2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷) (2)

1、1 / 11 绝密 启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学(天津卷) (本试卷共 4 页,20小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟) 第卷(共 40分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 u=-3,-2,-1,0,1,2,3,集合 a=-1,0,1,2,b=-3,0,2,3,则 a(ub)=( ) a.-3,3 b.0,2 c.-1,1 d.-3,-2,-1,1,3 2.设 ar,则“a1”是“a2a”的( ) a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 3.

2、函数 y=42+1的图象大致为( ) 4.从一批零件中抽取 80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为 9组:5.31,5.33),5.33,5.35),5.45,5.47),5.47,5.49,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间5.43,5.47)内的个数为( ) a.10 b.18 c.20 d.36 5.若棱长为 23的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) a.12 b.24 c.36 d.144 6.设 a=30.7,b=(13)-0.8,c=log0.70.8,则 a,b,c 的大小关系为( ) 2 / 11 a.abc b.bac c

3、.bca d.ca0,b0),过抛物线 y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为 l.若 c 的一条渐近线与 l平行,另一条渐近线与 l垂直,则双曲线 c的方程为( ) a.2424=1 b.x2-24=1 c.24-y2=1 d.x2-y2=1 8.已知函数 f(x)=sin( +3).给出下列结论: f(x)的最小正周期为 2; f(2)是 f(x)的最大值; 把函数 y=sin x 的图象上所有点向左平移3个单位长度,可得到函数 y=f(x)的图象. 其中所有正确结论的序号是( ) a. b. c. d. 9.已知函数 f(x)=3, 0,-, 0)相交于 a,b两点.若|ab|=6,则

4、r 的值为 . 13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 . 14.已知 a0,b0,且 ab=1,则12+12+8+的最小值为 . 15. 3 / 11 如图,在四边形 abcd中,b=60,ab=3,bc=6,且 = , =-32,则实数 的值为 ,若 m,n 是线段 bc上的动点,且| |=1,则 的最小值为 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(14分) 在abc中,角 a,b,c 所对的边分别为 a,b,c.已知

5、a=22,b=5,c=13. (1)求角 c的大小; (2)求 sin a 的值; (3)求 sin(2 +4)的值. 17.(15分) 如图,在三棱柱 abc-a1b1c1中,cc1平面 abc,acbc,ac=bc=2,cc1=3,点 d,e 分别在棱 aa1和棱cc1上,且 ad=1,ce=2,m为棱 a1b1的中点. (1)求证:c1mb1d; (2)求二面角 b-b1e-d的正弦值; (3)求直线 ab与平面 db1e所成角的正弦值. 18.(15分) 已知椭圆22+22=1(ab0)的一个顶点为 a(0,-3),右焦点为 f,且|oa|=|of|,其中 o 为原点. (1)求椭圆的

6、方程; 4 / 11 (2)已知点 c 满足 3 = ,点 b 在椭圆上(b异于椭圆的顶点),直线 ab 与以 c 为圆心的圆相切于点p,且 p为线段 ab的中点.求直线 ab的方程. 19.(15分) 已知an为等差数列,bn为等比数列,a1=b1=1,a5=5(a4-a3),b5=4(b4-b3). (1)求an和bn的通项公式; (2)记an的前 n项和为 sn,求证:snsn+2x2,有(1)+(2)2(1)-(2)1-2. 2020 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 查缺补漏表 【试卷评析】 1.c u=-3,-2,-1,0,1,2,3,ub=-2,-1,1,a(ub)=-1

7、,1.故选 c. 2.a 若 a1,则 a2a成立. 若 a2a,则 a1或 a1”是“a2a”的充分不必要条件.故选 a. 3.a 函数 y=42+1为奇函数,排除 c,d. 再把 x=1代入得 y=42=20,排除 b.故选 a. 4.b 在5.43,5.47的频率为(6.25+5.00)0.02=0.225, 0.22580=18.故选 b. 5.c 2r=(23 2)2+ (23)2=6, 球的表面积为 4r2=36.故选 c. 6.d b=(13)-0.8=30.830.7=a30=1,c=log0.70.8log0.70.7=1,cab.故选 d. 7.d 双曲线2222=1的渐近

8、线方程为 y=x,y2=4x的焦点坐标为(1,0), 6 / 11 l 为+1=1,即 y=-bx+b, -b=-且-b=-1, a=1,b=1.故选 d. 8.b f(x)=sin( +3), f(x)最小正周期 t=21=2,正确; f(2)=sin(2+3)=sin561,不正确; y=sin xf(x)=sin( +3),正确.故选 b. 9.d f(x)=3, 0,-, 0,则如图. 113,k3k,k21,k1,左侧无交点. x3=kx2-2x要有三个根,即 x2-kx+2=0有两根, =k2-80,k22. 综上,k22. (2)若 k0,如图. 点(1,-1)恰在 y=-x上,

