2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷)文 (2)

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文科)第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(2014北京,文1)若集合a=0,1,2,4,b=1,2,3,则ab=().a.0,1,2,3,4b.0,4c.1,2d.3答案:c解析:因为集合a,b中的公共元素为1,2,所以ab=1,2,应选c.2.(2014北京,文2)下列函数中,定义域是r且为增函数的是().a.y=e-xb.y=x3c.y=ln xd.y=|x|答案:b解析:a项,函数y=e-x为r上的减函数;b项,函数y=x3为r上的增函数;c项,函

2、数y=ln x为(0,+)上的增函数;d项,函数y=|x|在(-,0)上为减函数,在(0,+)上为增函数.故只有b项符合题意,应选b.3.(2014北京,文3)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=().a.(5,7)b.(5,9)c.(3,7)d.(3,9)答案:a解析:因为2a=(4,8),b=(-1,1),所以2a-b=(4-(-1),8-1)=(5,7).故选a.4.(2014北京,文4)执行如图所示的程序框图,输出的s值为().a.1b.3c.7d.15答案:c解析:开始时k=0,s=0.第一次循环,k=0<3,s=0+20=1,k=0+1=1,第二次循环,k=

3、1<3,s=1+21=3,k=1+1=2,第三次循环,k=2<3,s=3+22=7,k=3.此时不满足条件k<3,输出结果s,即输出7.故选c.5.(2014北京,文5)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的().a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件答案:d解析:当a=0,b=-1时,a>b成立,但a2=0,b2=1,a2>b2不成立,所以“a>b”是“a2>b2”的不充分条件.反之,当a=-1,b=0时,a2=1,b2=0,即a2>b2成立,但a>b不成立,所以“a>b

4、”是“a2>b2”的不必要条件.综上,“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件,应选d.6.(2014北京,文6)已知函数f(x)=6x-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是().a.(0,1)b.(1,2)c.(2,4)d.(4,+)答案:c解析:由题意知f(1)=61-log21=6>0,f(2)=62-log22=3-1=2>0,f(4)=64-log24=32-2=-12<0.故f(2)·f(4)<0.由零点存在性定理可知,包含f(x)零点的区间为(2,4).7.(2014北京,文7)已知圆c:(x-3)2+(y

5、-4)2=1和两点a(-m,0),b(m,0)(m>0).若圆c上存在点p,使得apb=90°,则m的最大值为().a.7b.6c.5d.4答案:b解析:因为a(-m,0),b(m,0)(m>0),所以使apb=90°的点p在以线段ab为直径的圆上,该圆的圆心为o(0,0),半径为m.而圆c的圆心为c(3,4),半径为1.由题意知点p在圆c上,故两圆有公共点.所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,故m-1|co|m+1,即m-15m+1,解得4m6.所以m的最大值为6.故选b.8.(2014北京,文8)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食

6、用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),右图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为().a.3.50分钟b.3.75分钟c.4.00分钟d.4.25分钟答案:b解析:由题中图象可知点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)在函数图象上,因此有0.7=a×32+b×3+c,0.8=a×42+b×4+c,0.5=a×52+b×5+c,解得a=-0.2,b=1.5,c=-2.故p=-0.2t2+1.5t-2,其对称轴方程为t=-1

7、.52×(-0.2)=154=3.75.所以当t=3.75时,p取得最大值.故选b.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2014北京,文9)若(x+i)i=-1+2i(xr),则x=. 答案:2解析:由已知得xi+i2=-1+2i,即xi=2i,解得x=2.10.(2014北京,文10)设双曲线c的两个焦点为(-2,0),(2,0),一个顶点是(1,0),则c的方程为. 答案:x2-y2=1解析:由题意知双曲线的焦点在x轴上,且c=2,设其方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),又由顶点为(1,0)知a

8、=1,所以b=c2-a2=1.故所求双曲线的方程为x2-y2=1.11.(2014北京,文11)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为. 答案:22解析:由题中三视图可知,三棱锥的直观图如图所示,其中pa平面abc,m为ac的中点,且bmac.故该三棱锥的最长棱为pc.在rtpac中,pc=pa2+ac2=22+22=22.12.(2014北京,文12)在abc中,a=1,b=2,cos c=14,则c=;sin a=. 答案:2158解析:由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos c=12+22-2×1×2×14=4,故c=2.

