2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国Ⅰ卷)文

1、1 / 20 绝密 启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学(全国卷,文) (本试卷共 4 页,23小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 a=x|x2-3x-41)的左、右顶点,g为 e 的上顶点, =8.p 为直线 x=6上的动点,pa与 e 的另一交点为 c,pb 与 e的另一交点为 d. (1)求 e 的方程; (2)证明:直线 cd过定点. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一

2、题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.选修 44:坐标系与参数方程(10分) 在直角坐标系 xoy 中,曲线 c1的参数方程为 = cos, = sin(t为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 c2的极坐标方程为 4cos -16sin +3=0. (1)当 k=1时,c1是什么曲线? (2)当 k=4时,求 c1与 c2的公共点的直角坐标. 8 / 20 23.选修 45:不等式选讲(10 分) 已知函数 f(x)=|3x+1|-2|x-1|. 9 / 20 (1)画出 y=f(x)的图像; (2)求不等式 f(x)f(x+1)的解集. 2020 年数学

3、(全国卷,文) 查缺补漏表 题组及考查主题 题型 考查要点和核心素养 查缺补漏 1(集合) 选择题 集合的基本运算(交集)、一元二次不等式的解法;数学运算 8,15,20(函数与导数) 选择题 指数与对数的互化;逻辑推理 填空题 导数的几何意义;数学运算 解答题 应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的零点、求参数的取值范围;数学抽象、逻辑推理、数学运算 7,18(三角函数与解三角形) 选择三角函数的周期、图像;直观想象、数学运算 10 / 20 题 解答题 正弦定理、余弦定理的应用、三角形面积的应用、三角恒等变换;数学运算 14(平面向量) 填空题 平面向量的坐标运算、两平面向量垂直;数

4、学运算 10,16(数列) 选择题 等比数列基本量的计算;数学运算 填空题 由数列和求首项、分类讨论思想的应用;逻辑推理、数学运算 13(不等式) 填空题 线性规划;直观想象 3,12,19(立体几何) 选择题 求空间几何体的基本元素;直观想象 选择题 球的切接问题、球的表面积;直观想象、数学运算 解答题 空间面面垂直的证明、求几何体的体积;直观想象、数学运算 6,11,21(平面解析几何) 选择题 点与圆的位置关系、弦长最小值的求法;直观想象、逻辑推理、数学运算 选择题 双曲线的定义的应用、求焦点三角形的面积;直观想象、逻辑推理、数学运算 解答题 求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系;逻辑推理

5、、数学运算 续 表 11 / 20 题组及考查主题 题型 考查要点和核心素养 查缺补漏 4,5,17(概率与统计) 选择题 古典概型的应用、数学运算,逻辑推理 选择题 回归方程的应用;数据分析 解答题 古典概型、平均数;数学建模、数据分析 2(复数) 选择题 复数的加法运算、复数的模;数学运算 9(程序框图) 选择题 循环结构;逻辑推理 22(坐标系与参数方程) 解答题 极坐标与参数方程;直观想象、数学运算 23(不等式选讲) 解答题 绝对值不等式、分段函数的图像;直观想象、逻辑推理 【试题分析】 2020 年全国卷文科数学,突出对基础知识(约占 40%)以及主干内容的考查,如函数与导数(22

6、分),立体几何(22分),解析几何(22分),概率与统计(22分),三角函数与解三角形(17分).纵观全卷,在稳定中求创新,重视对学生基本数学素养、思想方法与能力的考查,关注学生的应用意识与创新意识,试卷梯度明显,有良好的区分度.试题重视数学本质,突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用,突出对关键能力的考查.第 3题以世界建筑奇迹埃及的胡夫金字塔为背景,设计了正四棱锥的计算问题,将立体几何的基本知识与世界文化遗产有机结合.考查学生的分析能力和数学文化素养.第 17题以工业生产中的总厂分配加工业务问题为背景,考查了学生运用所学的概率和统计知识对现实社会中实际数据的分析处理能力,将社