9、且过二次函数顶点,k0,则原式=2+8228=24=4. 当且仅当 t2=16,即 t=4时,等号成立,此时1+a=4. 15.16 132 = , = =| | | cos 120=63(-12)=-32,=16. 令 = 056, 则 = + = +16 = ( +16) , = + + =-16 + + = (-16) , = + + =-16 + + ( +16) = . 8 / 11 = (-16) ( )= (-16)| |2-( + -16) +| |2=36(2-16) (2-16)9+9=362-6-18+212=362-24+212=36(-13)2+132. 又056,当

10、 =13时取最小值132. 16.解(1)在abc中,由余弦定理及 a=22,b=5,c=13,有 cos c=2+2-22=22. 又因为 c(0,),所以 c=4. (2)在abc中,由正弦定理及 c=4,a=22,c=13,可得 sin a=sin=21313. (3)由 ac及 sin a=21313,可得 cos a=1-sin2 =31313,进而 sin 2a=2sin acos a=1213,cos 2a=2cos2a-1=513. 所以,sin(2 +4)=sin 2acos4+cos 2asin4=121322+51322=17226. 17.解依题意,以 c为原点,分别以

11、 , ,1 的方向为 x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得c(0,0,0),a(2,0,0),b(0,2,0),c1(0,0,3),a1(2,0,3),b1(0,2,3),d(2,0,1),e(0,0,2),m(1,1,3). (1)证明:依题意,1 =(1,1,0),1 =(2,-2,-2),从而1 1 =2-2+0=0,所以 c1mb1d. (2)依题意, =(2,0,0)是平面 bb1e的一个法向量,1 =(0,2,1), =(2,0,-1). 设 n=(x,y,z)为平面 db1e的法向量,则1 = 0, = 0,即2 + = 0,2- = 0.不妨设 x=1,可得

12、 n=(1,-1,2). 因此有 cos= | | | =66,于是 sin=306. 所以,二面角 b-b1e-d的正弦值为306. 9 / 11 (3)依题意, =(-2,2,0).由(2)知 n=(1,-1,2)为平面 db1e的一个法向量,于是cos= | | | =-33. 所以,直线 ab与平面 db1e所成角的正弦值为33. 18.解(1)由已知,可得 b=3.记半焦距为 c,由|of|=|oa|,可得 c=b=3.又由 a2=b2+c2,可得 a2=18.所以,椭圆的方程为218+29=1. (2)因为直线 ab与以 c为圆心的圆相切于点 p,所以 abcp.依题意,直线 ab

13、和直线 cp的斜率均存在.设直线 ab的方程为 y=kx-3.由方程组 = -3,218+29= 1,消去 y,可得(2k2+1)x2-12kx=0,解得 x=0,或 x=1222+1.依题意,可得点 b的坐标为1222+1,62-322+1.因为 p为线段 ab的中点,点 a的坐标为(0,-3),所以点 p的坐标为622+1,-322+1.由 3 = ,得点 c的坐标为(1,0),故直线 cp的斜率为-322+1-0622+1-1,即322-6+1.又因为 abcp,所以 k322-6+1=-1,整理得 2k2-3k+1=0,解得 k=12,或k=1.所以,直线 ab的方程为 y=12x-3

14、,或 y=x-3. 19.(1)解设等差数列an的公差为 d,等比数列bn的公比为 q.由 a1=1,a5=5(a4-a3),可得 d=1,从而an的通项公式为 an=n.由 b1=1,b5=4(b4-b3),又 q0,可得 q2-4q+4=0,解得 q=2,从而bn的通项公式为 bn=2n-1. (2)证明由(1)可得 sn=(+1)2,故 snsn+2=14n(n+1)(n+2)(n+3),+12=14(n+1)2(n+2)2,从而 snsn+2-+12=-12(n+1)(n+2)0,所以 snsn+2x2,令12=t(t1), 则(x1-x2)f(x1)+f(x2)-2f(x1)-f(x2) =(x1-x2) 312+1+322+2-2 13 23+kln12 =13 23-312x2+3x122+k1221-2kln12 =23(t3-3t2+3t-1)+k t-1-2ln t . 令 h(x)=x-1-2ln x,x1,+). 当 x1时,h(x)=1+122= (1-1)20, 由此可得 h(x)在1,+)单调递增, 所以当 t1时,h(t)h(1),即 t-1-2ln t0. 因为 x21,t3-3t2+3t-1=(t-1)30,k-3, 1