0)与直线x a,x 2a,及y 0围成一个平面图形(1)求此图形绕x轴所成的旋转

32、体的体积。(2)求此图形绕y轴所成的旋转体的体积。16 .求曲线y x3 3x 2和它的右极值点处的切线所围区域面积 x17 .设 f(x)在 0,1 上连续，且 f(x) 1,又 F(x) (2x 1)°f(t)dt。证明：F(x)在0,1内只有一个零点。1 dx 2 sin x ,18.证明： 2dx0 arccosx 0 xx19 .设连续函数f(x)在a,b上单调增加，又 G(x) f(t)dt ,x a ax (a,b),试证：G (x)在a,b内非负。20 .在曲线y lnx上e,1点处作切线l,(1)求由曲线切线、曲线本身及x轴所围的面积。(2)求上述所围图形绕x轴旋转

33、所得体积。21. f(x)2(1 xcosx),1, cost2dt0,讨论f(x)在x 0处连续性和可导性。22. 设f(x)在0,1上可导,x dx0,证明在(0,1)内至少存在一个，使f单元练习题4答案1、6、2、07、C3、8、11、解:2xsin x44、 15、10、原式=gmcos2x 1(2) lim (. tan(sinx) cosx) /(. sin(tanx) sec2 x 0x)=limx 0.tan(sinx)/sin(tanx) =1(3) limx 0X tte sin tdt0=limx 0x .xe sin x3x2(4) limx|sin x |2x12、解

34、:(1)原式.ex 12 1 01 t2-dt 1arctant102(14)1 dx原式二2；T?11”)dt 二I 1 dt =、1 t2精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢139(3)原式=xarcsin3x0(4)原式所以,(5)原式(6)(7)(1 x)2dx3 x 1 1 .3/2 dx0 (1 x)2.1x1e -01 dx (1 x)3/221 xcos(2x)ex cos2xdxcos2xdx2ex sin 2x |0一1原式二(e21 arcsin t21dx = 1e 2xcos2xde0|0excos(2x心 (e1)xe cos2x |o 2excos

35、2xdx = e4Isin 2xdx1)2tdtt2原式=1=ln 32t 原式1 /1、2(x 2)2,331x21 t33 0x 1 t31 (e 1021) -(e51)1arcsin tdt02arcsin t1 tdt 021 tdx =)21ln(x222xarctan：t 3t2 dt3 0 t32t6dt 3t4 t7468精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢153(8)原式1x8.i u3x8 dx8 w3udu.1Tu 1w2 1 82w2 1w -wdw3(9)原式(10)原式361ln0ln2In 22 w4dw54ln-dx 1In2 dxln2In 1

36、dxIn 2In 2In 2gln2dxdxdxdx20dx1dx(11)原式(12)原式(13)原式(14)ln2dxln3ln2In 4ln 23 2ln 23ln3 2cost 2sint -dt =_8cos3t6dxln3dxln5ln 4dxln 7ex dx6ln7(2ln 7)147!1 tant |4,33.1 x2dx x sint12原式令1 sin 2t4cosxI 4 x41 edx4 cost41 edt原式4 (e x 1)cos xx71 edx2 cos2 tdt24 cosx x 41 edx4 cosxdx4：(i21 . sin 2cos2t)dtxe

37、cosx4dxi(2(15)u原式2. 42 sin udu 4万i . 4,2 sin udu0(16)x原式sintsinntcostdtcost2 . n2 sin0tdt2k1 !2 2k !2k2k !2k!2k/4(17)原式Iln(11 tan u4)du tan u4ln(02)du ln 21 tan u 4一ln 28(18)原式dx2(19)原式x t2 1(20)2时,(21)原式22x (x 1)1x2- ln 22 x11ln 221 ln 220时,12(t2 1)t原式2时，原式2原式=0ln x dx2tdt20x(x2arctant)dx (1x33x dx

38、dx2)x(x) dx2x(x)dx(2万x2).x(x)dx(2xln x dx11 ln xdxeeln xdx1xln1ee1/e1 dx x ln x dx,11ee (e 1)x - up一， 20 sin u(22)原式 Ip u p du2 sin u cos u一。Psin u.ppsin u cos-du up p,1 7 sin u cos u ,I -du 20 ,一P pA0 sin u cos u 42(23)原式= 1 f(x201)dxu x 1 1 f (u)du2(u)du1 1 u2 du2e udu3 u3123724i、22(24)原式" 2

39、max2,xdx22._ max2, x _ max2, x dx2 . x dx22dx2 22168.2_x dx4.2(82 2)2333xt2(t 1) (u)dudt13、解：lim f (x) lim -0-x 0 x 0sin x(x lim x 02x1)0 (u)du2x2x2u du x 1 x 2xlim 0x 02lim f (x) f (0) x 0f眄f(0) hhim0ht20(t 1)0 (u)dudtsin2h°h(h lim h 0h21) 0 (u)du3h2h2lim -h 0(u)du (h 1) (h2) 2h6hh2lhm0(h)du6h21) (h )32h2 2h 1 lim -h 063f(x)在x 0处可导,f (0)13 (0)。14、解：曳 dx d2y dx2(x 1)(x(x 2)22)22(x1)(x 2)(x 2)(3x 4),111,3439,222,yyy极小值拐点拐点1 2