2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学乙卷

1、绝密 启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试题卷共5页,24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。祝考试顺利注意事项:1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2b铅笔将答题卡上试卷类型a后的方框涂黑。2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置

2、用2b铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1) 设集合a=1,3,5,7,b=x|2x5,则ab=(a)1,3(b)3,5(c)5,7(d)1,7(2) 设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=(a)-3(b)-2(c)2(d)3(3) 为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(a)

3、13(b)12(c)23(d)56(4) abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cosa=23,则b=(a)2(b)3(c)2(d)3(5) 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为(a)13(b)12(c)23(d)34(6) 将函数y=2sin(2x+6)的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为(a)y=2sin(2x+4)(b)y=2sin(2x+3)(c)y=2sin(2x-4)(d)y=2sin(2x-3)(7) 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体

4、积是283,则它的表面积是(a)17(b)18(c)20(d)28(8) 若a>b>0,0<c<1,则(a)logac<logbc(b)logca<logcb(c)ac<bc(d)ca>cb(9) 函数y=2x2-e|x|在-2,2的图像大致为(10) 执行右面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足(a)y=2x(b)y=3x(c)y=4x(d)y=5x(11) 平面过正方体abcd-a1b1c1d1的顶点a,平面cb1d1,平面abcd=m,平面abb1a1=n,则m,n所成角的正弦值为(a)32(b)22(c)33

5、(d)13(12) 若函数f(x)=x-13sin2x+asinx在(-,+)单调递增,则a的取值范围是(a)-1,1(b)-1,13(c)-13,13(d)-1,-13第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)(24)题为选考题,考生根据要求作答。二、填空题:本题共4小题,每小题5分。(13) 设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且ab,则x=. (14) 已知是第四象限角,且sin(+4)=35,则tan(-4)=. (15) 设直线y=x+2a与圆c:x2+y2-2ay-2=0相交于a,b两点,若|ab|=

6、23,则圆c的面积为. (16) 某高科技企业生产产品a和产品b需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品a需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品b需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品a的利润为2 100元,生产一件产品b的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品a、产品b的利润之和的最大值为元. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17) (本小题满分12分)已知an是公差为3的等差数列,数列bn满足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn

7、.()求an的通项公式;()求bn的前n项和.(18) (本小题满分12分)如图,已知正三棱锥p-abc的侧面是直角三角形,pa=6.顶点p在平面abc内的正投影为点d,d在平面pab内的正投影为点e,连结pe并延长交ab于点g.()证明:g是ab的中点;()在答题卡第(18)题图中作出点e在平面pac内的正投影f(说明作法及理由),并求四面体pdef的体积.(19)(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买

8、几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.()若n=19,求y与x的函数解析式;()若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;()假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?(20)(本小题满分12分)在直角坐标系xoy

9、中,直线l:y=t(t0)交y轴于点m,交抛物线c:y2=2px(p>0)于点p,m关于点p的对称点为n,连结on并延长交c于点h.()求|oh|on|;()除h以外,直线mh与c是否有其它公共点?说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.()讨论f(x)的单调性;()若f(x)有两个零点,求a的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。(22)(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,oab是等腰三角形,aob=120°,以o为圆心,12oa为半径作圆.()证明:直线a

10、b与o相切;()点c,d在o上,且a,b,c,d四点共圆,证明:abcd.(23)(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中,曲线c1的参数方程为x=acost,y=1+asint,(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线c2:=4cos.()说明c1是哪一种曲线,并将c1的方程化为极坐标方程;()直线c3的极坐标方程为=0,其中0满足tan0=2,若曲线c1与c2的公共点都在c3上,求a.(24)(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.()在答题卡第(24)题图中画出y=f(x)的图

11、像;()求不等式|f(x)|>1的解集.试卷全解全析全国乙卷文科(1)ba=1,3,5,7,b=x|2x5,ab=3,5,故选b.(2)a由已知(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i.(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,a-2=2a+1,解得a=-3,故选a.(3)c总的基本事件是:红黄,白紫;红白,黄紫;红紫,黄白,共3种.满足条件的基本事件是:红黄,白紫;红白,黄紫,共2种.故所求事件的概率为p=23.(4)d由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos a,即5=b2+4-4b×23,即3b2-8b-3=0,又b>0,解得b=3,故选d.(5)b设椭圆的一

12、个顶点坐标为(0,b),一个焦点坐标为(c,0),则直线l的方程为xc+yb=1,即bx+cy-bc=0,短轴长为2b,由题意得bcb2+c2=14×2b,与b2+c2=a2联立得a=2c,故e=12.(6)d由已知周期t=,右移14t=4后得y=2sin2x-4+6=2sin2x-3的图像,故选d.(7)a由三视图可知该几何体是球截去18后所得几何体,则78×43×r3=283,解得r=2,所以它的表面积为78×4r2+34×r2=14+3=17.(8)b对于a,logac=1logca,logbc=1logcb.0<c<1,对数

13、函数y=logcx在(0,+)上为减函数,若0<b<a<1,则0<logca<logcb,1logca>1logcb,即logac>logbc;若0<b<1<a,则logca<0,logcb>0,1logca<1logcb,即logac<logbc;若1<b<a,则logca<logcb<0,1logca>1logcb,即logac>logbc.故a不正确;由以上解析可知,b正确;对于c,0<c<1,幂函数y=xc在(0,+)上为增函数.a>b>0,a

14、c>bc,故c不正确;对于d,0<c<1,指数函数y=cx在r上为减函数.a>b>0,ca<cb,故d不正确.(9)d特殊值验证法,取x=2,则y=2×4-e28-2.71820.6(0,1),排除a,b;当0<x<2时,y=2x2-ex,则y'=4x-ex,由函数零点的判定可知,y'=4x-ex在(0,2)内存在零点,即函数y=2x2-ex在(0,2)内有极值点,排除c,故选d.(10)c由题图可知,x=0,y=1,n=1,执行如下循环:x=0,y=1,n=2;x=12,y=2,n=3;x=12+1=32,y=6,退出

