2020届全国100所名校高三模拟金典卷文科数学（一）试题（解析版）

1、1 / 20 100 所名校高考模拟金典卷所名校高考模拟金典卷 数学（一）数学（一） （120 分钟分钟 150 分）分） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的. 1. 已知集合 | 24, | 22axxbxx= = ，则ab =（ ） a. | 22xx b. | 24xx c. | 22xx d. | 24xx 【答案】b 【解析】 【分析】 直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合 | 24, | 22axxbxx

2、= = ，所以 | 24abxx= . 故选：b 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 2. 已知a是实数，()11aai +是纯虚数，则复数zai=+的模等于（ ） a. 2 b. 3 c. 2 d. 1 【答案】c 【解析】 【分析】 ()11aai +是纯虚数可得1a =，则1zi= +，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11aai +是纯虚数，则实部为 0，虚部不为 0，即1a =， 所以1zi= +，|2|z =. 故选：c 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题. 3. 某产品的宣传费用x（万元）与销售额y（万元

3、）的统计数据如下表所示： 宣传费用x（万4 2 3 5 2 / 20 元） 销售额y（万元） 25 24 a 50 根据上表可得回归方程9.62.9yx=+，则宣传费用为 3 万元时销售额a为（ ） a. 36.5 b. 30 c. 33 d. 27 【答案】d 【解析】 【分析】 由题表先计算出x，将其代入线性回归方程即可. 【详解】由已知，1(4235)3.54x =+ +=， 由回归方程过点(), x y，故36.5y =， 即1(452450)36.54ya=+=，解得27a =. 故选：d 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心( , )x y，考查学生的

4、基本计算能力，是一道容易题. 4. 已知在等差数列 na中，34576, 11aaaa+=，则1a =（ ） a 3 b. 7 c. 7 d. 3 【答案】c 【解析】 【分析】 由3456aaa+=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d，再由413aad=+可得1a. 【详解】由等差数列的性质，得345436aaaa+=， 所以42,a =公差7493743aad=， 又4132aad=+=，所以17a = . 故选：c 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题. 3 / 20 5. 已知抛物线24yx=的准线与圆2260 xyxm+=

5、相切，则实数m的值为（ ） a. 8 b. 7 c. 6 d. 5 【答案】b 【解析】 【分析】 由题可得准线方程为1x = ，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x = ， 圆2260 xyxm+=的标准方程为22(3)9xym+=+， 由1x = 与圆相切，所以圆心到直线的距离()3149dm= =+， 解得7m =. 故选：b 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. 6. 已知平面向量, a b 满足(1, 3)a=，| 3b=，(2 )aab，则|23|ab=（ ） a. 7

6、3 b. 7 c. 4 d. 5 【答案】a 【解析】 分析】 根据向量的垂直关系求出a b，再将向量的模长转化为向量的数量积，即可求解. 【详解】由题意可得|1 32a =+=且(2 )0aab=， 即220aa b=，所以420a b=， 所以2a b=， 222|23 |(23 )4129ababaa bb= + 16248173=+= 故选：a. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，熟记公式即可，属于基础题 7. 已知定义在r上的函数( )yf x=，对于任意的rx，总有()()123fxfx+=成立，则函数4 / 20 ( )yf x=的图象（ ） a. 关于点()1,2对称 b. 关

7、于点3 3,2 2对称 c. 关于点()3,3对称 d. 关于点()1,3对称 【答案】b 【解析】 【分析】 设( , )a x y是( )yf x=图象上任意一点，a关于( , )a b对称的点为()2,2aaxby也在( )yf x=的图象上，再结合()()123fxfx+=简单推导即可得到. 【详解】设( , )a x y是( )yf x=图象上任意一点，a关于( , )a b对称的点为()2,2aaxby 也在( )yf x=的图象上，则(2)(1(21)3(221)faxfxafxa=+=+ 3(32)2( )faxbf x=+=，所以有23,320ba=，解得33,22ab=.

