2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)教师 (2)

1、1 / 10 2020 年普通高等学 校招生全国统一考试 数学(天津卷) (本试卷共 4 页,20小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟) 第卷(共 40 分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 u=-3,-2,-1,0,1,2,3,集合 a=-1,0,1,2,b=-3,0,2,3,则 a(ub)=( ) a.-3,3 b.0,2 c.-1,1 d.-3,-2,-1,1,3 答案 c 解析u=-3,-2,-1,0,1,2,3,ub=-2,-1,1,a(ub)=-1,1.故选 c. 2.设 ar,则“a1”是“a2a”的( ) a.充分不必要条

2、件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 答案 a 解析若 a1,则 a2a成立. 若 a2a,则 a1 或 a1”是“a2a”的充分不必要条件.故选 a. 3.函数 y=42+1的图象大致为( ) 答案 a 解析函数 y=42+1为奇函数,排除 c,d. 再把 x=1 代入得 y=42=20,排除 b.故选 a. 2 / 10 4.从一批零件中抽取 80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为 9组:5.31,5.33),5.33,5.35),5.45,5.47),5.47,5.49,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间5.43,5.47)

3、内的个数为 ( ) a.10 b.18 c.20 d.36 答案 b 解析在5.43,5.47的频率为(6.25+5.00)0.02=0.225,0.22580=18.故选 b. 5.若棱长为 23的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) a.12 b.24 c.36 d.144 答案 c 解析2r=(23 2)2+ (23)2=6, 球的表面积为 4r2=36.故选 c. 6.设 a=30.7,b=(13)-0.8,c=log0.70.8,则 a,b,c 的大小关系为( ) a.abc b.bac c.bca d.ca30.7=a30=1, c=log0.70.8log0.70.

4、7=1,ca0,b0),过抛物线 y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为 l.若 c 的一条渐近线与 l平行,另一条渐近线与 l垂直,则双曲线 c的方程为( ) a.2424=1 b.x2-24=1 c.24-y2=1 d.x2-y2=1 答案 d 解析双曲线2222=1 的渐近线方程为 y=x,y2=4x的焦点坐标为(1,0), l为+1=1,即 y=-bx+b, -b=-且-b=-1, 3 / 10 a=1,b=1.故选 d. 8.已知函数 f(x)=sin( +3).给出下列结论: f(x)的最小正周期为 2; f(2)是 f(x)的最大值; 把函数 y=sin x 的图象上所有点向左平

5、移3个单位长度,可得到函数 y=f(x)的图象. 其中所有正确结论的序号是( ) a. b. c. d. 答案 b 解析f(x)=sin( +3), f(x)最小正周期 t=21=2,正确; f(2)=sin(2+3)=sin561,不正确; y=sin xf(x)=sin( +3),正确. 故选 b. 9.已知函数 f(x)=3, 0,-, 0.若函数 g(x)=f(x)-|kx2-2x|(kr)恰有 4个零点,则 k 的取值范围是 ( ) a.(-,-12)(22,+) b.(-,-12)(0,22) c.(-,0)(0,22) d.(-,0)(22,+) 答案 d 解析 f(x)=3,

6、0,-, 0,则如图. 113,k3k,k21,k1,左侧无交点. 4 / 10 x3=kx2-2x要有三个根,即 x2-kx+2=0有两根,=k2-80,k22. 综上,k22. (2)若 k0,如图. 点(1,-1)恰在 y=-x 上,且过二次函数顶点,k0)相交于 a,b两点.若|ab|=6,则 r 的值为 . 答案 5 解析如图. |ab|=6,|ad|=3. 圆 x2+y2=r2的圆心为(0,0). 圆心到直线的距离 cd=|8|1+3=4, ac=5,即 r=5. 5 / 10 13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子

7、的概率为 ;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 . 答案16 23 解析两球都落入 p1=1213=16,a=“两球至少一个落入盒子”对立事件为=“两球都未落入”, p()=(1-12) (1-13) =1223=13, 则 p(a)=1-p()=23. 14.已知 a0,b0,且 ab=1,则12+12+8+的最小值为 . 答案 4 解析ab=1,b=1. 12+12+8+=12+2+8+1=12(1+ ) +8+1. 令1+a=t0,则原式=2+8228=24=4. 当且仅当 t2=16,即 t=4时,等号成立,此时1+a=4. 15. 如图,在四边形 abcd中,b=60,ab=3,b

8、c=6,且 = , =-32,则实数 的值为 ,若 m,n 是线段 bc上的动点,且| |=1,则 的最小值为 . 答案16 132 解析 = , = =| | | cos 120=63(-12)=-32,=16. 令 = 056, 则 = + = +16 = ( +16) , 6 / 10 = + + =-16 + + = (-16) , = + + =-16 + + ( +16) = . = (-16) ( )= (-16)| |2-( + -16) +| |2=36(2-16) (2-16)9+9=362-6-18+212=362-24+212=36(-13)2+132. 又056,当

9、=13时取最小值132. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(14分) 在abc中,角 a,b,c所对的边分别为 a,b,c.已知 a=22,b=5,c=13. (1)求角 c的大小; (2)求 sin a 的值; (3)求 sin(2 +4)的值. 解(1)在abc 中,由余弦定理及 a=22,b=5,c=13,有 cos c=2+2-22=22. 又因为 c(0,),所以 c=4. (2)在abc中,由正弦定理及 c=4,a=22,c=13,可得 sin a=sin=21313. (3)由 ac及 sin a=21313,可得 co