7、会生产劳动实践情景与数学基本概念有机结合,培养劳动观念中的引导作用. 12 / 20 1.d 由不等式 x2-3x-40,解得-1x4,故 ab=1,3. 2.c 因为 z=1+2i+i3=1+2i+i2 i=1+2i-i=1+i, 所以|z|=12+ 12= 2. 3. c 如图,设正四棱锥的高为 h,底面边长为 a,侧面三角形底边上的高为 h, 则有2=12,2= 2-(2)2, 因此有 h2-(2)2=12ah, 化简得 4()2-2()-1=0, 解得=5+14.(负值舍去) 4.a 由题意知一共有 10种取法,当选 a,o,c和 b,o,c时符合要求, 故 p=210=15. 5.d

8、 结合题中散点图,由图像的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为 y=a+bln x. 6.b 圆的方程可化为(x-3)2+y2=9. 13 / 20 因为(1-3)2+ (2-0)2=223, 所以点(1,2)在圆内. 如图所示,设圆心 o1(3,0),a(1,2),当弦 bc与 o1a垂直时弦最短, 因为|o1a|=(3-1)2+ (0-2)2=22,|o1b|=3, 所以|ab|=|1|2-|1|2= 9-8=1, 所以|bc|=2|ab|=2. 7.c 由题图知 f(-49)=cos(-49 +6)=0, 所以-49+6=2+k(kz), 化简得 =-3+94(

9、kz). 因为 t22t,即2|24|, 所以 1|2,解得-119k-79或19k59. 当且仅当 k=-1时,1|2. 所以 =32,最小正周期 t=2|=43. 8.b 因为 alog34=log34a=2,所以 4a=32=9, 所以 4-a=14=19. 9.c 输入 n=1,s=0,则 s=s+n=1,s100;n=n+2=3, s=s+n=1+3=5,s100;n=n+2=5, s=s+n=1+3+5=10,s100;n=5+2=7, 14 / 20 由以上推导可知 s是以 1为首项,2为公差的等差数列的前 m项和, 可得 s=m+m(m-1)100,解得-10m10. 故当 n

10、=1+102=21时,不满足 s100,故输出 n=21. 10.d 设等比数列an的公比为 q,因为 a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以 q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.所以 a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32. 11.b 由题意知 a=1,b=3,c=2.不妨设 f1,f2分别为双曲线 c的左、右焦点,则 f1(-2,0),f2(2,0). 因为|op|=2,所以点 p在以 o为圆心,f1f2为直径的圆上, 故 pf1pf2,则|pf1|2+|pf2|2=(2c)2=16. 由双曲线的定义可知|pf1|-|pf2|=2a=2, 所以|pf1|2+|

11、pf2|2-2|pf1| |pf2|=4, 所以|pf1| |pf2|=6,所以pf1f2的面积为12|pf1| |pf2|=3. 12.a 由题意知o1的半径 r=2.由正弦定理知sin=2r, oo1=ab=2rsin 60=23, 球 o的半径 r=2+ |1|2=4. 球 o的表面积为 4r2=64. 13. 1 画出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,将目标函数 z=x+7y变形可得 y=-17x+17z,平移直线 y=-17x. 15 / 20 由图可得 z在点 a处取得最大值. 由-1 = 0,2 + -2 = 0,得 = 1, = 0, 所以 a(1,0),所以 zm

12、ax=1+70=1. 【思路点拨】 解答本题的关键是根据题意画出可行域,分别求出交点坐标,可知 z在点(1,0)处取得最大值. 14.5 由 ab,可得 a b=1(m+1)+(-1)(2m-4)=0,解得 m=5. 15.y=2x 设切点坐标为(x0,y0).对 y=ln x+x+1求导可得 y=1+1. 由题意得,10+1=2,解得 x0=1,故 y0=ln 1+1+1=2, 切线方程为 y-2=2(x-1),即 y=2x. 16.7 当 n为偶数时,有 an+2+an=3n-1, 则(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)=5+17+29+41=92, 因为