8、所以函数( )yx=的图象关于点3 3,2 2对称. 故选：b 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题. 8. 某学校为了解 1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100名学生进行体质测验，若 46号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是 a. 8 号学生 b. 200号学生 c. 616号学生 d. 815号学生 【答案】c 【解析】 【分析】 等差数列的性质渗透了数据分析素养使用统计思想，逐个选项判断得出答案 【详解】详解：由已知将 1000名学生分成 100个组

9、，每组 10 名学生，用系统抽样，46号学生被抽到， 所以第一组抽到 6号，且每组抽到的学生号构成等差数列na，公差10d =， 所以6 10nan=+()nn， 5 / 20 若86 10n=+，则15n =，不合题意；若2006 10n=+，则19.4n =，不合题意； 若6166 10n=+，则61n =，符合题意；若8156 10n=+，则80.9n =，不合题意故选 c 【点睛】本题主要考查系统抽样. 9. 函数| |4xeyx=的图象可能是（ ） a. b. c. d. 【答案】c 【解析】 【分析】 由函数的奇偶性可排除 b；由(1),(3)ff可排除选项 a、d. 【详解】设|

10、 |( )4xef xx=，定义域为 |0 x x ，| |()( )4xefxf xx= = ，所以( )f x为奇函数， 故排除选项 b；又(1)14ef=，排除选项 a；3(3)112ef=，排除选项 d. 故选：c 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题. 10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） 6 / 20 a. 163 b. 3 c. 29 d. 169 【答案】d 【解析】 【分析】 根据三视图可得该几何体是圆锥的一部分，结合三视图的数据，即可求解. 【详解】从

11、三视图中提供的图形信息与数据信息可知： 该几何体的底面是圆心角为23的扇形，高是 4的圆锥体 底面面积14433s=， 所以其体积14164339v= 故选：d. 【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，由三视图还原出直观图是解题的关键，属于基础题 11. 已知函数( )sin3cos(0)f xxx=+的图象上存在()()12,0 ,0a xb x两点，|ab的最小值为2，再将函数( )yf x=的图象向左平移3个单位长度，所得图象对应的函数为( )g x，则( )g x =（ ） a. 2sin2x b. 2sin2x c. 2cos 26x d. 2sin 26x 【答案】a 【解析】 【

12、分析】 ( )2sin3f xx=+，由min|2ab=可得t=，2=，再由平移变换及诱导公式可得( )g x的解析7 / 20 式. 详解】( )sin3cos2sin3f xxxx=+=+， 因为|ab的最小值为12222t=，解得2=. 因为函数( )yf x=的图象向左平移3个单位长度， 所得图象对应的函数为( )g x， 所以( )2sin 22sin(2)2sin233g xxxx=+=+= . 故选：a 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题. 12. 如图所示，在棱锥pabcd-中，底面abcd是正方形，边长为

13、2，22pdpapc=，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ） a. 2 b. 21+ c. 2 d. 21 【答案】d 【解析】 【分析】 由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为s，连接sd，sasbscsp、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为r，求出四棱锥的表面积s以及四棱锥的体积p abcdv，利用公式13p abcdvs=r，计算即可. 【详解】由已知，22pdadpa=，所以222pdadpa+=，所以 pdad，同理pdcd，又cdadd=，所以pd 平面abcd， pdab，又abad，pdadd=，所以ab 平面pad，所以 8 / 20 paab

14、，设此球半径为r，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为s， 连接sd，sasbscsp、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为r. 四棱锥体积2112223323p abcdabcdvspd=， 四棱锥的表面积 s22112222222242 222padpababcdsss=+=+ +=+， 因为13p abcdvs=r， 所以32 212142 221p abcdvrs=+. 故选：d 【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20

15、分分.把答案填在题中的横线上把答案填在题中的横线上. 13. 设实数x，y满足约束条件101010yxyxy+ + + ，则34zxy=的最大值是_. 【答案】4 【解析】 【分析】 作出可行域，344zyx=，易知截距越小，z越大， 【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yxyxy+ + + ，画出可行域，如图，平移直线34yx=即可得到目标函数的最大值. 9 / 20 344zyx=，易知截距越小，z越大，平移直线34yx=，可知当目标函数经过点a时取 得最大值，由11yyx= = ，解得()0, 1a，所以max3 04 ( 1)4.z= = 故答案为：4 【点睛】本题考查简单的

16、线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题. 14. 曲线( )e43xf xx=+在点( )(0,)0f处的切线方程为_. 【答案】52yx= 【解析】 【分析】 直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为( )02f= ，( )4xfxe=+， 所以0(0)45fe=+=， 所以切线方程为()25y =()0 x，即52.yx= 故答案为：52yx= 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 15. 已知数列 na满足：11a =，12nnnaa+=+，则数列 na的前n项和ns =_. 【答案】122nn+ 【解析】 【分析】 利用累加法可得数