10、s a=1-sin2 =31313,进而 sin 2a=2sin acos a=1213,cos 2a=2cos2a-1=513. 所以,sin(2 +4)=sin 2acos4+cos 2asin4=121322+51322=17226. 17.(15分) 如图,在三棱柱 abc-a1b1c1中,cc1平面 abc,acbc,ac=bc=2,cc1=3,点 d,e 分别在棱 aa1和棱cc1上,且 ad=1,ce=2,m为棱 a1b1的中点. (1)求证:c1mb1d; 7 / 10 (2)求二面角 b-b1e-d的正弦值; (3)求直线 ab与平面 db1e所成角的正弦值. 解依题意,以

11、c为原点,分别以 , ,1 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得 c(0,0,0),a(2,0,0),b(0,2,0),c1(0,0,3),a1(2,0,3),b1(0,2,3),d(2,0,1),e(0,0,2),m(1,1,3). (1)证明:依题意,1 =(1,1,0),1 =(2,-2,-2),从而1 1 =2-2+0=0,所以 c1mb1d. (2)依题意, =(2,0,0)是平面 bb1e的一个法向量,1 =(0,2,1), =(2,0,-1). 设 n=(x,y,z)为平面 db1e 的法向量,则1 = 0, = 0,即2 + = 0,2- =

12、 0.不妨设 x=1,可得 n=(1,-1,2). 因此有 cos= | | | =66, 于是 sin=306. 所以,二面角 b-b1e-d 的正弦值为306. (3)依题意, =(-2,2,0).由(2)知 n=(1,-1,2)为平面 db1e的一个法向量, 于是 cos= | | | =-33. 所以,直线 ab 与平面 db1e所成角的正弦值为33. 18.(15分) 已知椭圆22+22=1(ab0)的一个顶点为 a(0,-3),右焦点为 f,且|oa|=|of|,其中 o 为原点. (1)求椭圆的方程; (2)已知点 c 满足 3 = ,点 b 在椭圆上(b异于椭圆的顶点),直线

13、ab 与以 c 为圆心的圆相切于点p,且 p为线段 ab的中点.求直线 ab的方程. 解(1)由已知,可得 b=3.记半焦距为 c,由|of|=|oa|,可得 c=b=3.又由 a2=b2+c2,可得 a2=18.所以,椭圆的方程为218+29=1. (2)因为直线 ab 与以 c 为圆心的圆相切于点 p,所以 abcp.依题意,直线 ab和直线 cp 的斜率均存在.设直线 ab 的方程为 y=kx-3.由方程组 = -3,218+29= 1,消去 y,可得(2k2+1)x2-12kx=0,解得 x=0,或8 / 10 x=1222+1.依题意,可得点 b的坐标为1222+1,62-322+1

14、.因为 p 为线段 ab 的中点,点 a的坐标为(0,-3),所以点 p的坐标为622+1,-322+1.由 3 = ,得点 c的坐标为(1,0),故直线 cp 的斜率为-322+1-0622+1-1,即322-6+1.又因为 abcp,所以 k322-6+1=-1,整理得 2k2-3k+1=0,解得 k=12,或 k=1.所以,直线 ab的方程为 y=12x-3,或 y=x-3. 19.(15分) 已知an为等差数列,bn为等比数列,a1=b1=1,a5=5(a4-a3),b5=4(b4-b3). (1)求an和bn的通项公式; (2)记an的前 n项和为 sn,求证:snsn+2+12(n

15、n*); (3)对任意的正整数 n,设 cn=(3-2)+2,为奇数,-1+1,为偶数.求数列cn的前 2n项和. (1)解设等差数列an的公差为 d,等比数列bn的公比为 q.由 a1=1,a5=5(a4-a3),可得 d=1,从而an的通项公式为 an=n.由 b1=1,b5=4(b4-b3),又 q0,可得 q2-4q+4=0,解得 q=2,从而bn的通项公式为 bn=2n-1. (2)证明由(1)可得 sn=(+1)2,故 snsn+2=14n(n+1)(n+2)(n+3),+12=14(n+1)2(n+2)2,从而 snsn+2-+12=-12(n+1)(n+2)0,所以 snsn+

16、2x2,有(1)+(2)2(1)-(2)1-2. (1)解当 k=6时,f(x)=x3+6ln x,故 f(x)=3x2+6. 可得 f(1)=1,f(1)=9,所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 y-1=9(x-1),即 y=9x-8. 依题意,g(x)=x3-3x2+6ln x+3,x(0,+).从而可得 g(x)=3x2-6x+632,整理可得g(x)=3(-1)3(+1)2.令 g(x)=0,解得 x=1. 当 x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,+) g(x) - 0 + g(x) 极小值 所以,函数 g(x)的单调递减区间为

17、(0,1),单调递增区间为(1,+);g(x)的极小值为 g(1)=1,无极大值. (2)证明由 f(x)=x3+kln x,得 f(x)=3x2+. 对任意的 x1,x21,+),且 x1x2,令12=t(t1), 则(x1-x2)f(x1)+f(x2)-2f(x1)-f(x2) =(x1-x2) 312+1+322+2-2 13 23+kln12 =13 23-312x2+3x122+k1221-2kln12 =23(t3-3t2+3t-1)+k t-1-2ln t . 令 h(x)=x-1-2ln x,x1,+). 当 x1时,h(x)=1+122= (1-1)20, 由此可得 h(x)在1,+)单调递增, 所以当 t1 时,h(t)h(1),即 t-1-2ln t0