15、循环,输出x=32,y=6,验证可知,c正确.(11)a(方法一)平面cb1d1,平面abcd平面a1b1c1d1,平面abcd=m,平面cb1d1平面a1b1c1d1=b1d1,mb1d1.平面cb1d1,平面abb1a1平面dcc1d1,平面abb1a1=n,平面cb1d1平面dcc1d1=cd1,ncd1.b1d1,cd1所成的角等于m,n所成的角,即b1d1c等于m,n所成的角.b1d1c为正三角形,b1d1c=60°,m,n所成的角的正弦值为32.(方法二)由题意画出图形如图,将正方体abcd-a1b1c1d1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面aef平面cb1d1,

16、所以平面aef即为平面,m即为ae,n即为af,所以ae与af所成的角即为m与n所成的角.因为aef是正三角形,所以eaf=60°,故m,n所成角的正弦值为32.(12)c由题意可知,f(x)=x-23sin xcos x+asin x,故f'(x)=1-23cos 2x+acos x=-43cos2x+acos x+53.因为f(x)在r上单调递增,所以f'(x)=-43cos2x+acos x+530在r上恒成立.(方法一)则由题意可得,当cos x=1时,f'(x)0,当cos x=-1时,f'(x)0,即-43+a+530,-43-a+530,

17、解得-13a13.(方法二)令t=cos x-1,1,当t=0时,53>0恒成立;当0<t1时,a43t-53t.令h(t)=43t-53t,则h'(t)=43+53t2>0,所以h(t)在(0,1上单调递增.所以h(t)max=h(1)=-13.所以a-13.当-1t<0时,a43t-53t.令g(t)=43t-53t,则g'(t)=43+53t2>0,所以g(t)在-1,0)上单调递增.所以g(t)min=g(-1)=13,所以a13.综上,-13a13.(13)-23ab,a·b=x+2(x+1)=0,解得x=-23.(14)-43

18、sin+4=35,cos-4=cos+4-2=sin+4=35.又是第四象限角,-4是第三或第四象限角.sin-4=-45.tan-4=-43.(15)4圆c的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,所以圆心坐标为(0,a),半径r2=a2+2,圆心到直线的距离d=|a|2.由已知(3)2+a22=a2+2,解得a2=2,故圆c的面积为(2+a2)=4.(16)216 000设生产产品a x件,生产产品b y件,由题意得1.5x+0.5y150,x+0.3y90,5x+3y600,x,yn,即3x+y300,10x+3y900,5x+3y600,x,yn.目标函数z

19、=2 100x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),作直线y=-73x,当直线过5x+3y=600与10x+3y=900的交点时,z取最大值,由5x+3y=600,10x+3y=900,解得x=60,y=100,所以zmax=2 100×60+900×100=216 000.(17)解 ()由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2.所以数列an是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.()由()和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=bn3,因此bn是首项为1,公比为13的等比数列.记bn的前n项和为s

20、n,则sn=1-13n1-13=32-12×3n-1.(18)解 ()因为p在平面abc内的正投影为d,所以abpd.因为d在平面pab内的正投影为e,所以abde.所以ab平面ped,故abpg.又由已知可得,pa=pb,从而g是ab的中点.()在平面pab内,过点e作pb的平行线交pa于点f,f即为e在平面pac内的正投影.理由如下:由已知可得pbpa,pbpc,又efpb,所以efpa,efpc.因此ef平面pac,即点f为e在平面pac内的正投影.连结cg,因为p在平面abc内的正投影为d,所以d是正三角形abc的中心.由()知,g是ab的中点,所以d在cg上,故cd=23c

21、g.由题设可得pc平面pab,de平面pab,所以depc,因此pe=23pg,de=13pc.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且pa=6,可得de=2,pe=22.在等腰直角三角形efp中,可得ef=pf=2.所以四面体pdef的体积v=13×12×2×2×2=43.(19)解 ()当x19时,y=3 800;当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700.所以y与x的函数解析式为y=3 800,x19,500x-5 700,x>19,(xn).()由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的

22、频率为0.7,故n的最小值为19.()若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90+4 500×10

23、)=4 050.比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.(20)解 ()由已知得m(0,t),pt22p,t.又n为m关于点p的对称点,故nt2p,t,on的方程为y=ptx,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=2t2p.因此h2t2p,2t.所以n为oh的中点,即|oh|on|=2.()直线mh与c除h以外没有其它公共点.理由如下:直线mh的方程为y-t=p2tx,即x=2tp(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线mh与c只有一个公共点,所以除h以外直线mh与c没有其它公共点.(21)解 ()f&#

24、39;(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).()设a0,则当x(-,1)时,f'(x)<0;当x(1,+)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增.()设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a=-e2,则f'(x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-,+)单调递增.若a>-e2,则ln(-2a)<1,故当x(-,ln(-2a)(1,+)时,f'(x)>0;当x(ln(-2a),1)时,f'(x)<0.所以f(x)在(

25、-,ln(-2a),(1,+)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x(-,1)(ln(-2a),+)时,f'(x)>0;当x(1,ln(-2a)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-,1),(ln(-2a),+)单调递增,在(1,ln(-2a)单调递减.()()设a>0,则由()知,f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b<lna2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=ab2-32b>0,所以f(x)有两个零点.()设a=0,则f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一个零点.()设a<0,若a-e2,则由()知,f(x)在(1,+)单调递增.又当x1时f(x)<0,故f(x)不