17、列 na的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 10 / 20 【详解】由已知，12nnnaa+=，当2n 时， ()()()211213211212222112nnnnnnaaaaaaaa=+= +=， 又11a =满足上式，所以21nna =， ()212 1 2222221 2nnnnsnnn+=+=. 故答案：122nn+ 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题. 16. 已知双曲线22221xyab=（0ba）的左、右焦点分别是1f、2f，p为双曲线左支上任意一点，当1222 pfpf最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范

18、围是_. 【答案】( 2,3 【解析】 【分析】 112222111224|24|2pfpfapfpfapfapf=+，1pfca，分2caa，2aca两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件ba. 【详解】由已知，112222111224|24|2pfpfapfpfapfapf=+，因为1pfca，当2caa时， 2211221442 444aaaapfapf=+，当且仅当12pfa=时，1222 pfpf取最大值14a， 由2aca，所以3e ；当2caa时，1222 pfpf的最大值小于14a，所以不合题意. 因为ba，所以2221 1bea= ，所以2e ，所以23.e 11 / 20 故

19、答案为：( 2,3 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 121 题为必考题，每个题为必考题，每个试题考生都必须作答试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17. 某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国 70 周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40 名学生,对

20、其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表. 高二 成绩分组 频数 )75,80 2 )80,85 6 )85,90 16 )90,95 14 )95,100 2 （1）若成绩不低于 80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率； （2）在抽取的学生中，从成绩为95,100的学生中随机选取 2 名学生，代表学校外出参加比赛，求这 2名学生来自于同一年级的概率. 12 / 20 【答案】（1）0.85；（2）715 【解析】 【分析】 （1）利用 1减去)75,80的概率即可得到答案； （2）高一年级成绩为95,100的有4人，记为1234, , , aaaa

21、，高二年级成绩为95,100的有 2名，记为12,b b，然后利用列举法即可. 【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85=. （2）高一年级成绩为95,100的有0.02 5 404 =（名），记为1234, , , aaaa， 高二年级成绩为95,100的有 2名，记为12,b b.选取 2名学生的所有可能为 121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , a aa aa aababa aa aa ba ba aa ba ba ba bb b，共 15种； 其中 2 名学生来自于同一年级的有1213142

22、3243412,a a a a a a a a a a a a b b，共 7 种. 所以这 2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题. 18. 在abc中，角、 、abc所对的边分别是abc、 、，且2bac=+，13b =. （1）若3sin4sinca=，求c的值； （2）求ac+的最大值 【答案】（1）4；（2）2 13. 【解析】 【分析】 （1）由已知，易得3b=，由正弦定理可得34ca=，再由角 b 的余弦定理即可得到答案； （2）正弦定理得2 13sinsinsin3ac

23、bacb=，所以2 132 13sin ,sin33aa cc=，2 13(sinsin)3acac+=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得2 13sin6aca+=+，即可得到最大值. 【详解】（1）因为2bac=+， 13 / 20 又abc+=，得3b=. 又3sin4sinca=，由正弦定理得34ca=，即34ac=， 由余弦定理2222cosbacacb=+， 得22331132442ccc c=+ ，解得4c =或4c = （舍）. （2）由正弦定理得2 13sinsinsin3acbacb=， 2 132 13sin,sin33aa cc=， 2 13(sinsin)3ac

24、ac +=+ 2 13sinsin()3aab=+ 2 132 1313sinsinsinsincos32233aaaaa=+=+ 2 13sin6a=+， 由203a，得5666a+=， 当62a+=，即3a=时，max()2 13ac+=. 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19. 在菱形abcd中，,3adcaba=，o为线段cd的中点（如图 1）将aod沿ao折起到aod的位置，使得平面aod 平面abco，m为线段bd的中点（如图 2） 14 / 20 （）求证：odbc； （）求证：cm 平面a

25、od； （）当四棱锥dabco的体积为32时，求a的值 【答案】（）见解析. （）见解析. （） 2a =. 【解析】 【分析】 （）证明 odao 推出 od平面 abco 然后证明 odbc（）取 p 为线段 ad的中点，连接 op，pm；证明四边形 ocmp 为平行四边形，然后证明 cm平面 aod；（）说明 od是四棱锥 dabco的高通过体积公式求解即可 【详解】（）证明：因为在菱形abcd中，3adc=，o为线段cd的中点， 所以odao 因为平面aod 平面abco 平面aod平面abcoao=， od 平面aod， 所以od 平面abco 因为bc 平面abco， 所以odbc