13、前 16项和为 540,所以 a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448. 当 n为奇数时,有 an+2-an=3n-1,由累加法得 an+2-a1=3(1+3+5+n)-1+2=34n2+n+14,所以an+2=34n2+n+14+a1, 所以a1+3412+1+14+a1+3432+3+14+a1+3452+5+14+a1+3472+7+14+a1+3492+9+14+a1+34112+11+14+a1+34132+13+14+a1=448,解得 a1=7. 17.解 (1)由试加工产品等级的频数分布表知, 甲分厂加工出来的一件产品为 a级品的概率的估计值为40100=0

14、.4; 乙分厂加工出来的一件产品为 a级品的概率的估计值为28100=0.28. 16 / 20 (2)由数据知甲分厂加工出来的 100件产品利润的频数分布表为 利润 65 25 -5 -75 频数 40 20 20 20 因此甲分厂加工出来的 100件产品的平均利润为 6540+2520-520-7520100=15. 由数据知乙分厂加工出来的 100件产品利润的频数分布表为 利润 70 30 0 -70 频数 28 17 34 21 因此乙分厂加工出来的 100件产品的平均利润为 7028+301710. 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业

15、务. 18.解 (1)由题设及余弦定理得 28=3c2+c2-23c2cos 150, 解得 c=-2(舍去),c=2.从而 a=23. abc的面积为12232sin 150=3. (2)在abc中,a=180-b-c=30-c, 所以 sin a+3sin c=sin(30-c)+3sin c=sin(30+c). 故 sin(30+c)=22. 而 0c30,所以 30+c=45,故 c=15. 17 / 20 19.(1)证明 由题设可知,pa=pb=pc. 由于abc是正三角形, 故可得pacpab,pacpbc. 又apc=90,故apb=90,bpc=90. 从而 pbpa,pb

16、pc,故 pb平面 pac, 所以平面 pab平面 pac. (2)解 设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l. 由题设可得 rl=3,l2-r2=2. 解得 r=1,l=3. 从而 ab=3.由(1)可得 pa2+pb2=ab2, 故 pa=pb=pc=62. 所以三棱锥 p-abc的体积为1312papbpc=1312 (62)3=68. 20.解 (1)当 a=1时,f(x)=ex-x-2,则 f(x)=ex-1. 当 x0时,f(x)0时,f(x)0. 所以 f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增. (2)f(x)=ex-a. 当 a0时,f(x)0,所以 f(x)在(-,+

17、)单调递增,故 f(x)至多存在 1个零点,不合题意. 当 a0时,由 f(x)=0可得 x=ln a.当 x(-,ln a)时,f(x)0. 所以 f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增,故当 x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a). 若 01e,则 f(ln a)0,所以 f(x)在(-,ln a)存在唯一零点. 由(1)知,当 x2时,ex-x-20, 所以当 x4且 x2ln(2a)时, f(x)=e2 e2-a(x+2)eln(2a) (2+ 2)-a(x+2)=2a0. 故 f(x)在(ln a,+)存在唯一零点.

18、从而 f(x)在(-,+)有两个零点. 综上,a的取值范围是(1e, + ). 21.(1)解 由题设得 a(-a,0),b(a,0),g(0,1). 则 =(a,1), =(a,-1). 由 =8得 a2-1=8,即 a=3. 所以 e的方程为29+y2=1. (2)证明 设 c(x1,y1),d(x2,y2),p(6,t). 若 t0,设直线 cd的方程为 x=my+n, 由题意可知-3n3. 由于直线 pa的方程为 y=9(x+3),所以 y1=9(x1+3). 直线 pb的方程为 y=3(x-3),所以 y2=3(x2-3). 可得 3y1(x2-3)=y2(x1+3). 由于229+ 22=1,故22=-(2+3)(2-3)9, 19 / 20 可得 27y1y2=-(x1+3)(x2+3),即(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)