9、所以cos a=b2+c2-a22bc=22+22-122×2×2=78.故sin a=1-cos2a=1-782=158.13.(2014北京,文13)若x,y满足y1,x-y-10,x+y-10,则z=3x+y的最小值为. 答案:1解析:如图,作出不等式组表示的平面区域(阴影部分所示),目标函数z=3x+y可化为y=-3x+z,作出直线l0:y=-3x并平移.因为kab=-1>-3,所以当直线过点a时,z取得最小值.由x+y-1=0,y=1,解得a(0,1),所以z的最小值为z=3×0+1=1.14.(2014北京,文14)顾客请一位工艺师把a

10、,b两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:工序时间原料粗加工精加工原料a915原料b621则最短交货期为个工作日. 答案:42解析:最短交货期为先由徒弟完成原料b的粗加工,共需6天,然后工艺师加工该件工艺品,需21天;徒弟可在这几天中完成原料a的粗加工;最后由工艺师完成原料a的精加工,需15个工作日.故交货期为6+21+15=42个工作日.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分

11、)(2014北京,文15)已知an是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列bn满足b1=4,b4=20,且bn-an为等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项和.分析:(1)先由等差数列an中的a1,a4求出公差d,即可求其通项an,然后根据b1,b4的值及bn-an为等比数列,从而求出该数列的第1项和第4项,得出其公比,从而写出其通项公式,即可求得bn的通项.(2)根据bn的通项公式的结构特征即可利用分组求和的方法求得bn的前n项和.解:(1)设等差数列an的公差为d,由题意得d=a4-a13=12-33=3.所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,).

12、设等比数列bn-an的公比为q,由题意得q3=b4-a4b1-a1=20-124-3=8,解得q=2.所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.从而bn=3n+2n-1(n=1,2,).(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,).数列3n的前n项和为32n(n+1),数列2n-1的前n项和为1×1-2n1-2=2n-1.所以,数列bn的前n项和为32n(n+1)+2n-1.16.(本小题满分13分)(2014北京,文16)函数f(x)=3sin2x+6的部分图象如图所示.(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值;(2)求f(x)在区间-2,-12上的最大值

13、和最小值.分析:(1)首先利用公式求得f(x)=3sin2x+6的最小正周期,然后根据图形确定y0,即f(x)的最大值,再根据x0的位置即可求得其取值.(2)先根据x的范围确定2x+6的范围,进而求得f(x)的最值.解:(1)f(x)的最小正周期为.x0=76,y0=3.(2)因为x-2,-12,所以2x+6-56,0.于是,当2x+6=0,即x=-12时,f(x)取得最大值0;当2x+6=-2,即x=-3时,f(x)取得最小值-3.17.(本小题满分14分)(2014北京,文17)如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,侧棱垂直于底面,abbc,aa1=ac=2,bc=1,e,f分别是a1c1

14、,bc的中点.(1)求证:平面abe平面b1bcc1;(2)求证:c1f平面abe;(3)求三棱锥e-abc的体积.分析:(1)首先利用侧棱垂直于底面得到bb1ab,然后结合已知即可证得ab平面bcc1b1,最后利用面面垂直的判定定理即得结论.(2)取ab的中点g,然后利用三棱柱的性质和三角形中位线性质可得gf􀰿ec1,进而转化为c1feg,最后利用线面平行的判定定理证得结论.(3)先求出abc的三边长,由已知可得该三棱锥的高等于aa1,然后代入锥体体积公式即得结果.(1)证明:在三棱柱abc-a1b1c1中,bb1底面abc.所以bb1ab.又因为abbc,所以ab平面b1