26、 （）证明：如图，取p为线段ad的中点，连接 op,pm； 因为在abd中，p，m分别是线段ad，bd的中点， 所以/ /pmab，12pmab= 因为o是线段cd的中点，菱形abcd中，abdca=，/ /abdc， 所以122aoccd= 15 / 20 所以oc / /ab，12ocab= 所以/ /pmoc，pmoc= 所以四边形ocmp为平行四边形， 所以/ /cmop， 因为cm 平面aod，op 平面aod， 所以/ /cm平面aod； （）由（）知od 平面abco 所以od 是四棱锥dabco的高，又 s=233 32228aaaa+= ,2aod = 因为31333162a

27、vsod=， 所以2a = 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题 20. 已知椭圆2222:1(0)xycabab+=的离心率为12，过右焦点f作与x轴垂直的直线，与椭圆的交点到x轴的距离为32. （1）求椭圆c的方程； （2）设o为坐标原点，过点f的直线l与椭圆c交于a b、两点（a b、不在x轴上），若oeoaob=+，求四边形aobe面积s的最大值. 【答案】（1）22143xy+=；（2）3. 【解析】 16 / 20 【分析】 （1）由12ca=，232ba=结合222abc=+解方程组即可； （2）设:1lxty

28、=+，联立直线l与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为oeoaob=+，可得四边形aobe为平行四边形，2121212122|()42aobssofyyyyy y=+=，将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】(1)由已知得12ca=， 直线经过右焦点， 2222231,|2cybyaba+=， 又222abc=+，2,3,1abc=， 故所求椭圆c的方程为22143xy+=. （2）过()1,0f的直线与椭圆c交于a b、两点（a b、不在x轴上）， 设:1lxty=+，由221143xtyxy=+=，得22(34)690tyty+=， 设()()1122,a x yb xy，则12212

29、2634934tyyty yt+=+=+， oeoaob=+， 四边形aobe为平行四边形， 22121212216122|()4234aobtsofyyyyytsy+=+， 令211tm+=， 得2621313msmmm=+， 由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max32s=. 17 / 20 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题. 21. 设函数( )2a2xf xxalnx(a0)x=+ ()求函数( )f x的单调区间； ()记函数( )f x的最小值为( )g a，证明：( )g a1 【答案

30、】（i）( )f x在( 0,)a上单调递减，在(,)a +上单调递增；（ii）详见解析. 【解析】 【分析】 （i）对函数( )f x求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （ii）由（i）先得到( )g a，要证( )1g a ，即证明1ln1aa aa，即证明2111 lnaaa， 构造函数( )211ln1h aaaa=+，用导数的方法求函数( )h a的最小值即可. 【详解】（）显然( )f x的定义域为()0,+ ( )()()()222242332222221xxaxx axaxxfxaxxxxx+= =+= 220 x +，0 x ， 若()0,xa，0 xa，此时( )0

31、fx，( )f x在()0,a上单调递减； 若(),xa+，0 xa，此时( )0fx，( )f x在(),a +上单调递增； 综上所述：( )f x在()0,a上单调递减，在(),a +上单调递增 （）由（）知：( )( )min1lnf xf aaa aa=， 即：( )1lng aaa aa= 要证( )1g a ，即证明1ln1aa aa，即证明2111 lnaaa， 令( )211ln1h aaaa=+，则只需证明( )211ln10h aaaa=+ ， ( )()()22333211122aaaah aaaaaa+=，且0a ， 当()0,2a，20a ，此时( )0h a，( )

32、h a在()0,2上单调递减； 18 / 20 当()2,a+，20a ，此时( )0h a，( )h a在()2,+上单调递增， ( )( )min1112ln21ln20244h ah=+ = ( )211ln10h aaaa=+ ( )1g a 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一题计分题计分. 22. 在平面直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos4 sin (0)caa=，直线的参数方程为21xtyt= += +，（t为参数）.直线l与曲线c交于mn，两点. （1）写出曲线c的直角坐标方程和直线l的普通方程. （2）设()2, 1p ，若|,|,|pmmnpn成等比数列，求a和的|mn值. 【答案】（1）22cos4sin (0)aa=，10 xy+ =；（2）10，10. 【解析】 【分析】 （1）利用直