15、bcc1.所以平面abe平面b1bcc1.(2)证明:取ab的中点g,连接eg,fg.因为e,f分别是a1c1,bc的中点,所以fgac,且fg=12ac.因为aca1c1,且ac=a1c1,所以fgec1,且fg=ec1.所以四边形fgec1为平行四边形.所以c1feg.又因为eg平面abe,c1f平面abe,所以c1f平面abe.(3)解:因为aa1=ac=2,bc=1,abbc,所以ab=ac2-bc2=3.所以三棱锥e-abc的体积v=13sabc·aa1=13×12×3×1×2=33.18.(本小题满分13分)(2014北京,文18)

16、从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:组号分组频数10,2)622,4)834,6)1746,8)2258,10)25610,12)12712,14)6814,16)2916,18)2合计100(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;(2)求频率分布直方图中的a,b的值;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论)分析:(1)直接根据频率分布表中的数据求出相应事件的频数,然后代入频率公式

17、求值.(2)先根据频率分布表中的数据求出相应范围内的频率,然后根据频率分布直方图中纵轴表示频率组距即可求出a,b的值.(3)根据频率分布直方图数据的分布情况即可估计平均数所在位置.解:(1)根据频数分布表,100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名,所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1-10100=0.9.从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(2)课外阅读时间落在组4,6)的有17人,频率为0.17,所以a=频率组距=0.172=0.085.课外阅读时间落在组8,10)的有25人,频率为0.25,所以b=频率组距=0.2

18、52=0.125.(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.19.(本小题满分14分)(2014北京,文19)已知椭圆c:x2+2y2=4.(1)求椭圆c的离心率;(2)设o为原点.若点a在直线y=2上,点b在椭圆c上,且oaob,求线段ab长度的最小值.分析:(1)先把方程化为标准方程,分别求出a,c,即可求其离心率e.(2)分别设出a,b两点的坐标,先利用oaob求出两点坐标之间的关系,然后用相应坐标表示出|ab|2,代入坐标之间的关系,根据代数式的结构特征求其最值.解:(1)由题意,椭圆c的标准方程为x24+y22=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此

19、a=2,c=2.故椭圆c的离心率e=ca=22.(2)设点a,b的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x00.因为oaob,所以oa·ob=0,即tx0+2y0=0,解得t=-2y0x0.又x02+2y02=4,所以|ab|2=(x0-t)2+(y0-2)2=x0+2y0x02+(y0-2)2=x02+y02+4y02x02+4=x02+4-x022+2(4-x02)x02+4=x022+8x02+4(0<x024).因为x022+8x024(0<x024),且当x02=4时等号成立,所以|ab|28.故线段ab长度的最小值为22.20.(本小题满分13分)(201

20、4北京,文20)已知函数f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在区间-2,1上的最大值;(2)若过点p(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;(3)问过点a(-1,2),b(2,10),c(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)分析:(1)先求函数f(x)的导函数f'(x),然后求出f'(x)=0的解,进而比较这些值与区间端点处的函数值的大小,即可求得最大值.(2)设出切点坐标(x0,y0),利用导数的几何意义表示出切线方程,由切点在曲线上及切线过点p将切线方程化为关于x0的三次方程,从而将已知转化为方程有三个解,构造相应函数,转化为函数图象与x轴有三个交点,利用导数研究单调性和极值,利用极值和0的大小关系构造不等关系,从而求得t的取值范围.(3)根据(2)中的结论,比较纵坐标与t的大小,即可写出相应的结论.解:(1)由f(x)=2x3-3x得f'(x)=6x2-3,令f'(x)=0,得x=-22或x=22.因为f(-2)=-10,f-22=2,f22=-2,f(1)=-1,所以f(x)在区间-2,1上的最大值为f-22=2.(2)设过点p(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),则y0=2x03